談談三角形面积比的性貭

三角形的面积比間題,在現行課本中沒有全面地系統地专节讲授,而仅是分配在有关单元或练习題中,有的定理甚至沒有提到。若在課外活动中能系統地給学生讲一讲这些性貭,并利用这些性貭来解决一些繚习題,对于帮助学生进一步掌握基本知識,和培养学生邏輯恩維及解题能力是有好处的。現在提出来供同志們参考。 (1)三角形面积此的基本知識。①任意三角形面积此等于底与高乘积之比; ②等底(或高)三角形面积此等于高(或底)之比; ③一角相等(或互补)的两三角形,面积比等于夹这角两边乘积之比;     

数学诡辩

如图,P是⊙O外一点,pA与⊙O相切于A,PC割圆于B、C,BE、CF分别为△PAB与△PAC的高。容易证得:△PAB∽△PCA,于是有这岂不是说,相似三角形的面积比等于两条高线之比吗?进一步也就是:相似三角形的相似比等于它们的面积比。这不是与“相似三角形的面积比等于相似比的平方”相矛盾吗?     

面积法解题例说

二、基本性质 1．同(等)底等(同)高的两个三角形面积相等．2．同(等)底的两个三角形面积的比等于高的比．3．同(等)高的两个三角形面积比等于底的比．4．两个相似三角形面积的比等于相似比的平方．     

同高三角形面积之比

<正>性质等高不等底的三角形面积之比等于底边之比.性质应用举例:例1如图1,在平行四边形ABCD中,M是BC边上一点,AM与对角线BD交于点N,若S△ABN=3,S△BMN=2,则S△DMN=,S△AND=.分析由S△ABN=3,S△BMN=2,利用等高不等底的三角形面积之比等于底边之比,可求出AN:MN的值,根据△AND∽△MNB,继     

一道赛题的简解

题　△ ABC的面积是 1 cm2 ,如图 1 ,AD= DE =EC,BG=GF =FC,求阴影四边形的面积 .这是刚刚结束的第十三届“希望杯”决赛的一道试题 .今给出比标答更简洁的两种解法 .解法 1　如图 1 ,依题设易知 S△ BCE =S△ ACF =13,连 EF,则 S△ EFC =13S△ BCE =19.设 S△ PEF =t,则 S△ AFES△ AFB=S△ PFES△ PFB(共底三角形面积比等于高之比 )即　 29∶ 23=t:( 29- t) ,解得 t=11 8( cm2 ) .连 EG,设 S△ BGN =y,则 S△ AGES△ AGB=S△ NGES△ NGB,即　 ( 23- 29)∶ 13=( 19- y)∶ y,解得 y =12 1 ( cm) .∴　 S阴 =…     

利用面积法求有关线段的长

面积法就是通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法.对三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比的性质等进行解题的一种方法.利用面积法解题具有便捷、快速的特点,它是中学数学中一种常见的解题方法.现举例如下.一、利用三角形的面积自身相等的性质求线段的长问题1:已知等腰△ABC中,AB=AC=10,底边BC上     

求两三角形面积比的多种解法

<正>题目四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=BC=5,CD=7,AD=1,求△ABD与△BCD的面积之比.思路一两个三角形的面积之比利用同底(等底)转化为高之比.妙解法一(利用BD为两三角形的公共边,过A,C作高AE,CF.)如图2,连结AC,由勾股定理得AC²=AB2=AB²+BC2+BC²=50,又AD2=50,又AD²+DC2+DC²=50,所以∠ADC=90°.所以A,B,C,D共圆.由AB=BC得,     

共底三角形一个定理的应用

定理两共底三角形面积比等于第三顶点连线(或延长线)被公底(或延长线)分成两线段之比。     

等积变形与面积证题(二)

<正>面积证题,往往涉及两块等积图形.因此会证明图形等积,从而实现等积变形是极为关键的一步.下面例举几种常见的图形等积变形.Ⅰ.三角形的底边在直线a上,第三个顶点在与a平行的直线a′上.无论底边在a上如何平移变位和第三个顶点在a′上如何变动,新三角形与原三角形总是等积的.同时,当底边相同时,马上得出阴影部分的两个三角形等积.Ⅱ.等高三角形面积之比等于其底边之比.等底三角形面积之比等于其对应高之比.     

对黄金三角形教学潜能的挖掘——一堂数学思维活动课教学实录

顶角为 3 6°的等腰三角形称黄金三角形 ,它以其优美的图形和奇特的性质出现于初中几何教材 :黄金三角形的底与腰之比等于黄金数ω(ω=5 -12 ) .以黄金三角形的底为腰所作的黄金三角形与原三形的相似比等于ω;以黄金三角形的腰为底所作的黄金三角形与原三角形的相似比等于 1ω( 1ω=5 12 ) .笔者在数列、数学归纳法单元教学中 ,借助于黄金三角形的上述性质 ,引导学生运用观察、归纳、猜想、论证的思维操作方法 ,构建两个著名数列—— Fibonacci数列和 Lucas数列 ,完成了一次对数学知识的探索、发现过程 .设黄金三角形 ABC的腰 AB=1,则底…     

形如(a~2)/(b~2)=c/d平几题的一种证法

大家都知道,相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由此,对于证明形如a2/b2=c/d的平几题,我们可用凑相似三角形的方法分两步来处理:1°.找两个相似三角形△ABC和△A’B’C’,使a、b是它们的对应边,则有a2/b2=S△ABC/S△A’B’C’;     

问题与解答

一、本期问题 1 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列,而最大角与最小角的对边之比是1:(3~(1/2)-1),试求此三角形三个内角的度数比。 2 已知α是三角形的一个内角,且这个三角形的某两边长是方程x~2-2~(5/4)x+2~(3/2)-sinα-cosα=0的两根,求这三角形的面积。山东梁山十六中陈昌焕提供     

三角形垂心的几个性质

定理一锐角三角形每个角的正切等于它的对边与这角的顶点至垂心的距离之比。证如图1 连CO并延长交⊙O于G,连结GB、GA,得平行四边形AGBH,则BG=AH,在Rt△GBC中,tg∠BGC=BC/BG,∵∠BGC=∠A, ∴tgA=BG/BG=BC/AH,同理可证,tgB=AC/BH,tgC=AB/CH。下面的几个定理需要先引入一个定义。定义三角形的任意两个顶点与其垂心组成的三角形叫做垂心三角形。定理二锐角三角形的面积与它的一个垂心三角形面积之比等于其公共边所邻的原锐角三角形的两个角的正切之积。     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

用面积性质解竞赛题

<正>一、性质图1如图1,D是△ABC的边BC上的任意一点,此时,△ABD和△ACD有公共的顶点A,它们的边BD和CD在同一直线,且这边上的高相等,我们称之为"共底等高三角形",于是可得S△ABD S△ACD=BD CD.利用"共底等高三角形"的这个面积性质来解决一些竞赛题,可以达到事半功倍的效果.二、解竞赛题1.用面积比求边长例1(19届江苏省竞赛题)如图2,△ABC的边AB=30cm,AC=25cm,点D、F在AC上,点E、G在     

等腰三角形的两种证法

<正>题目如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一点,若∠BAP=∠CAQ,则△ABC是等腰三角形.思路1由BP=CQ,A为BC外一点,尝试通过作辅助线(高)建立∠BAP、∠CAQ与三角形面积之间的联系,再由BP=CQ联想到BQ=CP,由S_(△BAP)=S_(△CAQ)联想到S_(△BAQ)=S_(△CAP),尝试两次运用"等底等高三角形的面积相等"来解决问题.     

竞赛中的等高三角形面积问题

我们知道,等高三角形的面积比等于它们对应底边的比,其中等底等高三角形面积相等.利用等高三角形的这一性质,进行等高三角形的面积与对应边线段之间的互相转化,有助于我们解决一些三角形中的面积问题.     

统一性的联想与类比

一、三角形面积公式统一性三角形的面积公式:S=1/2ah．其中a是一边的长,称作底,h是这边上的高,简称高．三角形的另一个面积公式:S=1/2pr．其中p是三角形的周长,可视为“底”,是“周底”;r是三角形的内切圆的半径,可视为“高”．     

一道竞赛题的巧解、变式与推广

由三角形的面积公式容易得到如下推论:同高的两个三角形的面积之比等于其底边之比.用此结论解决有关问题可以精简解题程序,提高解题效率!     

直线与椭圆相交得到的三角形面积比

1．背景 最近解答圆锥曲线问题时,做到了这么一道题：过点B（2,0）的直线（斜率不等于零）与椭圆x^2/2＋y^2=1交于不同的两点E、F（E在B、F之间）,试求△OBE与△0BF面积之比的取值范围．经过计算笔者求得两个三角形的面积之比的取值范围是（3—2√2,1）．求得结果后,笔者按老习惯重新反思问题时,发现求得的结果与椭圆的一些关系：