一道2000年IMO试题的高等数学背景

我们首先给出 2 0 0 0年第 41届 IMO之第2题及其解答 [1] :设 a、b、c是正数 ,满足 abc =1 .证明( a- 1 1b) ( b- 1 1c) ( c- 1 1a)≤ 1 .证明　令 a =xy、b =yz、c =zx,其中x、y、z为正数 ,则原不等式变为( x - y z) ( y - z x) ( z - x y)≤ xyz ( 1 )显然 x - y z、y - z x、z - x y里最多又有一个是负数 .如果恰有一个是负数 ,那么 ( 1 )式显然成立 ;如果这三个数都非负 ,那么根据算术平均—几何平均可得　 ( x - y z) ( y - z x)≤ 12 [( x - y z) ( y - z x) ]=x　 ( y - z x) ( z - x y)≤ 12 [( …     

一道国际竞赛题的简证

题目:(2006年土耳其国家队选拨考试)已知正数x,y,z满足xy yz zx=1,证明:247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2≥63.文[1]采用三角换元法,并利用导数和Jensen不等式给出了证明.274(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2.但证明过程中错证了cosA cosB cosC≤323.从而证明247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2的证法是错误的.下面给出一个简证.证明:先证(x y)(y z)(z x)≥98(x y z)(xy yz zx)①上面不等式等价于(x y z)(xy yz zx)-xyz≥98(x y z)(xy yz zx)(x y z)(xy yz zx)≥9xyz.由A—G不等式有x y z≥33xyz,xy yz zx≥33x2y2z2,故(x y z)(xy yz…     

西北工业大学·高等数学(B卷)

一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 4分 ,满分 2 0分 )1 .设 z =e- ( yx xy) ,则 dz| ( 1,2 ) =2 .由曲面 z =4-12 (x2 y2 )与平面 z =2所围成的立体的体积等于3.设Σ是平面 x y z =6被圆柱 x2 y2 =1所载下的部分取上侧 ,则 Σzdxdy =4.设 f (x)是以 2π为周期的周期函数 ,在区间 (-π,π]上有 f (x) =1 -x,　 -π 相似文献   

运用a~2 ab b~2的变式证明一类不等式

众所周知,在不等式的证明过程中,常常要将待证的式子进行适当的变形,以利于问题的解决.本文将式子a2 ab b2进行适当的变形后,对一类不等式的证明起到了较好的效果.变式1a2 ab b2=(a 2b)2 3b24.例1已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥23(x y z);证明x2 xy y2=(x 2y)2 43y2≥23|y|≥23y,同理y2 yz z2≥23z,z2 zx x2≥23x,三式相加即可,x=y=z=0时取等号.变式2a2 ab b2=a2 b2 (a b)22例2已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥2(x y z).证明x2 xy y2=x2 y2 (x y)22≥|x 2y|≥22(x y),同理y2 yz z2≥22(y z),z2 zx x2≥22(…     

求解复数问题的基本思路

复数是实数的拓广 ,它与几何、三角有着紧密的联系 ,解决复数问题时 ,可根据题目的特点 ,将问题进行适当的等价转化 ,转化为代数、三角或几何问题求解 .1　利用复数的代数形式化归为代数问题例 1　 (1992年全国高考题 )已知z∈C ,解方程zz - 3iz =1+3i.解　设z =x +yi(x ,y∈R) ,代入原方程得(x +yi) (x - yi) - 3i(x - yi) =1+3i,整理得x2 +y2 - 3y - 3xi=1+3i,由复数相等的条件得- 3x =3,x2 +y2 - 3y =1,解得　 x =- 1,y=0 ,或 x =- 1,y =3.故z1=- 1,z2 =- 1+3i.2　利用复数的三角形式化归为相应的三角问题例 2　已知复数z1,z2 满足z1+z2…     

一个不等式的初等证明

文 [1]提出如下猜想 :设λ≥ 1,x,y,z >0 ,则xλx +y+yλy +z+zλz +x　≤ 3λ+1(1)文 [2 ]用导数证明了 (1)式 ,本文给出简明的初等证明 .证明　由已知得 xλx +y,yλy +z,zλz +x三式中必有两个同时不大于 (或不小于 ) 1λ +1,不妨设为 xλx +y 和yλy +z.于是有(xλx +y - 1λ +1) (yλy +z -1λ+1)≥ 0即 xλx +y+yλy +z≤(1+λ) xy(λx +y) (λy +z) +1λ +1(2 )由柯西不等式有(λx +y) (λy +z)≥ (λ xy +yz) 2 .代入 (2 )得　 xλx +y +yλy +z ≤(λ+1) xλ x +z +1λ+1(3)又　 (λz +x) (λ+1)≥ (λ z +x ) 2(4)于是 ,由 (3)、(…     

数学问题解答

20 0 4年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 471　求方程组 x+y =ztz+t =xy的非负整数解 .解　因为方程组中x与y ,z与t可以互换 ,所以可以先求满足 0 ≤x≤y ,0 ≤z≤t的整数解组 (x,y ,z,t) .( 1 )若x、z中有一个为零 ,不妨设x=0 ,则由原方程组消去t得 :y+z2 =0所以y =z=0 ,t= 0 .即 ( 0 ,0 ,0 ,0 )是原方程组求的一组解 .( 2 )若x ,z都不是 0 ,但是有一个为 1 ,设x=1 ,则由原方程组消去y得 :t+z=zt - 1所以 (z- 1 ) (t- 1 ) =2 ,因为z,t为正整数且z≤t,所以z - 1 =1t- 1 =2 得z=2 ,t =3,y=5即 ( 1 ,5 ,2 ,3)是原方程组的一组解 ,同…     

利用平凡不等式证明不等式举例

逆用无穷等比数列各项和公式可化复杂不等式为平凡不等式.例1设x,y,z>0,则x2-z2y z yz2- xx2 zx2- yy2≥0(W.Janous猜测)证明令x y z=s,则不等式的左边等于x2-z2s-x ys2--yx2 zs2--yz2=1s(1x2--sxz2 y12--syx2 z12--syz2)=1s[(x2-z2)(1 sx xs22 …) (y2-x2)(1 sy sy22 …) (z2-     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 山东数学(理科)

一、选择题:本大题共12小题,共60分1.若z=cosθ isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是A.6πB.4πC.3πD.2π2.已知集合M={-1,1},N={x|21<2x 1<4,x∈Z},则M∩N=A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个A视.图①相②同的是B.①③C.①④D.②④4.设α∈-1,1,21,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,35.函数y=sin2x π6 cos2x 3π的最小正周期和最大值分别为A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,26.给出下列三个等式:f(xy)=f(x) f(y),f(x y)=f(x)f(y),f(x y)=f(x) f(y)…     

多面体重心的两个性质

本文首先应用解析法 ,建立“点到平面的有向距离”概念 ,然后给出多面体重心的两个有趣性质 .定义 1　在空间直角坐标系内 ,设点P的坐标为 (x0 ,y0 ,z0 ) ,平面π的方程为Ax +By +Cz +D=0 .令d =Ax0 +By0 +Cz0 +DA2 +B2 +C2 (1)则d称为点P到平面π的有向距离 .多面体的重心定义如下 :定义 2　在空间直角坐标系内 ,设多面体A1A2…An 的顶点Ai 的坐标 (xi,yi,zi) (i =1,2 ,… ,n) .令　x′ =1n ∑ni=1xi,y′ =1n ∑ni=1yi,z′ =1n ∑ni=1zi (2 )则点G(x′ ,y′z′)称为顶点系的重心 .由定义 1,2 ,我们获得了下述性质 .定理 1　在空间…     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,试证 :x2 y + y2 z +z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若x1,x2 ,… ,xn(n≥ 3)为满足x1+x2+… +xn=1的非负实数 ,则x21x2 +x22 x3+… +x2n- 1xn+x2nx1≤ 42 7( 2 )当x1,x2 ,… ,xn 中一个为 23,另一个为 13,其余n - 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,n ,m∈N+且n≥m ,则　xnym + ynzm +znxm≤13nnmm(n +m) n +m　…     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

点到空间直线距离公式的两种简洁证明

对空间中任意一点P(x0,y0,z0)到直线l:π1∶A1x B1y C1z D1=0π2∶A2x B2y C2z D2=0的距离公式:d=n1→×n→2,(A1x0 B1y0 C1z0 D1)n→2-(A2x0 B2y0 C2z0 D2)n→1介绍另两种过程简洁并且几何意义明显的证明     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

线性规划中目标函数的几种类型

线性规划初步是高中教材新增内容,这类问题的典型提法是:一个目标,若干条件;典型解法是代数几何并用,确定范围,伺机求解,下面笔者将结合一些例题,谈谈目标函数的几种类型及解法.1形如z=ax by型的目标函数例1已知点P(x,y)在不等式组x-2≤0,y-1≤0,x 2y-2≥0表示的平面区域上运动,则z=x-y取值范围是()(A)[-2,-1].(B)[-2,1].(C)[-1,2].(D)[1,2].图1例1图解先画出约束条件限定的可行域(如图1阴影部分),将z=x-y化为l:y=x-z的形式,将问题化归为求直线l在y轴上截距-z的范围,由图1观察知-z的范围[-2,1],则z的范围为[-1,2],选(C).评注在线性规划中…     

数学问题解答

2007年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)1651已知x,y,z∈R ,n∈N,求证:nx xy z x nyy z x yz nz≤n3 2.(陕西省绥德中学刘永春718000)证明当n=1时,不等式显然成立.当n≥2时,设nx y z=a,x ny z=b,x y nz=c,则x=(nn( n1) a1-)-b2-c,y=(nn( n1) b1-)-c2-a,z=(nn( n1) c1-)-a2-     

新题征展(51)

A　题组新编1.(1)已知复平面上的不同三点 Z1 、Z2 、Z3 分别对应复数 z1 ,z2 ,z3 ,若　 (z2 - z1 ) 2 (z3 - z1 ) 2 =0 ,则△ Z1 Z2 Z3 的形状是 .(2 )在△ ABC中 ,若 BC=a,CA =b,AB= c,且 a .b=b .c=c.a,则△ ABC的形状是 .2 .有 n个人 ,随机等可能性地分配到N (n≤ N)间房中的每间中 .1指定的 n间房中各有 1人的概率是;2恰有 n间房中各有 1人的概率是;3指定的某间房中恰有 r(r≤ n)个人的概率是 .3.设动点 P(x,y)的轨迹方程为m(x2 y2 - 4 x 2 y 5 ) =(3x 4y 33) 2 .(1)若方程表示抛物线 ,则实数 m的取值范围为 ;(2 )若方程表…     

2006年高考模拟试卷(理科)

(时间:120分钟,满分150分)一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.已知复数z满足(1-i)z=i,则|z|=2.已知集合S={x|y=lg(1-x)},T={x||2x-1≤3|}则S∩T=.3.在等差数列{an}中,已知a7=13,a15=29,则通项公式an=.4.若P是圆x2 y2-4x 2y 1=0上的动点,则P到直线4x-3y 24=0的最小距离是.5.若(sin2θ-cosθ) icosθ是纯虚数(i是虚数单位,θ∈(0,2π)),则θ的值为.6.函数y=sinxsinx 3π的最大值是.7.已知等比数列{an},如果a1 a2=12,a2 a3=-6,则li mn→∞Sn=.8.在△ABC中,a、b、c分别为∠…     

一对姐妹不等式的简证和再推广

文[1]提出并证明了下面一对姐妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba1 b-c≥763,①1b c ac1 a ba1 b c≥1613.②以上两式当且仅当a=b=c=31时取等号.但文[1]证明过程较繁杂,本文给出一种简单证法,并将结论进行一定推广.1一对不等式的简证先证上述不等式①.记x=b c,y=c a,z=a b,则有00,即f(t)为下凸函…     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,试证 :x2 y+ y2 z+ z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若 x1 ,x2 ,… ,xn( n≥ 3)为满足 x1 + x2 +… + xn=1的非负实数 ,则x21 x2 + x22 x3+… + x2n- 1 xn+ x2nx1 ≤ 42 7( 2 )当 x1 ,x2 ,… ,xn中一个为 23,另一个为 13,其余 n- 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,n,m∈N+且 n≥m,则　xnym+ ynzm+ znxm≤13nnmm( n+ …