三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

一种三角变形的应用

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册复习参考题二A组第十四题是:已知tgα=3,计算:(1)(4sinα-2cosα)/(5cosα+sinα);(2)2sin~2α/3+cos~2α/4;(3)sinαcosα;(4)(sinα++cosα)~2,这个题目的正确解法是:先将每个式子都变形为只含有tgα的式子,再把tgα=3     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …     

三倍角公式

正弦三四三 ;余弦四三三 .有四必有三 ;符号都是减 .附 :sin3α =3sinα - 4sin3 α ,cos3α =4cos3 α - 3cosα .三倍角公式$河北省邱县一中@潘素芳!057450     

对一道三角函数问题四种解法的剖析

题目已知sin2α=a,cos2α=b,则tan(α π4)的值为()(A)b1-a.(B)1 ab.(C)1 a b1-a b.(D)a-b 1a b-1.解法1 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin(α π4)cos(α π4)2cos2(α π4)=sin(2α π2)1 cos(2α π2)=cos2α1-sin2α=b1-a,所以选(A).解法2 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin2(α π4)2sin(α π4)cos(α π4)=1-cos(2α π2)sin(2α π2)=1 sin2αcos2α=1 ab.所以选(B).解法3 tanα=sinαcosα=2sinαcosα2cos2α=sin2α1 cos2α=a1 b,所以tan(α π4)=tanα tanπ41-tantαanπ4=a1 b 11-a1 b=1 a b1-a b,所以选(C…     

正余弦定理的衍变

正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理,如果将它们整合、变形后再应用,就会感到另一种新奇与愉悦,同时也给众多题目找到了“同一根源”.1　变式及其推广如果将正弦定理中a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C代入余弦定理中可得:1 ) sin2 C+sin2 B-2 sin Csin Bcos A=sin2 A;2 ) sin2 A+sin2 C-2 sin Asin Ccos B=sin2 B;3 ) sin2 A+sin2 B-2 sin Asin Bcos C=sin2 C.以上诸式表明,三角形中两个角的正弦的平方和减去第三个角的正弦的平方,等于前两个角的正弦与第三个角的余弦的积的两倍,即有变式1　在△ABC中,sin2…     

三角形的一个有趣性质

设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

Sin18°求值三法

我们知道:sin18°=(5~(1/2)-1)/4,通常它是通过sin(2×18°)=cos(3×18°)利用二倍角、三倍角公式展开后解方程求得的。以下我们介绍sin18°值的另外三种求法。方法一(几何法) 如图等腰三角形ABC,两底角为72°,顶角为36°,并设腰长为a,底边长为c,过C作底边AB的垂线,则∠BCB=180°在Rt△BCD中,就有     

赏析sin18°的八种求法

<正>一题多解能够很好地体现数学学习过程中的自主探究,有利于培养数学思维的广阔性、灵活性和敏捷性.下面给出sin18°值的八种求法,与读者共赏.方法1(利用倍角公式)因为sin36°=cos54°,即sin(2×18°)=cos(3×18°),所以2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°,因为cos18°≠0,所以2sin18°=4cos218°-3,故4sin218°+2sin18°-1=0,     

关于三角形的双圆半径的两个命题

本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明　∵　 r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴　 r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵　△ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴　 r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证　 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴　 r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴　 r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入…     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

余弦定理的三角式

设A、B、C为△ABC的三内角,依正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理公式可得: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA。特称为余弦定理三角式。对一些三角函数化简,求值、证明等问题可考虑用此三角式求解,举例如下: 例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°之值。解 sin~210°+COS~240°+sin10°cos40° =sin~210°+sin~250°-2sin10°sin50°COS120° =sin~2 120° =3/4 例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°之值。解 sin20°cos70°+sin10°sin50° =sin~220°+sin10°sin(110°-60°) =sin~220°+sin10°sin110°cos60°-sin10°。     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

a2+ab+b2的变换技巧及其应用

二元二次式a2 ab b2结构整齐,轮换对称,在数学问题中颇为多见.从不同的角度对它进行思考、联想、变换,不仅能获得较好的解题思路和方法,而且对拓宽解题视野,提高解题能力大有好处.现就一些典型范例进行分析和说明.变换　a2 ab b2=a3-b3a-b(a≠b).例1　求sin220° cos250° sin20°cos50°的值.(1991年全国高考理科第22题)一般解法摆脱不了积化和差、和差化积的繁琐运算.应用上述变换式结合三倍角公式,使过程新颖简洁.解　原式=sin320°-cos350°sin20°-cos50°=(3sin20°-sin60°)-(3cos50° cos150°)4(sin20°-cos50°)=3(sin20°-cos50…     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...     

2012年高考主观题训练题

题目1已知向量a=(sin x,cos x+sin x),b=(2cos x,cos x-sin x),x∈R,设函数f(x)=a.b.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值及相应的自变量x的取值集合;(Ⅱ)当x0∈(0,π8)且f(x0)=4槡25时,求f(x0+π3)的值.命题意图本题主要考查二倍角公式、两角     

例谈“辅助角公式”在解高考题中的应用

形如y=asin x＋bcos x型的函数,可采用如下变形：asinx＋bcosx=a2＋b2（1/2）（sinx·a/a2＋b2（1/2）＋cos x·b/a2＋b2（1/2））=a2＋b2（1/2）sin（x＋φ）,其中sinφ=b/a2＋b2（1/2）,cosφ=a/a2＋b2（1/2）.这种＂合一变形＂公式通常称为辅助角公式,它是研究三角函数问题的一个强有力的工具.