评广义积分定义

评广义积分定义肖良渠，杨紫彦（辽宁本溪本钢工学院１１７０００）（辽宁本溪本钢技校）本文所谈的是无穷区间上的广义积分的定义．为了说明问题，先看几个例子．例１ｌｉｍｃｏｓｘｄｘ＝ｌｉｍ［ｓｉｎｘ］＝ｌｉｍｓｉｎｂ它不存在．ｂ一十∞例２ｌｉｍ２ｘｄｘ＝ｌｉ...     

无穷限反常积分收敛时被积函数的极限状态

根据无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛的柯西准则和定积分的性质,讨论被积函数f（x）当x→∞时。的极限状态,并得出当无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛且f（x）在[a,＋∞）上连续,或者无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx绝对收敛时,存在数列{xn}∩[a,＋∞]且xn→＋∞（n→∞）,使limn→∞xnf（xn）=0.     

无穷区间上一类不连续非线性积分方程的唯一解

在一般Banach空间中研究了一类无穷区间上不连续非线性积分方程的唯一解．在非常弱的条件下证明了非线性积分方程的唯一解可以由迭代序列的一致极限得到，并给出了逼近解的迭代序列的误差估计式，然后应用到无穷区间一阶微分方程的终值问题，本质改进（将紧型条件删去）并推广了一些结果．     

关于无穷级数逐项积分和逐项求导的一个注记

无穷级数的逐项积分或逐项求导一般要求原级数或未导后所成级数是一致收敛的，若此条件不满足，而逐项积分或逐项求导后的级数收敛，则它是否收敛到原级数和的积分或导数呢？这是个有趣的问题，其结论是不一定。下面举例说明之。例1考察级数1°容易验证（1）收敛但非一致收敛：．这说明（1）并非一致收敛到0．2”级数（l）逐项积分后所成级数收敛；3”显然IS（王川X学1，即逐项积分后的级数并非收敛到原级数和的积分。例2考察级数l”容易验证（2）收敛但非一致收敛：说明（2）并非一致收敛到0．2”级数（2）逐项积分后是收敛的：3”显然DS…     

非线性无穷时滞微分系统的稳定性

本文主要内容是：（１）在局部条件下，建立了一类具有无穷时滞的非线性的正、反向积分微分不等式；（２）结合常数变易法和Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数法（不必寻找Ｐ－函数），利用所建立的不等式研究了非线性无穷时滞微分系统的稳定性；（３）举例说明了本文定理的应用和优点。     

T(t)积分半群

本文引入Ｔ（ｔ）积分半群的概念，它是ｎ次积分半群［１］及α次积分半群［２］的推广．我们给出Ｔ（ｔ）积分半群的定义、生成定理，并讨论相应的一类积分型抽象Ｃａｕｃｈｙ问题解的存在唯一性．     

椭圆周长近似公式

椭圆周长近似公式周祖逵（首都师大数学系１０００３７）设椭圆的长半轴为α，短半轴为ｂ，由定积分的理论知，椭圆的周长Ｌ为其中是椭圆的离心率．这是第二类椭圆积分，它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，积分值必须利用近似积分法或展开成无穷级数来求出，也可以...     

Ascoli-Arzela定理的一个推广及应用

给出了无穷区间上一类抽象连续函数族相对紧性判断的一个充分必要条件，并应用它获得了抽象空间上一阶微分方程的终值问题和Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型积分方程解的存在性。     

从'98考研的一道数学试题谈起

1998年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学（试卷一）试题第七题为该题陕西省的考生作对的人数很少，究其原因，主要是同学们对无穷小分析的方法及定积分概念理解不透所致。让我们来讨论一下本题。分析：首先，当，。—。。时，题中的每一项都是无穷小。因此本题实质是求“无穷多个无穷小之和”，即与定积分密切相关，事实上，记f（）一sin。。，并将区间〔O，1］分成n等分，那么，每个小区间长度为Al。一士，取每个小区间的右端点（，一二（i—1，2，…，n），入Z。）一sin（二。），那么对应的“积分和”应为二八（。）Al；一二全sin（…     

关于利用等价无穷小代换来求极限的探讨

一、利用等价无穷小代换来求极限的一些容易证明的定理定理1设无穷小量f（x）～（x），且limf（x）·g（x）存在，则这里，（1）无穷小量f（x）～（x），表示f（x）与（x）是当x→x0或x→∞时的等价无穷小；（2）limf（x）表示limf（x）或limf（x）．下同。定理2设无穷小量f（x）～（x），且存在，则由这二个定理可知，一般在乘或除的情况下是可用等价无穷小代换来求极限的。此外在幂指函数求极限中，也常利用等价无穷小代换，这有下面二个定理，这里只证后一个定理。定理3设八x）＞0，无穷小量g（x）～～（x），且tim八x）”“’存在，则定…     

无穷限反常积分收敛的必要条件

＋∞摘要将无穷限反常积分的敛散性与无穷级数的敛散性相联系,讨论反常积分∫a f （x）d x收敛的必要条＋∞件。若被积函数 f （x）在[a ,＋∞）上单调连续或其导函数有界,则limx→＋∞ f （x）＝0就是∫a f （x）d x收敛的必要条件。     

Banach空间非线性脉冲Hammerstein积分方程解的存在性

研究了Banach空间中定义在无穷区间R+上具有无穷多个脉冲点的Hammerstein积分方程解的存在性.利用MLnch不动点定理,建立了该类方程解的存在定理,并给出实例说明了该定理在无穷维脉冲积分方程组中的应用.     

自身无穷复合型序列的收敛性

自身无穷复合型序列的收敛性王如云，郁大刚（河海大学）本文通过对自身无穷次复合函数的有关收敛性质讨论，给出了几个无穷夏合型序列的极限存在条件在动力学系统的研究中，常会用到点映射概念，把ｇ２理解成映射ｇ．ｇ（ｘ），与此相适应，ｇｋ（ｘ）意味着ｋ次应用映射...     

第二类无界多连通域上推广的留数定理

本文首先确定无穷远点高阶奇异积分的意义及存在条件，然后导出第二类无界多连通域中推广的留数定理，最后举出它们在积分计算中的应用。     

Banach空间非线性脉冲Volterra积分方程组的整体解

研究Banach空间中定义在无穷区间R+上具有无穷多个脉冲点的非线性脉冲Volterra积分方程组解的存在性。给出了若干极值解的存在定理,改进了定义在有限区间上具有有限个脉冲点情形时该类方程的相应结果,并利用该结果讨论了一个无穷维积分方程组。     

一类具无穷时滞的积分微分方程解的渐近稳定性

利用Banach空间BC（而不是容许空间）中的稳定性判别准则，作者得到一类具有无穷时滞的积分微分方程平衡解的渐近稳定性的充分条件。这些方程都是血液学中细胞或生态学中虫口动力系统的数学模型。     

双曲型积分方程的一个反问题

本文研究一类双曲型积分微分方程的一个反问题，即确定方程Ｄ２ｔｕ－Ｄ２ｘｕ＝∫ｔ０ｋ（Ｔ）ｕ（ｘ，ｔ－Ｔ）ｄＴ中ｕ（ｘ，ｔ）和积分核ｋ（ｔ），得到了解的存在性和唯一性．     

Riemann函数可积性的一个初等证明

本文将证明Riemaun函数有无穷多个间断点,但它在有限区间[a,b]上定积分存在,且其在区间[a,b]上的积分值为0.     

极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

无穷区间反常积分中值定理的推广

积分中值定理是微积分中的重要内容之一.传统的积分中值定理是建立在定积分的概念上,而对反常积分很少涉及.文中从对无穷区间上连续函数的性质分析出发,建立和证明了无穷区间反常积分的中值定理.它是对反常积分理论和教学方面的有力补充.