应用倒数关系解题

倒数关系反映着一对非零的实数之间的一种相互关系。就是说,如果x是y的倒数。那么,x与y互为倒数。若x、y∈R,xy=1且x y=a,则当|a|≥2时,x y=1/2(a (a~2-4)~(1/2))/(1/2) 1/2(a-(a~2-4)/(1/2))即: (?)显然1/2(a (a~2-4)/(1/2)) 1/2(a-(a~2-4)/(1/2))=a 1/2(a (a~2-4)/(1/2))·1/2(a-(a~2-4)/(1/2))=1 故1/2(a (a~2-4)/(1/2))与1/2(a-(a~2-4)/(1/2))互为倒数,从而公式(*)我们称作倒数关系公式。运用构造倒数     

推导椭圆标准方程的几点体会

在推导椭圆的标准方程的教学中,如果教师引导学生探索其中的数量关系,可以得出许多有趣的规律。教材中关于椭圆标准方程推导如下: |MF_1|+|MF_2|=2a((x+c)~2+2)~(1/2)((x-c)~2+y~2)~(1/2)=2a((x-c)~2+y~2)~(1/2)=a~2-cx(*)b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2x~2/a~2+y~2/b~2=1(b~2=a~2-c~2)。从这个推导中我们可以算出下列几个结论。 (一)由(*)式((x-c)~2+y~2)~(1/2)/(a~2/c-x)=c/c     

对初中代数中整式一章教学的几点体会

初中代数里“整式”这一章是整个代数学的基础,它对学生以后的学习,关系是异常重大的。因此在教学中,必須要求学生要理解透彻,記忆牢固,运用正确,計算熟练。如所周知,在这一章的教学中,教师讲起来,学生多不感到难懂,但一当学生自己动手作起題来,有时就会感到似是而非,沒有把握,乃至錯誤百出。例如,开头时有的学生就不承认a 2a 5b=3a 5b已經算完了;有的认为a~0应等于0,而不应等于1;有的則算出:3x-2(x-5y)=3x-2x-5y,3x-2(x-5y)=3x-6x 30y,x~3·x~2=x~6,x~3y~2 x~2y~3=x~5y~5以及5ab 3ab=Sa2b,5a~2b 3a~2b==8a~4b~2等等錯誤的結果来;甚至有的还长期地把3a~2和(3a)~2,-a~2和(-a)~2,(a b)~2和a~2 b~2混淆不清;或者在教师强調了(a b)~2≠a~2 b~2之后,却連(ab)~2=a~2b~2又不敢承认了。笔者有鑑于此,深     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得:     

数学演算中常見的一种錯誤——痕迹性錯誤

在中学学生的数学作业中,經常出現下面錯誤的等式: lg(a b)=lga lgb。发生这类錯誤的不是个別学生,有时甚至达到全班学生半数以上,并且在练习中会不止一次地以不同的形式重复出現。类似的錯誤还有: (a~(1/2) b~(1/2))~2=a b; (a-b x~(1/2))~2=a~2-b~2x; [c(a-b)~2]~n=c~na~(3n)-c~b~(2n); (x~2 y~2)~(1/2)=x y; 0.4~(1/2)=0.2; (-2~)(1/2)·-3~(1/2)=6~(1/2); lg(a/b)=lga/lgb; 1g 1.46=16.44;(正确答案:1g 1.46=0.1644) 从lgx=0.6351,得出x=1.4316;(正确答案:x=4.316) 从x~2/6=24,得出x~2=4。 x,x 1和x 3是三个連續的奇数(x是正整数); sin(A B)=sin A sin B。教师們详细地探討这类错誤产生的根源,分析它們形成的过程,进一步寻求預防和克服这类錯誤的办法,对学生学习质量的提高有着重大的意义。     

在多元式中选定主元

例1 解方程 x~4-10x~3-2(a-11)x~2 2(5a 6)x 2a a~2=0. 分析:这是关于x的四次方程,不易求解;但方程中a的最高次幂是2,看作关于a的二次方程来解就容易了。解把方程按a的降幂改写如下: a~2-2(x~2-5x-1)a (x~4-10x~3 22x~2 12x)=0. 解之得a=x~2-6x.或a=x~2-4x-2. 再反过来解关于x的方程,得: x_(1,2)=3±9 a~(1/2),x_(3,4)=2±6 a~(1/2). 所谓“主无法”:就是在处理含有多个变量的数学问题时,常选择其中一个变量为主元素,其余各量视为常量,使之出现我们所熟悉的结构形式。例2 设a,b,c为绝对值小于1的实数,求证:ab bc ac 1>0.     

由一道常见题想到的

<正>常见这道习题:已知f(x+(1/x))=x~2+(1/x~2),求f(x).对其往往采用先配方再换元来求f(x).f(x+(1/x))=x~2+(1/x~2)=(x+(1/x))~2-2.令u=x+(1/x),则f(u)=u~2-2,|u|=|x+(1/x)|=|x|+(1/|x|)≥2.     

数学问题解答

下面的問题,提供读者解答,但答案不必寄来。本期問題的答案将在下次发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的問題。來信請寄至北京德胜門外北京师范大学数学系轉数学通报問題解答栏。 1964年第1期問題 512.求方程 x+x/(x~2-1)~(1/2)=35/12的实数根。 513.cos x~(1/2),是不是周期函数? (以上二題系雷耀波提) 514.設a,b,c都是正数,且a~(1/n)+b~(1/n)=c~(1/n),n是自然数。証明a+b≥c/2~(n-1)。     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

从一高考题谈圆锥曲线的一个命题及应用

一九九二年全国高考试题第二十八题是:已知椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于P(x_0,0),证:-(a~2-b~2)/a相似文献   

运算与逆运算的复习課一例

在平面三角課本习題二十第9题(2)中提出:“x在什么区間內,arc cos(cos x)中等于x?”学生在回答这个問題时与在高中一年級回答,“x在什么区間內,x~2~(1/2)才等于x?”一样地遇到困难(甚至困惑)!为了使得学生能正确地、自觉地认清这个問題,我在耕解时是从“运算与其逆运算的順序”这一角度出发,井从复习下面几个問题开始: 1.(1) (x a)-a=x,(原数x) (2) (x-a) a=x;(原数x) 2.(1) (x·a)÷a=x,(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) (2) (x÷a)·a=x;(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) 3.(1) ((x)~(1/2))~2=x,(原数x;为了使得运算能在实数集合内进行,必須     

巧用根的性质解题

例1 已知a是方程x~3-3x 1=0的一个无理根,试证:不解方程仍可将a/a 1的分母有理化。构思:此题如能使分母不含a,则命题即得到证明,而要使分母不含a,又只能在a是方程x~3-3x 1=0的根上打主意。证明∵ a是方程x~3-3x 1=0的根, ∴ a~3-3a 1=0,即a~3 1=3a。     

关于L′Hospital法则的一个注记

在微积分这门课程当中 ,常常碰到求 00 型、∞∞ 型的极限问题 ,解决这类问题的一种简单而有效的方法是 L′Hospital法则。过去 ,在不少有关的书籍中 [1,2 ,3] ,∞∞ 的 L′Hospital法则的表述是 :若 (1 )函数 f (x)和 g(x)在 (a,a δ)有定义 (δ>0 ) ,limx→ a 0 f (x) =∞ ,limx→ a 0 g(x) =∞(2 ) f(x)和 g(x)在 (a,a δ)都可导 ,g′(x)≠ 0 ,并且 limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　 (包括 A=∞的情形 )则limx→ a 0f (x)g(x) =limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　　最近 ,我们在 [4,5,6 ]中看到 ,去掉条件 (1 )中的 limx→ a 0 f (x) =∞…     

以静窥动 动中求静

我们在解决某些几何题时,可以把某一儿何图形看成是另一图形运动的结果。从这一思想出发,常能获得较为新颖或较好的解法。例1 证明:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接三角形的面积的最大值为3 3~(1/2)ab/4。证:我们把椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1看成是由圆:X~2 Y~2=a~2经均匀压缩变换 x=X y=bY/a 运动而得到的。设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)一是椭圆内接三角形三个顶点,它们在圆X~2 Y~2=α~2上的对应点为A′     

同时求解多项式所有二次因子的迭代法

1. 引言 如所周知,从初始近似值x~((0))出发,使用Newton法 x~((m+1))=x~((m))-f(x~((m)))/f′(x~((x))) (m=0,1,…)求函数f(x)的根时,在单根附近二阶收敛。 当f(x)是首项系数为1的N次多项式     

利用相等和不等的转化解题

相等与不等是一对矛盾,它们在一定条件下可以相互转换,有些数学问题如果只在相等或不等方面作文章,往往劳而无功,这时若考虑相等与不等之间的相互转换,常可使问题迎刃而解。例1 已知实数x,y,z,s满足x y z s=a(a＞0),求证：x~2 y~2 z~2 s~2≥a~2/4。证明设x=a/4 α,y=a/4 β,z=a/4 γ,s=a/4 δ,其中α,β,γ,δ都称为增量,这里α β γ δ=0。     

一个非等价转化问题的探究

某资料上有这样一个问题:问题|2x-a|+2/x≥1对任意x>0都成立,求a的取值范围.给出的解法是:原不等式等价于a≤2x+2/x-1或a≥2x-2/x+1,令f(x)=2x+2/x-1,g(x)=2x-2/x+1,则原不等式对任意的x>0都成立,等价于:对任意的x>0都有a≤f(x)或a≥g(x).由f′(x)=2-2/x~2,g′(x)=2+2/x~2可得:在(0,+∞)上,[f(x)]_(min)=f(1)=3,g(x)是增函数,值域为R,所以a≤f(x)对任意x>0都成立     

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

整式的乘除目标检测(一)

一、填空(每小题4分,共20分)1.(a~m)~2·(a~n)~2=__,(-2a~2b~3c)~3=__2.(3a 2b)(3a-2b)=__,(-2x 3y)~2=__3.(-xy z)(xy-z)=__4.(-x~3)~2÷(-x)~2÷x~2=__,(-2a~2bc)~3·(-2ab)~2=__5.(x~3 1/2x~2-6x)÷(-3x)=__     

反客为主

2007年北京市海淀区高三第二学期期中练习第8题是:已知函数f(x)=x~2 ax 1/x~2 a/x b(x∈R,且x≠0).若实数a、b使得f(x)=0有实根,则a~2 b~2的最小值为( ).