A study on the forced vibrations of a class of non linear systems with application to the duffing equation Part I: Analytical treatment

Summary A new approach for the general study of the equations of type (1.1) is developed, consisting in the determination of the periodical steady solutions in a suitable parametric form with which the equation is transformed into a non linear integral equation. The procedure is developed in details in the case of the Duffing equation, for which it is obtained an approximate solution valid even if the non-linearity of the system is very high, based on the study of a Volterra integral equation.

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Sommario Viene sviluppato un nuovo procedimento per lo studio generale delle equazioni del tipo (1.1), consistente nella determinazione delle soluzioni periodiche a regime in una opportuna forma parametrica con cui l'equazione di partenza viene ricondotta ad una equazione integrale non lineare. Il procedimento viene sviluppato nei dettagli nel caso dell'equazione di Duffing per la quale si ricava una soluzione approssimata valida anche quando la non linearità è molto elevata, fondata sullo studio di un'equazione integrale di Volterra.

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This work, conducted within Group of Mathematical Physics of the National Research Council (CNR), is an elaboration of a paper presented at the 2nd National Congress of AIMETA (Napoli, October 1974).     

Transverse vibrations of cylindrical helical springs

Summary In this paper we have calculated the natural frequencies of the transverse vibrations of cylindrical helical springs, with respect to the variation in slenderness and relative compression. The calculation was made by considering the spring as a constant-section beam, and by applying Timoshenko theory to the latter. The theoretical section of this paper is an extension of Haringx's work on the same subject, not so much because it studies natural modes higher than the first (a problem which was treated by Haringx), but rather because its more general approach to the transverse vibrations phenomenon raises problems of results' interpretation that this Author did not face. The calculated values of natural frequencies and the corresponding deflection curves have been compared with experimentally determined values. In the course of experimentation Thickness-shear modes were visualized, which Timoshenko theory takes into account, but which, as far as beams are concerned, are not detectable.

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Sommario Sono state calcolate le frequenze naturali delle vibrazioni laterali delle molle ad elica cilindrica con estremi incastrati, al variare della snellezza e del precarico. Il calcolo è stato effettuato assimilando la molla ad una trave a sezione costante, ed applicando a questa la teoria di Timoshenko.La parte teorica del presente studio è una estensione del lavoro di Haringx sullo stesso argomento, non tanto perché in esso sono stati considerati modi di vibrare superiori al primo (problema questo trattato dall'Haringx), quanto per il fatto che una visione più generale del fenomeno delle vibrazioni laterali pone problemi di interpretazione dei risultati, non affrontati da questo Autore.I valori calcolati delle frequenze naturali e le corrispondenti linee elastiche sono stati confrontati con quelli determinati sperimentalmente. Nel corso della sperimentazione è stato possibile visualizzare modi di vibrare caratteristici (Thickness-shear modes) previsti dalla teoria di Timoshenko, ma non osservabili nel caso delle travi.

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Research sponsored by the National Research Committee (C.N.R.). Paper presented during the: Incontro di studio «Metodi classici e moderni per lo studio delle vibrazioni di sistemi dinamici», Università di Padova, maggio 1976.     

Boundary integral equations in quasisteady problems of capillary fluid mechanics Part 2: Application of the stress-stream function

In this paper planar viscous flows with a free boundary are further studied using the quasisteady approximation [1]. The introduction of the bianalytical stress-stream function provides an opportunity to adopt the theory of analytical functions. The mode of construction of the Fredholm boundary integral equations is here proposed through the explicit solutions of two Hilbert problems for holomorphic functions with the application of the conformal mappings. The stabiligy of the equilibrium of the annulus liquid layer is investigated by way of example.

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Sommario Si prosegue lo studio di flussi piani viscosi con frontiera libera applicando l'approssimazione quasistazionaria [1]. L'introduzione della funzione stress-stream bianalitica consente l'uso della teoria delle funzioni olomorfe. La costruzione delle equazioni integrali di Fredholm al contorno proposta qui si basa sulla risoluzione esplicita di due problemi di Hilbert per funzioni analitiche mediante applicazione della tecnica delle trasformazioni conformi. Come esempio si studia la stabilità dell'equilibrio di uno strato liquido anulare.

     

Shakedown analysis of limited-ductility structures

Summary The paper deals with the shakedown analysis problem of discrete elastoplastic structures, subjected to variable and repeated quasi-static loads, account being given to the limited structural ductility by imposing a-priori limit values to some relevant parameters of plastic deformation. The key-concept of limited-ductility load amplifier is assessed and the problem is given a unified formulation as a nonlinear mathematical programming problem, where ductility constraints — of generalized character — are obtained by using a so-called perturbation method which leads to a-priori upper bounds of the relevant plastic deformation measures. Lower bounds to the load amplifier are so obtained and three different computationals stratagies are herein outlined: the linear parametric programming one is applied to three case-study structures.

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Sommario La memoria affronta lo studio del problema di adattamento elastoplastico di strutture discrete, sottoposte a carichi comunque variabili in modo quasi-statico, tenendo conto di un comportamento a limitata duttilità della struttura, il quale richiede che uno o più parametri della deformazione plastica risultino non superiori di assegnati valori. Del problema di analisi posto, utilizzando il concetto di moltiplicatore dei carichi per l'adattamento con limitata duttilità, viene data una formulazione unitaria come problema di programmazione matematica non lineare, i cui vincoli di duttilità sono ottenuti con tecniche perturbative di maggiorazione a-priori delle deformazioni plastiche. Il metodo conduce a limiti inferiori del moltiplicatore dei carichi dipendenti dal livello assegnato alla deformazione plastica. Tre differenti strategie computazionali vengono delineate per la soluzione del problema, una delle quali di tipo programmazione lineare parametrica viene applicata a tre esempi.

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Ricerca finanziata dal CNR e dal MPI.     

Stability,buckling, and postbuckling of elastic structures

Summary This paper is the continuation of a research on the stability and postbuckling behaviour of elastic structures; in the first Part [n. 4, Vol. X, 1975 of this Journal], the potential energy of elastic tridimensional bodies has been defined in a suitable configuration space, and its properties of regularity have been studied. According to the program given in the previous Paper, we examine now the potential energy functional for some monodimensional and bidimensional structural models. Then the Part II of this research is developed so that the Liapunov stability of the equilibrium configuration of continuous elastic structures is analyzed by means of suitable energy criteria.

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Sommario Questo lavoro costituisce il proseguimento di uno studio sulle stabilità e comportamento postcritico delle strutture elastiche; nel precedente lavoro, pubblicato sul n. 4, vol. X, 1975 di questa rivista, è stato esaminato il problema della definizione dell'energia potenziale di un corpo elastico tridimensionale in un opportuno spazio funzionale delle configurazioni, e sono state esaminate le proprietà di regolarità di questo funzionale. Proseguendo il programma formulato nel lavoro precedente, viene ora innanzitutto completato lo studio del funzionale energia potenziale con riferimento a modelli strutturali mono e bidimensionali. Viene poi sviluppata la Parte II e cioè l'analisi della stabilità secondo Liapunov di una configurazione di equilibrio attraverso opportune formulazioni dei criteri dell'energia.

     

Vibrations,stability and general solution for the duffing and other non linear equations

Summary A general procedure is developed in order to calculate the vibratory motions of non linear systems with one degree of freedom. The vibration is considered as an infinite sequence of increasing and decreasing half-waves, for each of wich time and deplacement are considered as initial data, with initial velocity zero. Recurrent formulae giving the initial data for each half-wave as a function of those relative to the preceeding half-wave are calculated. This procedure is applied to the Duffing equation and leads to study of the powers of a matrix, whose behaviour, when the exponent goes to infinity, determines the character of stability or instability or asymptotic periodicity of the solution.

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Sommario Viene impostata una metodologia generale atta a calcolare i moti vibratori dei sistemi non lineari con un grado di libertà. Il moto vibratorio viene considerato come una successione infinita di semionde crescenti e decrescenti, per ciascuna delle quali il tempo e lo spostamento vengono considerati come dati iniziali, con velocità iniziale nulla. Vengono poi ricavate le formule ricorrenti che forniscono i dati iniziali di ogni semionda in funzione di quelli relativi alla precedente. Il procedimento viene applicato alla equazione di Duffing e porta allo studio delle potenze di una matrice, il cui comportamento quando l'esponente tende ad infinito determina il carattere di stabilità, o instabilità, o periodicità asintotica della soluzione.

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This research was conductes as an activity of the Italian Research Council, C.N.R., G.N.F.M.     

The effect of thickness on stress distribution in the region of intersection between two cylindrical shells with orthogonal axes

Summary A study for the investigation of the stress characteristics in the region of connection between two cylindrical shells with orthogonal axes was performed, within the classical elasticity theory. The stress analysis concerns the area near the intersection of two shells, except for the singular points. Three approximation levels of the analytical model make it possible to graduate the complexity of calculation according to the geometrical characteristics of the two shells.

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Sommario E' stato sviluppato uno studio per determinare le caratteristiche di tensione nella regione di collegamento fra due gusci cilindrici con assi ortogonali. Lo studio è basato sull'impiego delle formulazioni classiche della teoria dell'elasticità. L'analisi dello stato di tensione riguarda la zona prossima all'intersezione dei due gusci, con esclusione dei punti singolari. Tre gradi di approssimazione del modello analitico permettono di graduare la complessità del calcolo in relazione alle caratteristiche geometriche dei due gusci.

     

Finite-scale microstructures and metastability in one-dimensional elasticity

This paper addresses the non-uniqueness pointed out by Ericksen in his classical analysis of the equilibrium of a one-dimensional elastic bar with non-convex energy [1]. Following some previous work in this area, we suitably regularize the problem in order to investigate this degenerancy. Our approach gives an explicit framework for the the study of the rich variety offinite-scale equilibrium microstructures for the bar in a hard loading device, and their stability properties. In this way we clarify the role of interfacial energy in creating finitescale microstructures, by considering the combined effect of the oscillation-inducing and oscillation-inhibiting terms in the energy functional.

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Sommario Il lavoro riguarda la non unicità messa in luce da J.L. Ericksen nella sua analisi dell'equilibrio di barre elastiche con energia non convessa. Seguendo le linee di precedenti lavori, per investigare questa degenerazione si ricorre ad una regolarizzazione del problema e si dà un esplicito quadro di riferimento per lo studio della ricca varietà delle microstrutture di scala finita e della loro stabilità. Si chiarisce in particolare il ruolo dell'energia di interfaccia nella creazione di microstrutture di scala finita considerando l'effetto combinato di termini inibitori e favorevoli all'insorgere di oscillazioni nel funzionale energia.

     

On the constraint and scaling methods to derive the equations of linearly elastic rods

The theory of linearly elastic rods may be obtained from three-dimensional elasticity either by the method of internal constraints or by the scaling method. Both methods have been applied to obtain linear plate and shell equations ([1], [2]–[5]); the relationships between the two methods are discussed in [6]. For rods, a version of the constraint method has been developed in [7], whereas a scaling method has been presented in [12]. In this paper a direct comparison is made between the mechanical basis and analytical results of the constraint and the scaling methods, and it is shown how the scaling method yields the same Kirchhoff hypothesis that forms the starting point of the constraint method.

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Sommario La teoria delle travi elastiche lineari puó essere ottenuta a partire dalla teoria tridimensionale dell'elasticitá tanto con il metodo dei vincoli interni che con il metodo di riscalamento. Entrambi i metodi sono giá stati utilizzati per ottenere le equazioni delle piastre e dei gusci lineari ([1], [2]–[5]); in quel contesto, le relazioni tra i due metodi sono state discusse in [6]. Una versione del metodo dei vincoli appropriata al caso delle travi é stata sviluppata in [7], mentre i metodi di riscalamento per le travi si trovano esposti in [12]. Scopo di questo lavoro é compiere un paragone diretto tra i fondamenti meccanici e le risultanze analitiche, rispettivamente, del metodo dei vincoli e di quello di riscalamento, mostrando come il metodo di riscalamento imponga di accogliere proprio quelle ipotesi all aKirchhoff sulle quali si basa il metodo dei vincoli interni.

     

The ellipse of torsional elasticity

Summary In perfect analogy with Culmann's theory of the elasticity ellipse a flexo-torsional ellipse is devised for rapid calculation of the displacements, hyperstatic reactions and influence lines in beams with a straight axis and variable cross section even in conditions of non uniform torsion.

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Sommario In perfetta analogia con la classica teoria di Culmann dell'ellisse di elasticità, si instaura una ellisse di carattere flesso-torsionale che permette il calcolo rapido degli spostamenti, delle iperstatiche, delle linee di influenza nelle travi ad asse rettilineo a sezione comunque variabile, anche in regime di torsione non uniforme.

     

Dynamics and wave propagation in dilatant granular materials

The equations of motion for dilatant granular material are obtained from a Hamiltonian variational principle of local type in the conservative case. The propagation of nonlinear waves in a region with uniform state is studied by means of an asymptotic approach that has already appeared useful in an investigation on wave propagation in bubbly liquids and in fluid mixtures. When the grains are assumed to be incompressible, it is shown that the material behaves as a continuum with latent microstructure.

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Sommario Si ricavano le equazioni di moto per i materiali granulari dilatanti da un principio variazionale Hamiltoniano di tipo locale nel caso conservativo. Si studia la propagazione delle onde non lineari in una regione di stato costante per mezzo di un approccio asintotico già rivelatosi utile nello studio della propagazione di onde nei liquidi con bolle e nelle miscele di fluidi. Quando si supponga che i granuli siano incomprimibili, si dimostra che il materiale si comporta come un continuo con microstruttura latente.

     

On the dynamic behavior of an elastoplastic oscillator

Summary We describe an experimental research on the behavior of an elastoplastic oscillator with one degree of freedom and we point out some differences with respect to the results of studies on a bilinear isteretical model. Therefore a mechanical scheme of an elastoplastic oscillator endowed with a continuous skeleton intrinsec curve is studied and the results of the theory agree with the experimental ones.

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Sommario Si descrivono le esperienze condotte su un oscillatore elastoplastico a un grado di libertà. Si mettono in evidenza alcune differenze del comportamento reale con le risultanze teoriche, queste vengono spiegate attraverso lo studio di un modello teorico elastoplastico con caratteristica intrinseca curvilinea anzichè bilineare.

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The present investigation has been promoted and financed by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.) at the Istituto di Scienza e Tecnica delle Costruzioni del Politecnico di Milano.     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

Couette-Poiseuille flows and their stability in anisotropic M.H.D.

Summary We determine the M.H.D. laminar steady flows in a plane layer with rigid and conducting walls, taking into account the Hall and ion-slip currents. We study the non linear stability in the means of these motions in the class of laminar perturbations.

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Sommario Si determinano i moti magnetoidrodinamici stazionari in uno strato piano con pareti rigide conduttrici, in presenza delle correnti di Hall e di ion-slip, e si studia la stabilità non lineare in media di questi moti nella classe delle perturbazioni laminari.

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Work performed under the auspices of G.N.F.A.-C.N.R., Italy.     

Non-linear stability of doubly curved thin shallow shells on rectangular plan with small geometrical imperfections

Summary This paper deals with some theoretical developments of the problem of stability of doubly curved thin shallow shells on a rectangular plan. After some critical references to results obtained in earlier studies using the linear theory of stability, the problem of elastic equilibrium in the nonlinear range is approached and solved for some types of shells using piecewise linearisation. Load-displacement curves up to post-buckling are obtained. Deflections not conforming to structural symmetry are also considered. The influence of small geometric imperfections deviates the load-displacement curve to other equilibrium positions and hence a shell with imperfections attains its snapping point at a lower load than one without. A comparison with some experimental studies by other authors is given in the appendix.

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Sommario Lo studio tratta di alcuni sviluppi teorici sul problema della stabilità dell'equilibrio delle volte sottili ribassate a doppia curvatura su pianta rettangolare. Nella prima parte vengono esposte alcune considerazioni critiche circa i risultati ottenuti in parte dall'Autore in lavori precedenti con la teoria lineare della stabilità. Il problema dell'equilibrio elastico viene poi affrontato in campo non-lineare e risolto per alcuni tipi di volte mediante una linearizzazione a tratti; le curve carico-spostamento vengono ricavate fino al comportamento post-critico. Vengono altresì ricavate curve carico-spostamento corrispondenti a deformate che non conservano la simmetria di struttura e di carico.La presenza di piccole imperfezioni devia la curva caricospostamento verso altre posizioni di equilibrio e la curva relativa raggiunge il punto di instabilità progressiva per valori del carico notevolmente inferiori di quelli relativi alla stessa volta senza imperfezioni. Infine si riporta in appendice un confronto con risultati sperimentali di altri Autori.

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Study supported by the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

Optimum geometrical design of multipad externally pressurized journal bearings

Summary A geometrical characterisation for externally pressurized journal bearings having been defined, the relationship between geometry and dynamic behaviour is investigated systematically in the present paper. The result of the investigation is a set of diagrams covering cases of practical interest not presented to such an extent before.

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Sommario Dopo aver definito un procedimento per la caratterizzazione geometrica delle coppie rotoidali a pozzetti larghi e profondi, la presente nota fornisce in forma diagrammata l'influenza delle scelte dimensionali sul comportamento dinamico del cuscinetto. I risultati presentati sono originali e di pratico interesse anche in ragione del carattere di sistematicità con cui sono esposti. Lo studio fa riferimento alle deduzioni teoriche sviluppate in tale campo presso l'Istituto di Meccanica Applicata alle Macchine dell'Università di Genova e si inquadra in una organica indagine ivi condotta sulle coppie rotoidali portanti pressurizzate dall'esterno.

     

The instability of an axially loaded viscoelastic constrained bar in the large displacement range

Summary This paper deals with the behaviour of an axially loaded viscoelastic structure at one degree of freedom in the large deformation range; the stress-strain relation assumed is linearly viscoelastic, with the kernel at non invariant memory, typical of concrete.The study is rigorously conducted for two types of restraint, characterizing, in the elastic range, the instability of both first and second kind; the problem is then stated in respect of a type of mixed restraint, such as can be found in some real structures, an approximate solution of which is here supplied.

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Sommario Vengono analizzate le caratteristiche di comportamento nel tempo di una struttura viscoelastica a un grado di libertà, caricata di punta, nel campo delle grandi deformazioni; il legame sforzi-deformazioni assunto è viscoelastico lineare, con il nucleo a memoria non invariante caratteristico dei calcestruzzi.Lo studio è svolto in forma rigorosa per due tipi di vincolo che caratterizzano, in campo elastico, l'instabilità di prima e quella di seconda specie; viene inoltre impostato il problema corrispondente ad un tipo di vincolo misto, presentato da alcune strutture reali, del quale si fornisce una soluzione approssimata.

     

Topological methods for transients of driven systems

We consider the application of topological methods (such as knot, braid and Nielsen-Thurston theory) to transient, rather than periodic, orbits of periodically-forced nonlinear oscillators. The methods are restricted to systems with a three-dimensional phase space.

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Sommario Si considera l'applicazione di metodi topologici (basati sulle teorie dei nodi, delle trecce e di Nielsen-Thurston) allo studio delle orbite transitorie, piuttosto che stazionarie, di oscillatori nonlineari forzati periodicamente. Tali applicazioni sono ristrette a sistemi aventi spazio delle fasi tridimensionale.

     

Rational criteria for quantifying the performance of mechanical presses

Summary In the practical mechanics a great interest have for the mechanical engineers the questions concerning a correct definition of the performance of a mechanical press and the theoretical and practical methods to determine its allowable limit in service.After a preliminary study on the parameters really significant, this paper shows an analytic method to get, in quantitative form, the solution of the problems concerning the determination of the duty conditions compatible with the regular operation of a mechanical press.As a conclusion, some general relations are proposed in order to describe quantitatively the performance of a mechanical press and to give a rational form to the set of mechanical quantities characterising it.

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Sommario Nel campo della ingegneria meccanica, un grande interesse rivestono le questioni concernenti la corretta definizione delle prestazioni di una pressa e i metodi teorici e pratici per determinare i corrispondenti limiti ammissibili di esercizio.Dopo uno studio preliminare sui parametri realmente significativi, viene esposto un metodo analitico per ottenere la soluzione in forma quantitativa di problemi concernenti con la determinazione delle condizioni di esercizio compatibili con il regolare funzionamento della pressa.Come conclusione, si propongono alcune generali relazioni per la formulazione quantitativa delle prestazioni delle presse meccaniche e per descrivere in forma razionale le caratteristiche operative e di impiego di detta macchina.

     

Energy and radiation transfer in a finite convex body with general boundary conditions

Summary We consider a nonlinear system of equations describing the interaction of radiation with matter through a balance of the specific intensity of radiation and the specific internal energy in a convex bounded body.The boundary conditions are not homogeneous. However, suitable additive decompositions of the unknown functions lead to systems with homogeneous boundary conditions and known source terms. We give two such decompositions: one of these, suggested by physical considerations, arises from the study of a nonhomogeneous linear integral equation in a convenient Banach space. The system is studied by using the theory of semigroups of linear operators and nonlinear perturbations in an L ₁ setting. We prove the existence and uniqueness of a positive differentiable solution, which is global in time.

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Sommario Si considera un sistema non lineare di equazioni che descrivono l'interazione della radiazione con la materia e rappresentano il bilancio dell'intensità specifica di radiazione e dell'energia specifica internu in un mezzo finito convesso. Le condizioni al contorno sono di tipo generale e non omogenee; l'introduzione di opportune scomposizioni della funzione incognita permette di ricondurci a sistemi con condizioni al contorno omogenee; ciò comporta l'introduzione di termini di sorgente noti. Si presentano due esempi di scomposizione, uno dei quali, suggerito da considerazioni fisiche, scaturisce dallo studio di un'equazione integrale lineare non omogenea in un opportuno spazio di Banach. Si riduce quindi il problema ad un'equazione di evoluzione non lineare in uno spazio di Banach di norma L ₁.Si prova l'esistenza di un'unica soluzione forte non negativa, utilizzando la teoria dei semigruppi e delle perturbazioni non lineari; tale soluzione risulta inoltre globale nel tempo.

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Work performed under the auspices of C.N.R. (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica) and partially supported by M.P.I.