On a certain class of infinitely divisible distributions

We characterize the class of distribution functions Φ(x), which are limits in the following sense: there exist a sequence of independent and equally distributed random variables {ξ _n }, numerical sequences {a _k }, {b _k } and natural numbers {n _k } such that $$\mathop {lim}\limits_{k \to \infty } Prob\left\{ {\frac{1}{{a_k }}\mathop {\Sigma }\limits_{k = 1}^{n_k } \xi _k - b_k< x} \right\} = \Phi (x)$$ and $$\mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } (n_k /n_{k + 1} ) > 0$$ .     

Some remarks concerning the individual ergodic theorem of information theory

Let (X,μ, T) be an ergodic dynamic system and let ξ = (C₁, C₂, ...) be a discrete decomposition of X. Conditions are considered for the existence almost everywhere of $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\left| {\log \mu (C_{\xi ^n } (x))} \right|,$$ whereC _ξn(x) is the element of the decomposition ξⁿ = ξ V T ξ V ... < T^n-1ξ containing x. It is proved that the condition H(ξ) < ∞ is close to being necessary. If T is a Markov automorphism and ξ is the decomposition into states, then the limit exists, even if H(ξ) = ∞, and is equal to the entropy of the chain.     

General maximal inequalities related to the strong law of large numbers

For any sequence (ξ _n ) of random variables, we obtain maximal inequalities from which we can derive conditions for the a.s. convergence to zero of the normalized differences $$\frac{1}{{2^n }}\left( {\mathop {\max }\limits_{2^n \leqslant k < 2^{n + 1} } \left| {\sum\limits_{i = 2^n }^k {\xi _i } } \right| - \left| {\sum\limits_{i = 2^n }^{2^{n + 1} - 1} {\xi _i } } \right|} \right).$$ The convergence to zero of this sequence leads to the strong law of large numbers (SLLN). In the special case of quasistationary sequences, we obtain a sufficient condition for the SLLN; this condition is an improvement on the well-known Móricz conditions.     

A limit theorem for expectations conditional on a sum

Let ξ₁, ξ₂, ξ₃,... be a sequence of independent random variables, such that μ _j ?E[ξ _j ], 0<α?Var[ξ _j ] andE[|ξ _j ?μ _j |^2+δ] for some δ, 0<δ?1, and everyj?1. IfU and ξ₀ are two random variables such thatE[ξ ₀ ² ]<∞ andE[|U|ξ ₀ ² ]<∞, and the vector 〈U,ξ〉 is independent of the sequence {ξ _j :j?1}, then under appropriate regularity conditions $$E\left[ {U\left| {\xi _0 + S_n } \right. = \sum\limits_{j = 1}^n {\mu _j + c_n } } \right] = E[U] + O\left( {\frac{1}{{s_n^{1 + \delta } }}} \right) + O\left( {\frac{{|c_n |}}{{s_n^2 }}} \right)$$ whereS _n ?ξ₁+ξ₂+?+ξ _n ,μ _j ?E[ξ _j ],s _n ² ?Var[S _n ], andc _n =O(s _n ).     

An example of a function which is Denjoy integrable but not khinchin summable

The following result is proven: if ξ is an irrational number “anomalously badly“ approximable by rationals, then there are functions which are not Khinchin ξ-summable but which are Denjoy integrable. Let I be the interval 0 ≤ x ≤ 1, and let ξ be an irrational, 0 < ξ< 1. Let T _ξ denote the transformation of I into itself defined as follows: $$T_\xi x = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x + \xi ,ifx + \xi \in I;} \\ {x + \xi - 1} \\ \end{array} } \right.$$ otherwise.     

Summation of weakly dependent sequences by Cesàro methods

Пусть (X, A, u) — пространст во с конечной мерой, (ξ_k) ₁ ^∞ — последовательност ь функций, \(\xi _k \varepsilon L_{2r} (X), r > 1, \int\limits_X {\xi _k d\mu = 0} \) . Изучаются условия, п ри которых справедли вgа - у. з. б.ч., т. e. (ξ _k) суммируется к ну лю почти всюду методо м (С, а),а > 0. Приведем два резу льтата. 1) Если (ξ _k) — слабо мульт ипликативная систем а (в частности, мартингал-разности или независимая сист ема), то условие $$\mathop \sum \limits_1^\infty \mathop {\smallint }\limits_X \left| {\xi _k } \right|^{2r} d\mu \cdot c_r (k,\alpha )< \infty $$ влечетβ - у.з.б.ч. Здесьc _r(k,α)=k ^-2rα при 0<α<(r+1)/2r, c_r=k^?(r+1) In3r-1 k приа=(r+1)/2r, с_r=k^?(r+1) при а >(r+1)/2r. 2) Если (ξ _k) независимы,Mξ _k=0, (r+1)/2r<α=1, то условия $$\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \frac{{(M\xi _k^2 )^r }}{{k^{r + 1} }}< \infty ,\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \frac{{M|\xi _k |^{2r} }}{{k^{2r\alpha } }}< \infty $$ влекут за собой а - у. з. б. ч.     

On chebyshev quadrature for a special class of weight functions

Recently Gautschi [5] has proved that the weight functionsw _ξ defined by $$w_\xi (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| x \right|(x^2 - \xi ^2 )^{ - 1/2} (1 - x^2 )^{ - 1/2} ,x \in [ - 1, - \xi ] \cup [\xi ,1]} \\ {0\,\,elsewhere,\,0< \xi< 1} \\ \end{array} } \right.$$ are the only symmetric ones, apart from the Chebyshev weight function, for which there exists for every evenn a Chebyshev rule in the strict sense, havingn nodes and Gaussian degree 2n?1. In this note we show that for an odd numbern of nodes the maximum degree of Chebyshev-type rules forw _ξ has a completely different behavior from that for evenn.     

On the existence of the Stieltjes integral for functions of bounded variation

We obtain sufficient conditions of existence of the Stieltjes integral $$\int\limits_s^t {f(\tau )} d\mathcal{F}(\tau ) = \mathop {\lim }\limits_{\delta _n \to 0} \sum\limits_{k = 1}^{m_n } {f(\xi _k )(\mathcal{F}(t_k^n ) - \mathcal{F}(t_{k - 1}^n ))}$$ for functions of bounded variation taking values in a Banach algebra with identity regardless of the choice of points ξ_k ε [t_k?1, t_k].     

Über die Größenordnung der Teilerfunktion in Restklassen

Letd(n) denote the number of divisors ofn, then the asymptotic formula $$\sum\limits_{\mathop {n< x}\limits_{n = r(\bmod m)} } {d(n) = \xi _1 (r,m)} x\log x + \xi _2 (r,m)x + O(x^{1/2} )$$ is derived and, as the main result of the paper, the coefficients ξi(rm),i= 1,2, as functions of the powers of the prime numbers ofm and of g. c. d. (r, m) are determined.     

Der Satz von Hurwitz beim Jacobialgorithmus

Letx be a point such that its expansion by Jacobi's algorithm does not possess “Störungen” (in the sense ofPerron). Let $$F(x,g) = \frac{{A_{_0 }^{(g + n + 1)} + \sum\limits_{j = 1}^n {A_0^{(g + j)} x_j^{(g)} } }}{{A_{_0 }^{(g + 1)} }}$$ and let ξ>1 satisfy ξn+1=ξn+1. Then at least one of 2n+1 consecutive values of g satisfiesF(x,g) > ξn+nξn?1.     

Ingham divisor problem with square-free numbers

For the number N(x) of solutions to the equation aq − bc = 1 in positive integers a, b, c and square-free numbers q satisfying the condition aq ≤ x the asymptotic formula

A class of functions of a real variable

An investigation of measurable almost-everywhere finite functions ξ(t), -∞ $$\varphi _T^\xi (\tau _{(n)} , \lambda _{(n)} ) = \frac{1}{{2T}}\int_{ - T}^T {\exp i} \sum\nolimits_{k - 1}^n {\lambda _k \xi (t - \tau _k )dt} $$ tends to an asymptotic characteristic function? _∞ ^ξ (τ _(n), λ_(n)) when T → ∞. Here n is any positive integer and T_(n)=(τ₁; τ₂, ..., τ_n) is arbitrary. It is proved that the class of such functions ξ(t) is larger than the class of Besicovich almost-periodic functions.     

Lacunary subsets of orthonormal sets

В РАБОтЕ РАссМАтРИВА УтсьS _Р-пОДсИстЕМы О. Н.с. В ЧАстНОстИ, ДОкАжыВА Етсь слЕДУУЩАь тЕОРЕ МА, кОтОРАь НЕУсИльЕМА. тЕОРЕМА.пУсть Р>2 —ЧЕ тНОЕ ЧИслО, δ — пРОИжВО льНОЕ ЧИслО, 0<δ≦p?2,Φ= {Φ _n(x)} _n=1 ^N —O.H.C.,x?[0,1],пРИЧЕМ ∥ Φ _n∥_p≦M, n=1,2,...,N, гДЕР=Р+δ, 0М<∞. тОгДА Иж сИстЕМы Ф МОж НО ВыБРАть пОДсИстЕМ У \(\Phi ' = \left\{ {\varphi _{n_k } } \right\}_{k = 1}^{N'} ,N' \geqq N^{\alpha (\delta )} ,\alpha (\delta ) = \frac{{2\delta }}{{p(p - 2 + \delta )}}\) , тАкУУ, ЧтО Дль лУБОгО п ОлИНОМА \(P(x) = \sum\limits_{k = 1}^{N'} {a_k \varphi _{n_k } (x)} \) ИМЕЕ т МЕстО ОцЕНкА $$(\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} \leqq \left\| P \right\|_p \leqq c_{p,M,\delta } (\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} $$ (c _p, m, δ — пОстОьННАь, жАВИ сьЩАь тОлькО Отp, M, δ, НО НЕ От N ИлИ кОЁФФИцИЕНтОВ пО лИ-НОМА). пРИВОДьтсь И ДРУгИЕ РЕжУльтАты А НАлОгИЧНОгО хАРАктЕ РА.     

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

Asymptotic properties for the loglog laws under positive association

Let {X _n : n ?? 1} be a strictly stationary sequence of positively associated random variables with mean zero and finite variance. Set $S_n = \sum\limits_{k = 1}^n {X_k }$ , $Mn = \mathop {\max }\limits_{k \leqslant n} \left| {S_k } \right|$ , n ?? 1. Suppose that $0 < \sigma ^2 = EX_1^2 + 2\sum\limits_{k = 2}^\infty {EX_1 X_k < \infty }$ . In this paper, we prove that if E|X ₁|^2+?? < for some ?? ?? (0, 1], and $\sum\limits_{j = n + 1}^\infty {Cov\left( {X_1 ,X_j } \right) = O\left( {n^{ - \alpha } } \right)}$ for some ?? > 1, then for any b > ?1/2 $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \searrow 0} \varepsilon ^{2b + 1} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^{b - 1/2} }} {{n^{3/2} \log n}}} E\left\{ {M_n - \sigma \varepsilon \sqrt {2n\log \log n} } \right\}_ + = \frac{{2^{ - 1/2 - b} E\left| N \right|^{2(b + 1)} }} {{(b + 1)(2b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2(b + 1)} }}}$$ and $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \nearrow \infty } \varepsilon ^{ - 2(b + 1)} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^b }} {{n^{3/2} \log n}}E\left\{ {\sigma \varepsilon \sqrt {\frac{{\pi ^2 n}} {{8\log \log n}}} - M_n } \right\}} _ + = \frac{{\Gamma (b + 1/2)}} {{\sqrt 2 (b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2b + 2} }}} ,$$ where x ₊ = max{x, 0}, N is a standard normal random variable, and ??(·) is a Gamma function.     

Weighted restriction theorems for Bessel potentials

Пустьk-мерное евклид ово пространствоR ^k рассматривается как подмножествоR ⁿ . Зафиксируемр, 1<р<∞ иα >(n?k)/p, α≠п. Как обычно, бесселев потенциалJαf обобщенной функции Шварцаf наR ⁿ определяется с помощ ью ее преобразования Фурь е \((\widehat{G_\alpha f})(\xi ) = (2\pi )^{ - n/2} [1 + |\xi |^2 ]^{\alpha /2} f(\xi ), \xi \in R^n .B\) , ξ∈R ⁿ . В работе характ еризуются положител ьные весовые функцииw(x ₁,...,x _k ), которые при продолжении наR ⁿ с помощью равенстваw(x ₁,...,x _k ,...,x _n )=w(x ₁, ...,x _k ) обладают с ледующим свойством: существует числос>0, не зависящее отf, такое, что $$\begin{gathered} \int\limits_{R^k } {|(G_\alpha f)(x_1 ,...,x_k ,0,...,0)w(x_1 ,...,x_k )|^p dx_1 ...dx_k \leqq } \hfill \\ \leqq C\int\limits_{R^n } {|f(x_1 ,...,x_n )w(x_1 ,...,x_n )|^p dx_1 ...dx_n } \hfill \\ \end{gathered} $$      

On the existence and smoothness of a generalized solution of a nonlinear differential equation with degeneration

Let Ω be an arbitrary open set in R _n , and let σ(x) and g _i (x), i = 1, 2, ..., n, be positive functions in Ω. We prove a embedding theorem of different metrics for the spaces W _p ^r (Ω, σ, $ \vec g $ ), where r ∈ N, p ≥ 1, and $ \vec g $ (x) = (g ₁(x), g ₂(x), ..., g _n (x)), with the norm $$ \left\| {u;W_p^r (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\| = \left\{ {\left\| {u;L_{p,r}^r (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\|^p + \left\| {u;L_{p,r}^0 (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\|^p } \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} , $$ where $$ \left\| {u;L_{p,r}^m (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\| = \left\{ {\sum\limits_{\left| k \right| = m} {\int\limits_\Omega {(\sigma (x)g_1^{k_1 - r} (x)g_2^{k_2 - r} (x) \cdots g_n^{k_n - r} (x)\left| {u^{(k)} (x)} \right|)^p dx} } } \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} , $$ We use this theorem to prove the existence and uniqueness of a minimizing element U(x) ∈ W _p ^r (Ω, σ, $ \vec g $ ) for the functional $$ \Phi (u) = \sum\limits_{\left| k \right| \leqslant r} {\frac{1} {{p_k }}\int\limits_\Omega {a_k (x)} \left| {u^{(k)} (x)} \right|^{p_k } } dx - \left\langle {F,u} \right\rangle , $$ where F is a given functional. We show that the function U(x) is a generalized solution of the corresponding nonlinear differential equation. For the case in which Ω is bounded, we study the differential properties of the generalized solution depending on the smoothness of the coefficients and the right-hand side of the equation.