和垂足三角形有关的几个不等式

本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径,内切圆半径,旁切圆半径的相关几个不等式．     

再探旁心三角形的性质

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc.     

焦点三角形面积的另类公式

在圆锥曲线中，焦点三角形是一个引人注目的三角形，它的面积是一个非常重要的几何量，值得我们深入探究．对于S=b^2tan α/2和S=b^2cot α/形式是大家都比较熟悉的，在它的启示下，笔者从焦点三角形内切圆、外接圆和旁切圆半径的角度作了探究，得到了两类不同形式，现论述如下，与读者共赏．     

欧拉不等式的加强与数学通报第1744题简证

方超在《数学通报》2008年第7期问题解答栏第1744题提出如下问题:设h和l是由一个顶点引向对边的高线和角平分线,R和r分别是该三角形外接圆半径和内切圆半径,求证:h/l≥(2r/R)(1/2).(1)原解答似乎过于曲折,难以想到,不易掌握.熟知欧拉不等式R≥2r,因此,(2r/R)(1/2)≤1,但h/l≤1,所以仅用简单的传递性是不行的.而h/l可以用角     

一个"数学问题"的简解与推广

《数学通报》2006年第4期刊登的第1609号问题是:问题1609:求内切圆半径为1的三角形面积的最小值.问题提供人给出的解法[1]较曲折复杂,而且不易推广.本文给出一种简洁解法,并将结论推广至任意的圆外切多边形.图1问题的简解如图1,设ΔABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c,其内心为I.     

数学问题

2005年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)1531设I是AABC的内心，R，R1，R2，R3，分别是AABC、△IBC、△ICA、△IAB的外接圆半径．求证：AABC为正三角形的充要条件是R1 R2 R3=3R     

关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

数学问题解答

20 0 4年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 1　设点O、I、P分别为△ABC的外心、内心和BC边外的旁切圆圆心 ,R和ra分别为外接圆半径和BC边上的旁切圆半径 .AD是高 ,且R=ra,求证点I在OD上 .(辽宁省瓦房店市第二十五中　田　晶　 1 1 63 0 9)证明 　如图 ,设AP交OD于I′,交BC于H ,交⊙O于M .⊙P切BC于E .连结OM、MC、PE .作直径AK ,连结KC .则∠ABC =∠AKC ,∠ADB =∠ACK=90° .于是∠BAD =∠CAK .由点P为旁心知∠BAP=∠CAP .所以∠DAM =∠KAM .又∠KAM =∠OMA ,故OM ∥AD .　　所以 AI′I′M =…     

三角形中的一个不等式

定理①:设△ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为S,面积为△.     

由tanA/2=r/p-a导出的三角恒等式

1．引理 记△ABC的三边分别为a，b，C，其内切圆、外接圆半径分别为r，R，p=1/2（a＋b＋c），则tanA/2=r/p-a，tanB/2=r/p-b，tanC/2=r/p-c.     

两个优美的几何恒等式

1预备知识 引理1△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则sinA sinB sinC=S/Rr。     

数学问题解答

2008年7月号问题解答(解答由问题提供人给出) 1741设△ABC的内切圆切三边BC、CA、AB于D、E、F,求证(1)AD、BE、CF三线共点; (2)(S_(△DEF))/(S_(△ABC))=r/(2R)(r、R分别为△ABC的内切圆、外接圆半径). (江苏省新海高级中学孙四周222006)     

数学问题解答

2008年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1736 如图,在五边形ABDE中,∠ABC=∠AED=90°,∠BAC=∠EAD,M是CD的中点求证:BM=EM.     

《数学通报》第1454号问题探究的三重境界

《数学通报》2003年第10期,"数学问题解答"篇中第1454号问题,其证明、上界确定、推广等都有进一步完善和优化的广阔空间,在不断强化和深入新课程改革的今天,更是一个培养创新思维和探究能力的良好素材,笔者的探究经历了三重境界.     

中线三角形的几个性质

在△ABC中,记三条边a,b,c上的中线依次为ma,mb,mc,外接圆半径为R,内切圆半径为r,面积为△．     

一次出人意料的探究之旅

新课程教学的一个重要特点,就是重视对学生研究性学习的教学,但如果教师本身缺乏相关数学问题研究过程的体验,那么对其教学思想方法的形成有着不利的影响.就像在语文教师中提倡写"下水"作文一样,如果数学教师能经常独立地去探究一些自己未知的问题,那么对如何搞好研究性学习教学就会更加有体会,教学效果也会更好.     

三角形和相伴三角形之间的几个结论

本文给出一个与三角形相伴的新三角形,得到新三角形与原三角形的半周长、面积、外接圆半径及内切圆半径间的大小关系,以及内角间的一个恒等式.     

与垂足三角形内切圆有关的几个等式

文[1]给出如下结论, 定理 设△ABC边长为α,b,C,外接圆半径为R,垂足△DEF内切圆的半径为r则有,r=a2 b2 c2-8R2/4R