巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等．但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性．用以上常规的方法不易求其最值，若能仔细分析无理函数解析式的结构特点，数形结合。构造出相应的平面解析几何模型，利用其“形”的特征，可转化为求平面解析几何模型（曲线）上的一动点到模型外两定点的距离和（差）的最值．或动点与定点连线的斜率最值，或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值，从而暴露了问题的本质，使复杂抽象的函数问题具体化、简单化．本文根据动点所属不同的平面解析几何模型。分类举例说明．     

利用两个不等式求一类无理函数的最值

贵刊１９９９年第一期刊出了胡格林老师的文章《一个不等式习题的应用》，读后受益非浅．该文谈及的是柯西不等式在解最值方面的应用．有一类无理函数，它既有最大值又有最小值，若仅用柯西不等式往往只能求出其中一个，因此，笔者经过认真思考探究发现，把满足一定条件的完全平方公式演变成两个不等式，用它能解决一类无理函数的最值问题，从而比较完满地解决了一类既有最大值又有最小值的无理函数的最值问题．对于完全平方公式：（ａ±ｂ）２＝ａ２＋ｂ２±２ａｂ，若限定条件ａ≥０，ｂ＞０或ａ＞０，ｂ≥０，则可得到如下两个不等式：ａ…     

圆锥曲线型无理函数及其值域的统一求法

圆锥曲线型无理函数及其值域的统一求法２２６５１１江苏如皋白蒲中学张云飞无理函数是中学数学中的一类重要函数，关于这类函数度回的来法已有分篇文章论及（参见文【ｌ〕【２〕【３〕【４ｊ等）．美中不定的是还没有哪自文章结出这类函数度回的一种统一本法．本文白先运...     

一个值域问题的多角度审视

在高三复习教学中,常遇到一些无理函数的值域求解问题,学生的解题错误率较高,有的甚至感觉思路穷尽无从下手．如果能够细致分析所求无理函数的形式特点和结构关系,辩证联想,多角度审视,就能借助相关知识巧妙转化,顺利获解．本文试举一例供教学时参考．     

由一题到一类

对于这类无理函数的值域问题，一般有如下两种传统解题思路：一是通过平方去根号，再根据二次函数的性质求值域；二是换元法，令其中一项等于t，将原函数化为关于t的函数，转化为赢线与圆锥曲线的关系求解．     

如何探求无理函数的值域

求无理函数的值域（最值）的问题是高中数学的重点、难点,也是各级各类考试的热点,这类问题内涵丰富,灵活多变,涉及多个知识点,技巧性、综合性都较强,解法灵活且多种多样,可以说没有通性通法,没有统一的规律可遵循．同学们在解决这类问题时,答错率较高,许多同学感到困难,甚至束手元策．如何探求无理函数的值域（最值）？探求的思维途径何在？本文试图通过实例对此问题作一些探究．     

一类无理函数最大值、最小值的求法

一类无理函数最大值、最小值的求法何国梁（湖南师大数学系４１０００６）由于对任意的ｔ∈［０，１］，都可通过代换ｘ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ使得。ｘ∈［ａ，ｂ］，故在求形如的无理函数的最大值、最小值时，可先用换元的方法，换元后的函数的定义域成为［０，１］再利用三...     

用一一映射变换求一类无理函数的值域

用一一映射变换求一类无理函数的值域７２３１００陕西南郑江南压铸总厂子校郝世富首先，我们建立一个从区间［ａ．ｂ］到区问［ｃ，ｄ］上的一个一一映射．为此．我们需要解决的是如何确定这个映射的对应法则．设ＡＢ、ＣＤ是两条互相平行的数轴（如图），易知区间［ａ，...     

解两类无理函数最值问题的三角代换法

在学校阅览室中,我读到了文[1]、文[2],文[1]介绍了用a·b≤｜a｜·｜b｜求两类无理函数最值的方法,但该文只考虑了最大值,而没有考虑最小值,为了弥补这一局限,文[2]给出了新的方法——规划法．该法虽然巧妙,但解答过程并不简洁．经过研究我发现,利用三角代换可以很方便地解决这两类无理函数的最值问题,下面我结合原文中的例子予以说明．     

用三角换元法求两类无理函数的值域

用三角换元法求两类无理函数的值域福建晋江养正中学许远望，方刚凌关于根式函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋值域的求法，杂志上发表了不少文章，各抒己见．文［１］──文［４］研究的中心课题，都是判别式的可靠性问题．本文试图利用三角换元法，使根式有理化，再利用三角函数...     

y＝mx＋n＋l（ax~2＋bx＋c）~（1／2）值域的代换解法

ｙ＝ｍｘ＋ｎ＋ｌ（ａｘ~２＋ｂｘ＋ｃ）~（１／２）值域的代换解法周华生（江苏省常熟市中学２１５５００）无理函数的值域求法，以前讨论得较多．往往借助于判别式及解析几何图形，计算量往往偏大．笔者寻求另一条解题途径，即通过三角代换使这类问题获得较为圆满的解决...     

简单无理函数的积分

无理函数的积分,一般高数教材中只讨论R(x,(ax b)~m及R(x,((ax b)/(ce e))~n)这两类函数的积分。这里,介绍常出现的几个类型的无理函数的积分技巧。     

一道积分题的多种解法

一道无理函数积分题,可以从多种角度,运用不同的基本方法来求解.     

求无理函数值域的通法--导数法

无理函数值域问题是高中数学的重点、难点,同时也是各种考试的宠儿．纷繁复杂的试题让许多学生感到非常头疼,也让老师在教学中不知所措．查阅文献,大多作者对于该类问题多是采用换元、构造等一些技巧性非常强的方法．乍看这些解法甚是精美,细想一下,作为具有较高的知识水平和多年的教学经验的老师,用这样的方法是家常便饭．可是,     

巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等.但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性,用以上常规的方法不易求其最值,若能仔细分析无理函数解析式的结构特点,数形结合,构造出相应的平面解析几何模型,利用其“形”的特征,可转化为求平面解析几何模型(曲线)上的一动点到模型外两定点的距离和(差)的最值,或动点与定点连线的斜率最值,或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值,从而暴露了问题的本质,使复杂抽象的函数问题具体化、简单化.本文根据动点所属不同的平面解析几何模型,分类举例说明.1.动点在直线上…     

构造向量求无理函数最值

在学习向量的过程中,有如下两个结论： a·b≤｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜; ｜a｜-｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜。 本文旨在通过一些例子说明,有针对性地、恰当地构造向量,运用上述结论,能简明快捷地探求四类无理函数的最值．     

函数式的恒等变形在不定积分中的应用

函数式的恒等变形在不定积分中的应用樊庐生（合肥市物价学校，合肥２３００５１）高等数学中的不定积分的解法通常有：利用不定积分的性质及基本公式；利用换无法；利用分部积分法，等。对于有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数等不定积分也都有确定的模式。但对于...     

利用斜率公式简解数学竞赛题

斜率公式是平面解析几何中的重要公式,若在高中代数中能灵活运用斜率公式求解,把有些代数问题转换成几何问题讨论,既简洁又新颖,往往能峰回路转,探索出十分巧妙的解法．1．求无理函数的最值例1 (1996年第44届美国中学数学竞赛题)对实数x,求函数f(x)=(8x-x~2)~(1/2)- 14x-x~2-48~(1/2)的最大值．     

无理函数最值的几何求法

函数极值有多种求法 ,常用的有代数方法和几何方法 ,无理函数极值的代数求法《中学数学》2 0 0 1年第 6期已作过一些探讨 .但对众多的根式 ,用代数方法求解有时也较繁琐 ,而用几何方法求解却能迎刃而解 .下面研究无理函数极值的几何求法 .1　构造直线截距求极值( 1 )对于求形如 y =ax b±px q　 ( ap≠ 0 ,aq - bp≠ 0 )的无理函数的极值 ,可通过作代换　 u =ax b,v =± px q,转化为求曲线pu2 - av2 =pb - aq　 ( u≥ 0 )与直线 v =- u y有公共点的截距 y的极值 .例 1　求 y =x 1 - x - 1的极值 .解　设 u =x 1 ,v =- x - 1 .…     

求一类无理函数值域的新视角

形如y=mg(x)~(1/2) nf(x)~(1/2),(m,n∈R 且大于零)其中g(x) f(x)=c(常数)类型的无理函数值域问题,现给出利用向量的数量积来求解,它能很好地联系数学各部分知识,有益于打破定势思维,培养创新精神．