数学诡辩

(一)没有等角的等腰三角形湖南江永一中高二学生方建明已知a=3~(1/2),b=1,C=30°。解△ABC。由余弦定理,得所以△ABC为等腰三角形。由正弦定理,得 B=180°-(A+C)=90°。即得,等腰三角形ABC的三内角分别为30°,60°,90°,其中没有两个相等的角。这是怎么回事?     

三角形中线定理的一点应用

平行四边形两对角线(l_1和l_2)的平方和等于各边(邻边为a和b)的平方和,即l_1~2+l_2~2=2(a~2+b~2)。如果令m=l_1/2,c=l_2,代入上式,得m~2=1/2(a~2+b~2)-(1/4)c~2,这就是三角形的中线定理,这里a、b、c为三角形的三边,m为c边上中线。这个定理,不仅可以计算已知三边求它的中线的长,而且对于形如求a~2+b~2的一类问题的最小值颇为简便。例1 已知∠AOB=60°,边OA上有两点P和Q,设OP=a,OQ=b;在边OB上求一点M,使PM~2+OM~2最小,问M点的位置如何?     

初二几何第二学期期中自测题

A组一、填空题 (每小题 4分 ,共 40分 )1 .多边形每一个内角都等于 1 3 5° ,则它是边形 ,一个多边形的每一个外角都等于 60°,则它是边形 .2 . ABCD的周长为 2 0cm ,AB =6cm ,则BC =cm ;当∠B =3 0°时 ,AD ,BC的距离AE =cm .3 .对角线互相平分且相等的四边形是 ,对角相等的四边形是 ;4.菱形的周长为 1 6cm ,两个相邻的角的度数比为1∶2 ,其对角线长为cm和cm .5 .等腰梯形一个钝角的度数为 1 2 5°,则其余三个角的度数分别为 ,,.6.一个等腰梯形中位线长为 8,高为 4,其底角为3 0° ,则此等腰梯形的周长为 .7.如图 1 ,点D ,E分别是A…     

初三几何第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .确定一个圆的要素是和 .2 .在Rt△ABC中 ,∠C =90°,a ,b,c分别是∠A ,∠B ,∠C的对边 ,则 bc 叫做∠A的 ,bc 叫做∠B的 .3 .若要证明若干个点在同一个圆上 ,根据定义应该证明 .4.一个圆的最大弦长是 1 0cm ,则此圆半径为.5 .若sin2 A +cos2 3 5°=1 ,则锐角∠A =.6.若 2cosα-1 =0 ,则锐角α=.7.用反证法证明一个命题的步骤是 ( 1 ) .( 2 ) .( 3 ) .8.如图 1 ,半径为 1cm的圆中 ,弦MN垂直平分弦AB ,则MN=cm .9.平行四边形两邻边的长分别为 1 5cm ,3 0cm ,其夹角为3 0° ,则平行四边形面积为.1 0 .若α为锐角 ,则化…     

巧解几道三角函数式的求值题

1.巧用解析几何知识例1求(sin70°-sin170°)/(cos70°-cos170°)的值.解如图1,在单位圆x2+y2=1上取点A(cos70°,sin70°)和B(cos170°,sin170°),设AB的中点为M,则OM⊥AB,∠MOx=70°+(170°-70°)÷2=120°,∴kOM=tan120°=-3~(1/2),原式=kAB=-(kOM)/1=3~(1/2)=3~(1/2)/3.     

当题设条件中有特殊角时……

在某些平面几何题中,已知条件常常包括一些度数为30°,45°,60°或15°,22.5°,75°等的角.我们称这些角为特殊角.那么如何利用这些特殊的角来解题呢?下面举例说明.例1 四边形ABCD中,AD=2,BC=1,∠A60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.     

初三几何第一学期期中自测题

A组题一、填空题1 .在Rt△ABC中 ,∠C =90° ,a =3 ,b =4,那么sinA = ,cotB =.2 .已知sinA =32 ,且∠B =90° -∠A ;则cosB =.3 .化简 :tan47°·tan46°·tan45°·tan44°·tan43°=.4.在Rt△ABC中 ,如果已知a ,∠B ,写出解△ABC求未知元素的过程是 .5 .已知菱形的两条对角线长分别为 8和 83 ,则它的较大内角为 .6.在Rt△ABC中 ,∠C =90°,cosA =32 ,AB =8cm ,则△ABC的面积cm2 .7.渔轮向东追逐鱼群 ,上午8点在一座灯塔的西南 1 0 0海里 ,下午 4点驶抵此灯塔的东南线上 ,则渔轮航行的速度为 .8.如图一所示 ,在距建筑物8米 ,…     

一道立体几何题的向量解法

高中数学中,空间向量作为解决立体几何的一种工具,主要应用于通过建立空间直角坐标系,利用向量的夹角来求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.对某些特殊的几何体如平行六面体,在不建立空间直角坐标系的情况下也可以用向量进行求解证明.引列:平行六面体AC1中AB=2,AD=3,AA1=4,且∠A1AB=∠A1AD=60°.求对角线AC1的长.解:如图,平行六面体AC1中,∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=22+32+42+2×2×3×cos60°+2×2×2×4×cos60°+2×3×4×cos60°=55∴对角线…     

新题征展(69)

A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a…     

再解八七年高考理科第三题

对1987年高考理科第三题给出一种简单解法。原题是:求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。解:设x=sin10°sin30°sin50°sin70°, 又设y=cos10°cos30°cos50°cos70°。则有xy=1/16sin20°sin60°sin100°sin140° =1/16cos10°cos30°cos50°cos70°=1/16y, ∵y≠0,∴x=1/16 于是sin10°sin30°sin50°sin70°=1/16。     

注重变式研究,深化所学内容

《代数》(必修)(上)(人民教育出版社)有如下例题:例题　把一段半径为Ｒ的圆木,锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法才能使横截面面积最大?解　因为锯得的矩形的横截面是圆内接矩形,所以它的对角线是圆的直径,其长度为2Ｒ,设对角线与一条边的夹角为θ(如图1),则ＡＢ=2Ｒｃｏｓθ,ＢＣ=2Ｒｓｉｎθ,∴Ｓ=2Ｒｃｏｓθ·2Ｒｓｉｎθ=2Ｒ2ｓｉｎ2θ.∵ｓｉｎ2θ≤1,∴Ｓ≤2Ｒ2.当Ｓ=2Ｒ2时,θ=45°,圆内接矩形为正方形.答:以圆木的直径为对角线,锯成横截面为正方形的木料时,横截面的面积最大.本例使学生认识到建立目标函数求最值的一种新方法———…     

巧用余弦定理

贵刊85年第4期“中学生园地”中刊登了这样一道题:“在△ABC中角A=45°,高AD分BC成BD=3,DC=2,求△ABC的面积”的两种解法,其中一种是几何解法,一种是三角解法。前者相当麻烦,后者简捷明确,是此题的一种较好的解法。但可惜不适合初中教学,今介绍一种三角解法, 既简单又适用于初中教学。解设AD=x,则 AB~2=x~2+3~2,AC~2=x~2 +2~2, ∵BC~2=AB~2+AC~2 -2AB·ACcos∠BAC,∴(3+2)~2=x~2+3~2+x~2+2~2-2(x~2+3~2)~(1/2)×     

初三几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 6分 )1 .与已知点P的距离为 2 .5cm的所有点组成的平面图形是 .2 .在Rt△ABC中 ,∠C =90°,a =5 ,b =1 2 ,那么sinA = ,cosA =.3 .角平分线是的点的集合 .4.已知cosA =32 ,且∠B =90° -∠A ,则sinB =.5 .若圆的一条弦长为 1 2cm ,其弦心距等于 8cm ,则该圆的半径等于 .6.∠AOB的两边分⊙O为 1∶5两部分 ,则劣弦AB所对的圆周角等于度 .7.化简 :tan5 3°·tan48°·tan45°·tan3 7°·tan42°=.8.计算 :(sin45° -1 ) 2 +|1-tan60°|=.9.如图 1 ,⊙O的两条弦AB ,CD交于点P ,已知AP =2cm ,BP=6c…     

初二年级数学科第一学期期中自测题

A组一、选择题1 .要使正十二边形旋转后与自身重合 ,至少应将它绕中心顺时针旋转的角度为 (　 ) .A .1 5 0°　　B .3 0°　　C .45°　　D .60°2 .下面的说法中 ,正确的是 (　 ) .A .有一个角是直角的四边形是矩形B .平行四边形的四个内角都相等C .两条对角线互相垂直的四边形是菱形D .等腰梯形同一底上的两个角相等3 .下列图形中 ,既是旋转对称图形 ,又是轴对称图形的有 (　 ) .4.不等式 4( 1 -x)≥ 2 (x +5 )的解集在数轴上表示为 (　 ) .5 .菱形的相邻两个内角的比是 2∶1 ,且周长为1 2cm ,那么此菱形的较短的对角线长为 (　 ) .A …     

用三角法証几何題的点滴体会

让我們通过一些具体例子来进行分析: 例1.已知矩形ABCD中,CB=3AB,E和F是CB边的三等分点(图1),求証 ∠ACB+∠AEB+∠AFB=90°。证.显然∠AFB==45°,記∠ACB=α,∠AEB=β。由題設得到 AB=BF=FE=EC,故 tg α=AB/CB=1/3,tg β=AB/EB=1/2,从而 tg(α+β)=(tg α+tg β)/1-tg α tg β)=1/3=1/2/1-1/3·1/2==(2+3)/6-1)=1又0<α<β<45°,故α+β为銳角,α+β=45°。从而     

初三年级数学科第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .已知 5和 2分别是方程x2 +mx +n =0的两个根 ,那么m·n的值是 .2 .某食品店购进 2 0 0 0箱苹果 ,从中任取 1 0箱 ,称得重量分别为 (单位 :千克 ) :1 6,1 6.5 ,1 4 .5 ,1 3 .5 ,1 5 ,1 6.5 ,1 5 .5 ,1 4 ,1 4 ,1 4 .5 .若每千克苹果售价为 2 .8元 ,则利用样本平均数估计这批苹果的销售数是 .3 .如图 (一 ) ,四边形ABCD内接于⊙O ,∠AOC =1 0 0° ,则∠B =°,∠D =°.4.已知Rt△ABC和Rt△DEF中 ,∠A =∠D =90°,BA =ED .如果△ABC≌△DEF ,并且∠B =5 0° ,那么∠F =°.5 .如图 (二 ) …     

如何化简((8+4)3~(1/2))~(1/2)

同学们用几何法求sin75°的值时,是这样做的.分析构造一个含有75°角的直角三角形,使∠C=90°,∠B=15°,∠BAC=75°,如图.在BC上取一点D,连结AD,使∠BAD=15°,则∠DAC=60°,于是BD=AD,AD=2AC.设AC=1,则DC=ACtan∠DAC=1     

二次方程约束条件下的一类取值范围问题

1错解分析文[1]对于“实数x,y满足Ax~2 Bxy Cy~2=D,D≠0时,求S=ux~2 vxy wy~2的取值范围”问题给出了一个一般性解法.虽然对于原文中的例题,这一方法均给出了正确结果,但该解法并非对任何此类问题都能给出正确结果的,下面的例子说明了这一点.例1实数x,y满足x2 xy-2y2=1,求S=3x2-y2的取值范围.解(按文[1]方法)由S(x2 xy-2y2)=3x2-y2得Sxy=(3-S)x2 (2S-1)y2,两边平方得S2(xy)2=[(3-S)x2-(2S-1)y2]2 4(3-S)(2S-1)(xy)2,于是有[S2-4(3-S)(2S-1)](xy)2≥0,由此得S2-4(3-S)(2S-1)≥0(原文要求对xy=0和xy≠0两种情形进行讨论,此处将讨论过…     

关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积

(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两     

初二几何第一学期期末自测题

Ａ组一 .填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ＡＢＣ的三边长分别是 2ｘ ,3ｘ ,1 0 ,则ｘ的取值范围是 .2 .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ａ =6,ｃ =1 0 ,则ｂ =.3 .一个等腰三角形底边上的中线为 4ｃｍ ,那么它底边上的高为ｃｍ .4.等腰三角形两边分别是 3ｃｍ和 4ｃｍ ,则它的周长是 .5 .若等腰三角形一个角为 1 0 0°,则另外两个角是.6.在△ＡＢＣ中 ,若 12 (∠Ａ +∠Ｂ) =45° ,则△ＡＢＣ为三角形 .7.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ =2∶3∶4,则∠Ａ =,∠Ｂ =,∠Ｃ =.8.若等边△ＡＢＣ的边长为ａ ,则△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ= .9.…