一道希望杯赛题的推广与简证

题目设直角三角形两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,斜边上的高为h,则a+b和c+h的大小关系是()(A)a+bc+h.(C)a+b=c+h.(D)不能确定.文[1]首先证明了a+b相似文献   

一道课外练习题解法过程的修正

三整数a、b、c是直角三角形的三边,c是斜边,直角边a是偶数,且等式√(a+b+c)=a-√a成立,试求面积SRt△.这是《中学生数学》2012年第3期课外练习题,原解(第17页)为:若n是正整数,则符合题意的a=2n,b=n2-1,c=n2+1是Rt△的三边.     

这样的直接三角形、菱形存在吗？

例1斜边长为10,斜边上的高为6的直角三角形存在吗?略解设两直角边长分别为a、b,则斜边长为a2槡+b2,解方程组a2+b2=100ab烅烄烆=60 12由2得b=60a,代入1整理,得(a2)2-100a2+3600=0,显然判别式Δ<0,所以原方程组无解,故这样的直角三角形不存在.评注不妨设两直角边长分别为a、b,斜边长为c,斜边上的高为hc,则a2+b2=c2.由等面积法得12chc=12ab.∴2chc=2ab≤a2+b2=c2.(当且仅当a=b时,即该直角三角形为等腰直角三角形时取等号)∴hc≤c2.1显然,当hc=6时,c≥12;当c=10时,hc≤5.从两个角度均说明:上述直角三角形不存在.故直角三角形题目命制时,c、hc是相互制约的,不可随意赋值.     

求勾股弦数的几种方法

在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互     

“勾股容圓”問題的解法

“設直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,使切圓的直徑为d,求証:d=(2ab)/(a+b+c)是我国有名的勾股容圓問题,記載在“九章算术”内。这个問題的解法很多,一般用延長斜边c或一条直角边(a或b),使之等于此直角三角形三边之和;然后用相似三角形來解。現在我提出另一种解法:因为od为此直角形的內切圓,所以斜边c和內切圓直徑d之和一定等于二直角边a与b之和;用代数的恒等变形和勾股定理即可解出如下:     

一道希望杯数学竞赛题的再思考

问题1第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试的第3题为：设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，斜边上的高为h，则a＋6和c＋h的大小关系是     

完全平方公式在解三角形中的应用

本文试用完全平方公式 (a±b)~2=a~2±2ab b~2来解三角形。一、解直角三角形如果我们把a、b看成一个直角三角形的两条直角边,那么,由勾股定理:a~2 b=c~2;直角三角形的面积公式:S=1/2ab,即ab=2S。将它们代入上面公式得 (a b)~2=c~2 4S (1) (a-b)~2=c~2-4S (2) 在(1)、(2)两式中,S表示直角三角形的两积,c表示斜边,a b、a-b分别是两条直角边的和与差。可以看出(1)、(2)两式分别给出了直角三角形的两条直角边的和,差与斜边、面积之间的关系。据此,只要已知c、S、a b和a-b这四个量中的任何两个,我们就可以用(1)、     

巧构图形证三角题一例

已知直角三角形三边a,b,c其中c为斜边,求证:arcctg((c+a)/(c-a))~(1/2)+arcctg((c+b)/(c-b))~(1/2)=π/4。此题在许多参考书中都出现过,证法较多。下面笔者利用构造直角三角形给出一种简     

直角三角形中的整数问题

古老的勾股定理与传统的整数结合在一起,会产生许多有趣的问题,现举几例加以说明.为方便起见,我们记直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c. 一、勾股三角形的问题三边长都是整数的直角三角形叫做勾股三角形. 例1 求证:勾股三角形中必有一条直     

构造法解一类数学竞赛题例谈

请看下面问题的解法. 问题:设c是直角三角形斜边的长,另两边的长是a和b.求证a+b≤(2c)~(1/2) .等式什么时候成立?(加拿大第一届中学生数学竞赛第3题)     

勾股定理及其逆定理

勾股定理揭示的是直角三角形三边之间 的度量关系,其内容是 如图1,△ABC中, ∠C=90°,CB=a,AC =b,AB=c,则有 a2+b2=c2． 勾股定理最早的文 字记载见于欧几里得 (公元前三世纪)的《几何原本》第一卷命题 47,“直角三角形斜边上的正方形面积等于两 直角边上正方形面积之和．”     

用整除知识解一道全国联赛题

<正>题目(2012年全国初中数学联赛第二试(B)试题)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.《中学生数学》2014年3月(下)吕强老师的文章给出此题的一种新解法,较贵刊此前发表的多种解法简单.由于此题已知直角三角形的边长均为整数,我想尝试用整除知识求解.解设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边,由a+b>c,c>a,a+b+c=60知,     

直角三角形的一个有趣性质

在直角三角形中,我偶然发现竟有这样一有趣的性质,即下面的一个等量关系式: p ·(p-c)=(P-a)·(p-b)=S_△ABC 式中a、b、c表示Rt△ABC三边的长,其中c为斜边,p=(1/2)(a+b+c),S_△ABC表示Rt△ABC的面积证明很简单:     

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

直角三角形内整距点问题的新成果

设m,n∈N,m＞n,m与n互素且奇偶性各异.设a=m2-n2,b=2mn,c=m2 n2,记以a,b,c为三边的直角三角形内的整距点个数为f(m,n).文[1]已得出两个重要结果,本文作为引理引入如下:     

"等周等积定理"的两个推广

文 [1 ]证明了“对任一直角三角形 ,存在等周等积的矩形”.本文作如下推广 :定理 1　对任意直角三角形 ,总存在一个矩形 ,使得矩形与直角三角形的周长和面积比等于常数 k( k≥ 1 ) .证明　在 Rt△ ABC中 ,设直角边为 a、b,斜边为 c,我们要求长为 x,宽为 y的矩形 ,使得方程组2 ( x y) =k( a b c) ,xy =k .12 ab.有正解 ,仅需证明方程t2 - k( a b c)2 t 12 kab =0有正解 .事实上 ,由于 k≥ 1 ,c2 =a2 b2 ≥2 ab,c >a >0 ,c>b >0 ,从而Δ =[- k( a b c)2 ]2 - 4× 1× 12 kab≥ k2 ( a b c) 24 - 2 k2 ab=k24 ( a2 b2…     

一个三角形问题的多解与推广

问题 求斜边长为1的直角三角形的内切圆半径的最大值． 解法1 借助直角三角形的特殊性，即直角三角形两条直角边的长减斜边长等于三角形内切圆半径的2倍，     

也谈特殊四面体的性质

本刊文 [1 ]介绍了三条棱两两互相垂直的四面体的三个特殊性质 ,读后颇受启发 .此类四面体又称直角四面体或毕达哥拉斯四面体 ,在立体几何的位置类似直角三角形在平面几何的位置 .本文再介绍一些性质 ,以飨读者 .性质 1　若四面体中两两互相垂直的三条棱长分别为a ,b ,c,则直角四面体外接球半径R =a2 +b2 +c22 .证　以两两互相垂直的三条棱为依托 ,将直角四面体补成长方体 ,显然长方体对角线即外接球的直径 ,故半径R =a2 +b2 +c22 .性质 2　若两两互相垂直的三条棱长分别为a ,b ,c,则直角四面体内切球半径r = abcab +bc+ca +a2 b2 +b2 c2 +…     

由螺形图引发的思考

下面这个美丽的螺形图是由若干个直角三角形构成的,不难发现,第k个直角三角形的斜边长为（k+1）^1/2,即按该螺形图的构造方式可以作出长为n^1/2（n≥2,且n为整数）的线段.随着n值的变化,作长为槡n的线段的难易程度各不相同,比如:利用     

类比猜想又一例

<正>在文[1]中邢老师将平面几何中的一个结论:在Rt△ABC中,两直角边AC=b,BC= a,斜边AB上的高为h,则1/h~2=1/a~2+1/b~2.类比猜想得到立体几何中的一个类似结论:在三棱锥V—ABC中,若三条侧棱VA、VB、VC两两垂直,且长度分别为a、b、c,顶点V到底面