例谈线面角的求法

题目(2006年高考数学江苏卷第19题变题) 　　在正ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB-CF:FA-CP:PB-l:2如图(1).将△AEF沿EF折起到△A1 EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B、A1P(如图2). 　　……     

一道课本例题的引申

高中数学人教版第二册（下B）第45页例3。已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个面内,且垂直于AB的线段,又知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD的长。     

一道课本例题的引申与探究

高中数学人教版第二册（下B）第45页例3：已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内且垂直于AB的线段，又知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，求CD的长．     

一道立体几何题的两个拓展结果

题目:设α-l-β是锐二面角,点A∈α,点B∈β,直线AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,点A,B到棱l的距离分别是d1和d2,则d1:d2,等于()(A)cosθ1/cosθ2(B)cosθ2/cosθ1(C)sinθ1/sinθ2(D)sinθ2/sinθ1重新审视这道题会得到以下结论命题1设二面角α—l—β的平面角是θ,点A∈α,点B∈β,AB=a,直线AB与α、β所成的角分别是θ2和θ1,点A、B到棱l的距离分别     

因势利导 开拓思维 培养能力——习题课教学的一点体会

习题是教材的有机组成部分。解题是学生掌握知识,培养能力的重要途径。因而教师必须从教材的整体上去认识习题和内容的关系,从学生的认识规律,从培养能力的根本上去设计习题,讲授习题。笔者在处理立体几何教材“二面角及其平面角”这一课时的教学中,曾组织了一堂习题课,复习了有关知识和方法以后,安排了一个由简单到复杂,由具体到抽象的“阶梯题组”指导学生进行练习。情况如下: 首先给出一个习题让学生们求解。例1 在直二面角MaN的棱上有两个点A和B,AC和BD分别在两个面M和N内,且垂直线段AB,已知AC=6、AB=8,BD=24,求CD的     

考点32 翻折与展开

1.(浙江卷,12)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于.第1题图第2题图2.(江西卷,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,BB1=2,∠ABC=90°,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.3.(湖南卷,17)如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为3的等腰梯形.将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2.()证明AC⊥BO1;()求二面角O-AC-O1的大小.第3题图1第3题图2考点3…     

一道动态几何题的探究

题(湖北省八校2012届高三第二次联考数学理科14)如图1,直线l⊥平面α,垂足为O,已知直角三角形ABC中,BC=1,AC=2,AB=5.该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动:(1)A∈l,(2)C∈α,则B,O两点间的最大距离为______.1适合于填空题非严密解直角三角形ABC在时刻t的运动状态有三种:(1)A,O重合,A,C在平面α内,OB=AB=5.(2)C,O重合,C,B在平面α内,OB=CB=1.(3)A,O,C无任何两点重合,设二面角O-AC-B=θ,此时有两个极端位置分别是θ为0°和180°,     

一道立几习题的应用

六年制重点中学高中数学教材第二册第100页总复习参考题第3题: 如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1cosθ_2=cosθ。 (I) 该命题可以看成三垂线定理的推广,在立体几何中有广泛的应用。一为了突出图形的特点,可以把上述命题改写成如下形式: 从直二面角棱上一点在两个面内任引两条射线,则射线与棱的夹角的余弦之积等于这两条射线夹角的余弦。用它来解决一类折叠成直二面角的立几题往往十分简捷。     

二面角的平面角的作法

寻找二面角的平面角是解决二面角问题的关键 .本文就寻找二面角的平面角的一些常用方法进行归纳总结 .一准确应用定义定义是解决问题的有力工具 .例 1　如图 1,在△ABC中 ,AD⊥BC于D ,E是线段AD上一点 ,且AE =12 ED .过E作MN∥BC且MN交AB于M ,交AC于N ,以MN为棱将△AMN折成二面角A1 -MN-D ,设此二面角为α(0 <α <π) ,连A1 B、A1 D、A1 C ,求△A1 MN与△A1 BC所成二面角的大小 .图 1图 2分析　这是一个折叠图形问题 .需要充分在平面几何图形中寻找垂直、平行关系 .不难发现在折后图 2中 ,由于A1 E与MN、ED与MN的关…     

五立体几何

1.如果平面外的一条直线与这个平面的一条垂线垂直,那么这直线与这个平面平行。 2.已知a、b为两异面直线,由直线a上两点A、B分别引直线b的垂线,垂足为A_1、B_1,已知AB=2,A_1B_1=1;求异面直线a、b所成的角。 3.已知三条射线SA、SB、SC所成的∠ASC=∠BSC=30°,∠ASB=45°;求平面ASC与平面BSC所成的二面角的大小。 4.巳知A、B、 C、D四个点在平面a和平面β之外,A、B、C、D在平面a上的射影是A~1、B~1、c~1、D~1,且这四点在一直线上 A、B、C、D在平     

从一道高考题谈起

例1 (2008年湖北卷)"如图1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC上侧面A1ABB1.(1)求证:AB上BC;(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A,-BC-A的大小为φ,试判断θ与φ的大小关系,并予以证明."立体几何的求解问题,是用传统法还是用向量法呢?这是在新教材引入向量后,引起学生困惑的问题,下面通过几道高考试题来研究这类问题.……     

事件相互独立性的有关讨论

<正>1.问题的提出已知事件A、B,记AB表示事件"事件A与事件B同时发生",而P(A)、P(B)、P(AB)分别表示相对应事件发生的概率。由高中课本知识我们易知,事件A、B是两个相互独立事件的充要条件是P(AB)=P(A)·P(B)成立,所以运用公式"P(AB)=P(A)·P(B)"的前提条件是已知事件A、B相互独立,那么,我们应该如何判断事件A与事件B是否相互独立呢?     

一处不易被发现的立体几何错误

小斐和小杰是班中大家公认的黄金搭档 ,一天午自修两人却吵嚷着走进教师办公室 ,究竟发生了什么事呢 ?走进办公室他俩急着向老师反映 :同一个习题他们两人各用了一种不同的方法去解 ,而且俩人都认为自己的解题过程并没有错 ,为什么得出的结论不同 ?原题是这样的 :正三棱柱ABC -A1B1C1中 ,AA1=AB =a ,F是A1C1的中点 ,连结FB1,AB1,FA .(1)求证 :平面AFB1⊥平面AA1C1C ;(2 )求证 :直线BC1∥平面AFB1;(3)求二面角A1-AB1-F的平面角θ .两个同学前两个小题观点一致 ,争论的焦点主要集中在第 (3)小题 ,他们的解法分别是这样的 :小斐…     

怎样构造反例

反例指满足题设条件而结论不真的命题．立体几何判断题中的假命题，常可用反倒去应证．但由于有些学生想象能力欠佳，思维不严谨，解题时总是“想不到”反例．究其原因，主要是“不会想”．所以，教学时应回答“怎么想”这一关键问题．1将一般情形特殊化特殊化后得到命题的简单情形，它的真、假是很容易验证的．所以寻求反例，特殊化是一条途径，简单情形是“一面镜子”．例1判断命题真假：“一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，则这两个二面角相等或互补”．分析对二面角来说，一般情形是非直二面角，特殊。情形是直二面角…     

共点三线四角定理及其应用

自二面角棱上一点在两个半平面内各引一条射线，这两条射线间夹角、这两条射线与校的夹角以及二面角间有何关系呢？请看下面一个结论．定理（共点三线四角定理）若PAα平面α与β的交线为。α∩βB，两点证明如图1，过A作AH⊥PC于H，过H在β内作HB交PB于B，连AB．设PH＝a，则Rt△AHP中，AH＝在△AHB和△APB中，由余弦定理则由（1）、（2）两式马上推得．定理得证．为便于记忆，将此定理不妨称之谓“共点三线四角定理”，并默认∠APB为二面角α－lβ的对角，而∠APC与∠BPC为其两个邻角．该定理充分揭示了从二面角棱上一点在…     

立几中的一个三角公式

若CD为Rt△ABC的斜边AB上的高,显然有sin~2A+sin~2B=sin~2∠CDA。若γf△ABC所在的平面β与AB所在平面α垂直,则角A、B分别是直角边CA,CB与α所成的角,而∠CDA与二面角β-AB-α的平面角相等,于是有:两直角边与α所成角的正弦的平方和等于α与β所成角的正弦的平方。有意思的是,α与β不垂直时,上述结论仍立。即有命题: 若Rt△ABC所在的平面β与斜边AB所在的平面α成角θ,则两直角边与α所成角的正     

统计学入门(Ⅱ)

三、概率的乘法公式3-1事件的乘积 设有两个事件A和B,考虑这两个事件都发生或同时发生的情况。注意到A、B都发生实际上也是一个事件,记这个事件为AB,我们称它为事件A与B的乘积。我们可用图形直观地表示事件A,B与AB的关系(图1),即AB表示既属于A也属于B的公共部分。3-2相互独立的事件乘积的概率 现在我们考虑两个事件乘积的发生概率。先考虑一种简单情形,即A,B中任一事件的发生与否都不影响另一事件的发生机会,我们称这样两个事件是相互独立的。当A,B相互独立时,我们有公式 P(AB)=P(A)P(B)( 3-1)即两个相互独立事件都发生的概率等…     

依“法”解题 简单容易

学习了《直线、平面、简单几何体》这一章后 ,经常遇到求点到面的距离和二面角以及直线与面的夹角的问题 .这类题若直接按定义做 ,许多同学都感到困难 .倘若采用法向量的知识解这类题 ,就变得十分容易了 .这里就谈谈运用法向量解这类题的方法 .1　求二面角、点面距离例 1　 (湖南省 2 0 0 2年高中数学竞赛试题 )如图 1,在棱长为a的正方体ABCD—A1 B1 C1 D1 中 ,E ,F分别是棱AB与BC的中点 .图 1　例 1图1)求二面角B -FB1 -E的大小 ;2 )求点D到平面B1 EF的距离 .解　如图 1,建立空间直角坐标系 ,则D( 0 ,0 ,0 ) ,B1 (a ,a ,a) ,E(a …     

无棱二面角求解例析

无棱二面角是立体几何中一类典型问题,1 996和2 0 0 1年全国高考曾两度考过.有些同学由于作不出二面角的棱,从而找不到或作不出二面角的平面角.事实上,常见的无棱二面角主要有两类.以下分别加以例析,供同学们参考.1　找出与二面角的棱平行的已知直线,不必作出二面角的棱若图中两个平面已有一个公共点,依据公理2 ,直线∥平面(或平面∥平面)的性质定理,待求二面角的棱必过该公共点,且平行于已知图中的某一条(或多条)直线,此时,二面角的棱不必作出,只需依据已知直线确定出二面角的平面角.例1　如图1 ,四棱锥P -ABCD底面是正方形,PA⊥平面AB…     

求异面直线所成角的一个简便公式及应用

定理设两条异面直线a,b所成的角为θ,由b上两点A,B引a的垂线,垂足分别是A1,B1.则cosθ=(A1B1/AB) (*) 证若A1、B1为相异两点,如图1,过A作