整数环上一类矩阵方程Xn+Yn=λnI(n∈N,λ∈Z,λ≠0)的解

设Z,N分别是全体整数和正整数的集合,M_m(Z)表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了:对于取定的次数n∈N,n≥3,二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M₂(Z),且X有一个特征值为有理数)只有平凡解;利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=(±1)ⁿI(n∈N,n≥3,X,Y∈M₂(Z))有非平凡解当且仅当n=4或gcd(n,6)=1且给出了全部非平凡解;通过构造整数矩阵的方法,证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解:■n∈N,Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M_n(Z));X³+Y³=λ³I(λ∈Z,λ≠0,m∈N,m≥2,X,Y∈M_m(Z)).     

矩阵方程AXB+CXD=F对称解的迭代算法

在共轭梯度思想的启发下,本文给出了迭代算法求解约束矩阵方程AXB+CXD=F的对称解及其最佳逼近.应用迭代算法,矩阵方程AXB+CXD=F的相容性可以在迭代过程中自动判断.当矩阵方程AXB+CXD=F有对称解时,在有限的误差范围内,对任意初始对称矩阵X1,运用迭代算法,经过有限步可得到矩阵方程的对称解;选取合适的初始迭代矩阵,还可以迭代出极小范数对称解.而且,对任意给定的矩阵X0,矩阵方程AXB+CXD=F的最佳逼近对称解可以通过迭代求解新的矩阵方程A(X)B+C(X)D=(F)的极小范数对称解得到.文中的数值例子证实了该算法的有效性.     

优化理论与算法中一些矩阵非奇异性的证明

各类牛顿法是优化算法的核心内容,其中雅克比矩阵的非奇异性保证了迭代方向的存在唯一性.系统地给出了一些非奇异矩阵,并做了详细的证明,同时指出了这些非奇异矩阵在优化算法中的应用.     

分块矩阵取得极值秩的条件

证明了如何选取矩阵X,Y和Z使得下面的分块矩阵(AXYZ)取得它的极大秩和极小秩,这里A∈C~(m×n)是一个已知矩阵,X∈C~(m×k),Y∈C~(p×n)和Z∈C~(p×k)是三个任意矩阵.     

矩阵不等式约束下矩阵方程AX=B的双对称解

本文讨论矩阵不等式CXD≥E 约束下矩阵方程AX=B的双对称解,即给定矩阵A,B,C,D和 E, 求双对称矩阵X, 使得AX=B 和 CXD≥E, 其中CXD≥E表示矩阵CXD-E非负.本文将问题转化为矩阵不等式最小非负偏差问题,利用极分解理论给出了求其解的迭代方法,并结合相关矩阵理论说明算法的收敛性.最后给出数值算例验证算法的有效性.     

对角占优矩阵奇异-非奇异的充分必要判据

本文研究对角占优矩阵奇异-非奇异的充分必要条件.基于Taussky定理,本文得出,可约对角占优矩阵的奇异性由其独立Frobenius块的奇异性决定,从而将这一问题化为不可约对角占优矩阵的奇异-非奇异性问题;运用Taussky定理研究奇异不可约对角占优矩阵的相似性和酉相似性,获得这类矩阵元素辐角间的关系;并与Taussky定理给出的这类矩阵元素模之间的关系结合在一起,研究不可约对角占优矩阵奇异的充分必要条件;最后给出不可约对角占优矩阵奇异-非奇异性的判定方法.     

首尾差分块循环矩阵的性质及非奇异性

本文提出了首尾差分块循环矩阵的概念,包括(n,m)型首尾差分块循环矩阵和(n,m)型二重首尾差分块循环矩阵,讨论了它们的性质,并给出了判定其非奇异性的充要条件.     

关于Toeplitz矩阵的非奇异性

本讨论了Toeplitz矩阵的非奇异性，给出了Toeplitz矩阵非奇异的的一些判别条件。     

基于广义的Sylvester实四元数矩阵方程（英文）

基于广义Sylvester实圆元数矩阵方程组的解■当A_i,B_i和C_i(i=1,2,3)是被复数矩阵给定的,X,Y,Z和W是可变矩阵.计算耦合广义S_ylvester实四元数矩阵方程组的通解W的秩的极值.     

线性流形上的广义中心对称矩阵反问题

设R∈Cn×n是满足R=RH=R-1≠±In的广义反射矩阵.若A∈Cn×n满足RAR=A,则称A为n阶广义中心对称矩阵,n阶广义中心对称矩阵的全体记为GCSCn×n.令X1,Z1∈Cn×k1,Y1,W1∈Cn×l1,S={A|‖AX1-Z1‖2+‖Y1HA-W1H‖2=min,A∈GCSCn×n},本文研究如下问题.问题Ⅰ.给定矩阵Z2,X2∈Cn×k2,Y2,W2∈Cn×l2,求A∈S,使得其中‖·‖是Frobenius范数.问题Ⅱ.给定矩阵A∈Cn×n,求A∈SE,使得其中SE是问题Ⅰ的解集合.本文给出了问题Ⅰ解集合SE的表达式,并导出了矩阵方程AX2=Z2,Y2HA=W2H有解A∈S的充分必要条件及其通解表达式,并给出了问题Ⅱ解的表达式以及求解问题Ⅱ的数值方法和数值例子.     

扩充竞赛图的(1,2)步竞争图

2011年Factor等人提出了有向图的(1,2)步竞争图的概念,并完全刻画了竞赛图的(1,2)步竞争图.设D=(V,A)是一个有向图.如果无向图G=(V,E)满足,V(G)=V(D)并且xy∈E(G)当且仅当D中存在顶点z≠x,y使得d_(D-y)(x,z)=1,d_(D-x)(y,z)≤2或者d_(D-x)(y,z)=1,d_(D-y)(x,z)≤2,那么称G为D的(1,2)步竞争图,记为C_(1,2)(D).本文主要刻画了扩充竞赛图的(1,2)步竞争图.     

A New Proof of Spinks' Theorem

Skew lattices form a class of non-commutative lattices. Spinks' Theorem [Matthew Spinks, On middle distributivity for skew lattices, ] states that for symmetric skew lattices the two distributive identities and are equivalent. Up to now only computer proofs of this theorem have been known. In the present paper the author presents a direct proof of Spinks' Theorem. In addition, a new result is proved showing that the assumption of symmetry can be omitted for cancellative skew lattices.     

关于指数丢番图方程a~x+(3a~2-1)~y=(4a~2-1)~z的正整数解(英文)

本文通过计算Jacobi符号,运用代数数的对数线性型的下界估计,证明了:当整数a>1时,指数丢番图方程a~x+(3a~2-1)~y=(4a~2-1)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,1,1).     

关于指数丢番图方程a2x+(3a2-1)y=(4a2-1)z

设a＞3是一个整数,应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻理论以及二次数域类数的一些结果,证明了指数丢番图方程a2x＋（3a2-1）y=（4a2-1）z仅有正整数解x=y=1.     

On The Generalized Cocycle Equation of Ebanks and Ng

I show that in order to solve the functional equation $$F_{1}(x+y,z)+F_{2}(y+z,x)F_{3}(z+x,\ y)+F_{4}(x,y)+F_{5}(y,z)+F_{6}(z,x)=0$$ for six unknown functions (x,y,z are elements of an abelian monoid, and the codomain of each F _j is the same divisible abelian group) it is necessary and sufficient to solve each of the following equations in a single unknown function $$\matrix{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad G(x+y,\ z)- G(x,z)- G(y,z)=G(y+z,x)- G(y,x)- G(z,x)\cr \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad H(x+y,\ z)- H(x,z)- H(y,x)+H(y+z,\ x)- H(y,x)- H(z,x)\cr +H(z+x,\ y)- H(z,y)- H(x,y)=0.}$$      

指数Diophantine方程(bn)~x+(2n)~y=((b+2)n)~z的例外解

设b是大于3的正奇数.运用初等方法讨论了方程(bn)^x+(2n)x+(2n)^y=((b+2)n)y=((b+2)n)^z适合(x,y,z)≠(1,1,1)的正整数解(x,y,z,n).证明了:i)对于任何给定的正整数N,存在无穷多个b可使该方程有满足min{x,y,z}≥N的正整数解(x,y,z,n);ii)对于任何给定的b,该方程仅有有限多组正整数解(x,y,z,n)满足y>z=x.     

系统x＝ψ（y），y＝－g（x）－f（x）y的极限环唯一性问题

本文给出系统x＝ψ（ｙ），y＝－ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｙ条件较弱的极限环唯一性定理。     

探讨Pdx+Qdy+Rdz为某函数u(x,y,z)全微分的积分因子

就微分形式P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz为某函数u(x,y,z)的全微分的积分因子进行了探讨,提出了积分因子的必要条件,以及P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是齐次函数时,方程Pdx+Qdy+Rdz=0具有积分因子的充分条件进行了初步探讨.     

Left conjugacy closed loops of nilpotency class two

Every LCC loop Q with Inn Q abelian is nilpotent class two. A loop Q of nilpotency class two is LCC ? L(x, y) = L(y, x) for all x, y ∈ Q ? ?/Z(Mlt Q) is abelian ? [x, y, z] = [x,z,y] for all x, y, z ∈ Q ? [x, y, z] = [xy, z][x, z]^?1 for all x, y, z ∈ Q. All nilpotent LCC loops of order p² are described, and some of their multiplication groups are computed.     

On the exponential Diophantine equation $$(3pm^2-1)^x+(p(p-3)m^2+1)^y=(pm)^z$$

Let m be a positive integer, and let p be a prime with \(p \equiv 1~(\mathrm{mod}~4).\) Then we show that the exponential Diophantine equation \((3pm^2-1)^x+(p(p-3)m^2+1)^y=(pm)^z\) has only the positive integer solution \((x, y, z)=(1, 1, 2)\) under some conditions. As a corollary, we derive that the exponential Diophantine equation \((15m^2-1)^x+(10m^2+1)^y=(5m)^z\) has only the positive integer solution \((x, y, z)=(1, 1, 2).\) The proof is based on elementary methods and Baker’s method.