A min max problem

This paper studies a special class of min max problems in two sections. In Section I, a procedure is developed which gives the optimal solution of the problem. The Section II deals with ranking the solutions in increasing order of the value of the objective function.

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Zusammenfassung Eine spezielle Klasse von Minimax-Problemen wird untersucht. In Teil I wird ein Verfahren zur Bestimmung der Optimal-Lösung des Problems entwickelt. Teil II behandelt die Anordnung der Lösungen entsprechend ansteigender Werte der Zielfunktion.

     

On the Stiefel-Baumgarte stabilization procedure

The purpose of this paper is to justify a stabilization procedure for ordinary differential equations due to Stiefel and Baumgarte. The main tools are methods and results from the theory of invariant manifolds of dynamical systems.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein von Stiefel und Baumgarte vorgeschlagenes Verfahren zur Stabilisierung von gewöhnlichen Differentialgleichungen theoretisch begründet. Als Hilfsmittel verwenden wir Methoden und Resultate aus der Theorie der invarianten Mannigfaltigkeiten dynamischer Systeme.

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To the memory of Professor E. Stiefel     

An elementary approach to a generalized Hopf bifurcation

In the case of a generalized Hopf bifurcation several periodic solutions may branch off from the equilibrium. An elementary procedure is presented for establishing all those bifurcating solutions, as well as their stability behaviour, provided a certain non-degeneracy condition is satisfied.

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Zusammenfassung Im Falle einer verallgemeinerten Hopf-Verzweigung können mehrere periodische Lösungen von der Gleichgewichtslage abzweigen. Es wird ein elementares Verfahren vorgestellt, welches erlaubt, unter einer gewissen Nichtentartungsbedingung diese kleinen periodischen Lösungen sowie ihre Stabilität zu bestimmen.

     

A note on bi-criteria transportation problems

The present note reveals a drawback in an algorithm ofAneja/Nair [1979] for the determination of efficient solutions in a bi-criteria transportation problem with an additional time objective function and develops a modified procedure that overcomes this weakness.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird ein Fehlschluß im Algorithmus vonAneja/Nair [1979] zum Auffinden aller effizienten Lösungen eines Transportproblems mit zwei Summen- und einer Engpaßzielfunktion aufgezeigt. Ferner wird ein Verfahren angegeben, in dem diese Unstimmigkeiten nicht mehr auftreten.

     

An application of least cost acceptance sampling schemes

Summary A technique is described for determining most economical single sample inspection schemes in the situation where costs associated with inspection and failure to detect defective items can be estimated. A computational procedure is outlined, and a comparison made between the schemes determined by this method, and those previously in use. A least-cost decision rule is also derived for sequential sampling schemes.

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Zusammenfassung Ein Verfahren zum Aufstellen wirtschaftlichster einfacher Stichprobenverfahren wird für den Fall beschrieben, in dem die Kosten für das Überprüfen und das Nichtentdecken fehlerhafter Stücke geschätzt werden können. Es wird ein numerisches Verfahren aufgezeigt und ein Vergleich zwischen dem hier beschriebenen Verfahren und den früher verwendeten durchgeführt. Eine Entscheidungsregel für geringste Kosten wird ebenso für sequentielle Stichprobenpläne hergeleitet.

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Now with the Operations Research Section of B.O.A.C., Comet House, London Airport, Hounslow, Middx., England.

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Vorgel. v.:M. Sasieni     

Stochastisches PERT — Eine vergleichende Untersuchung über die Effizienz eines Verfahrens zur stochastischen Projektplanung

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren der Projektplanung mit Hilfe von stochastisch bewerteten Netzplänen vorgestellt. Dieses Verfahren berechnet eine obere Schranke für den Erwartungswert der Überschreitung eines Projektendterminst. Anhand zweier Beispiele werden die Ergebnisse aus einer numerischen Implementation des Verfahrens zusammengefaßt und Anhaltspunkte zur Genauigkeit, Effizienz und praktischen Anwendbarkeit — durch einen Vergleich mit einer exakten Lösung und durch eine Gegenüberstellung mit PERT gegeben.

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Summary A method of project scheduling with stochastic networks is shown in a discrete version. It yields an upper bound for the expected delay of a given project completion time. The numerical complexity of the implemented procedure is given. By means of two examples the results of the numerical implementation are summarized. The accuracy and practicability can be seen by comparing these results to those of an exact solution and a PERT-solution.

     

Zur Identifikation redundanter Nebenbedingungen in linearen Programmen

Zusammenfassung Ein bekanntes Kriterium zur Erkennung redundanter Ungleichungen in einem linearen Ungleichungssystem wird in einer vereinfachten Form hergeleitet. Dieses Kriterium wird dann als Optimalitätskriterium in ein systematisches Verfahren zur Identifikation streng redundanter Ungleichungen eines linearen Ungleichungssystems bzw. eines Systems von Nebenbedingungen eines linearen Programms eingebaut. Das beschriebene Verfahren besteht im Grunde in der Minimierung von Schlupfvariablen über das Lösungspolyeder des ursprünglichen Ungleichungssystems. Ein kleines illustratives Beispiel mit vorzeichenunbeschränkten Variablen wird vorgeführt.

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Summary A known criterion for redundant inequalities in a system of linear inequalities is derived in a simplified form. This criterion is then used as an optimality-criterion in the framework of a procedure for identifying of strictly redundant inequalities in a system of linear inequalities or in a system of constraints of a linear programming problem. The described method consists basically of the minimization of slack variables over the solution-polyhedron of the original system of inequalities. A small illustrative example is given with variables not constrained in sign.

     

Computational methods for solving two-stage stochastic linear programming problems

Approximating a given continuous probability distribution of the data of a linear program by a discrete one yields solution methods for the stochastic linear programming problem with complete fixed recourse. For a procedure along the lines of [8], the reduction of the computational amount of work compared to the usual revised simplex method is figured out. Furthermore, an alternative method is proposed, where by refining particular discrete distributions the optimal value is approximated.

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Zusammenfassung Für das zweistufige Modell der stochastischen linearen Programmierung mit vollständiger Kompensation werden Verfahren untersucht, die sich aus der Annäherung einer gegebenen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Daten durch endlich diskrete Verteilungen ergeben. Beim Vorgehen nach [8] wird die Reduktion des Rechenaufwandes im Vergleich zur üblichen revidierten Simplexmethode ermittelt. Als Alternative wird ein Verfahren vorgeschlagen, in dem durch sukzessive Verfeinerung speziell gewählter diskreter Verteilungen der Optimalwert monoton angenähert wird.

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Herrn Prof. Dr. Eduard Stiefel in kollegialer Verbundenheit     

Sufficient optimality conditions for some structural design problems

Summary The derivation of sufficient conditions for optimal structural design is considered in this paper. It is shown how such conditions can be obtained for certain classes of problems. Examples involving design constraints on deflection and stability are presented to demonstrate the procedure.

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Zusammenfassung Die Arbeit befaßt sich mit der Herleitung hinreichender Bedingungen für optimale Dimensionierung. Es wird gezeigt, wie für gewisse Problemklassen solche Bedingungen gewonnen werden können. Das Verfahren wird an Beispielen erläutert, welche Bedingungen bezüglich Deformation und Stabilität unterliegen.

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This research was supported by the U.S. Army Research Office, Durham.     

Die optimale Anordnung von Gütern in Vorratslägern mit Hilfe der Mehrdimensionalen Skalierung

Zusammenfassung In dem Beitrag wird ein Verfahren zur Lösung innerbetrieblicher Standortprobleme vorgestellt, das sich sowohl methodisch als auch hinsichtlich seiner universellen Anwendbarkeit von bisher bekannten Verfahren abhebt. Die Platzzuweisung erfolgt auf das Basis empirisch ermittelter Verbundintensitäten, die mit Hilfe eines Verfahrens der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung (NMDS) auf ihre strukturellen Beziehungen hin untersucht werden. Es wird gezeigt, wie sich die NMDS-Lösung an räumliche Gegebenheiten anpassen läßt und wie das Verfahren zur Lösung eines konkreten Problems eingesetzt werden kann. Abschließend wird die Leistungsfähigkeit des Verfahrens im Vergleich zu einigen bekannten Heuristiken für verschiedene Problemgrößen überprüft.

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Summary The article presents an approach for solving plant-layout problems which differs from previously proposed heuristic techniques both with regard to the underlying methodology as well as its broad applicability. In the example chosen for demonstration the assignment of goods to locations in a warehouse is based on an operational definition of joint demand which allows the goods in question to be placed in a two- or three-dimensional space by a nonmetric multidimensional scaling procedure. It is shown how the resulting configuration can be modified in order to meet space restrictions. The article concludes with an experimental comparison of frequently cited heuristic techniques for solving analogous problems with up to 20 facilities to cope with.

     

Der Algorithmus von Marti für inkorrekt gestellte Gleichungen mit gestörtem Operator und beliebiger rechter Seite

Zusammenfassung Das Verfahren von Marti zur Lösung Fredholmscher Integralgleichungen erster Art wird modifiziert, so daß die Näherungen stabil gegen kleine Störungen des Operators sind. Das Verfahren wird an zwei-dimensionalen Integralgleichungen erster Art getestet.

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Summary For Marti's algorithm for solving Fredholm integral equations of the first kind a modification is presented. For this algorithm stability for small perturbations of the operator is shown. An application to two-dimensional integral equations of the first kind shows the numerical efficiency.

     

Optimale Kapazität von Lagerhallen

Zusammenfassung Zur Dimensionierung von Lagerhallen wird ein Irrwanderungs-modell angegeben und ein Verfahren zur vereinfachten Berechnung der zugrunde liegenden Limesverteilung diskutiert.

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Summary A stochastic model for planning store-houses is mentioned. A method for the simplified calculation of the corresponding limit distribution is considered.

     

A note on a method to determine the orientation of crystals within hailstones

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren beschrieben, die Orientierung der Kristalle innerhalb von Hagelkörnern zu bestimmen.     

Heuristische Verfahren zur Lösung allgemeiner ganzzahliger linearer Optimierungsprobleme (Ein überblick)

Zusammenfassung Es wird ein überblick über die wichtigsten in der Literatur beschriebenen heuristischen Verfahren zur Lösung allgemeiner ganzzahliger Optimierungsprobleme gegeben.

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Summary The paper presents a survey of the most important heuristic solution methods for general integer programming problems.

     

Nullstelleneinschließung mit dem Newton-Verfahren ohne Invertierung von Intervallmatrizen

Zusammenfassung Verschiedene Erweiterungen und Modifikationen des Newton-Verfahrens gestatten es, eine Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems imR ⁿ fortwährend einzuschließen [1, 7, 10]. Um bei diesen Verfahren überlineare Konvergenz zu erzielen, ist in jedem Iterationsschritt im allgemeinen eine Intervallmatrix zu invertieren. Es wird ein Verfahren angegeben, bei welchem diese Invertierung vermieden wird, ohne daß dabei die überlineare Konvergenz verlorengeht.

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Including zeros of nonlinear equations by Newton-method without inverting intervalmatrices

Summary Some extensions and modifications of the well-known Newton-method, developped during the last few years by means of interval arithmetic are yielding lower and upper bounds for the solution of a set of nonlinear equations. To have superlinear convergence behaviour it is necessary, in general, to invert intervalmatrices. In this note we give a modification converging superlinear, without the necessity of inverting matrices. Two numerical examples are given.

     

A graphical method for determing the coefficient of viscosity of Newtonian liquids using an oscillating cylinder viscometer

Zusammenfassung Es wird ein zweites graphisches Verfahren dargestellt, welches gestattet, die Viskosität zäher Flüssigkeiten zu ermitteln.     

Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Dieser II. Teil der Arbeit über die Optimierung von Funktionalen enthält ein Verfahren zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems sowie die Untersuchung der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung. In Teil I (im vorigen Heft dieser Zeitschrift veröffentlicht) wurde die Existenz von Lösungen diskutiert sowie die dem Verfahren zugrundeliegende Funktionalgleichung abgeleitet.

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Summary This second part of the study about the optimization of functionals contains a treatment for calculating minimal sequences of our problem as well as the examination of the convergence of a minimal sequence towards a solution. In part I (published in the last number of this journal) the existence of solutions was discussed, and the functional equation, being the basis of this treatment, was derived.

     

Globale Superkonvergenz bei der Lösung von linearen Randwertaufgaben

Zusammenfassung Das Verfahren von I.H. Sloan, das eine Konvergenzverbesserung bei der numerischen Lösung von Integralgleichungen liefert, kann auch auf lineare Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen angewendet werden. Die Ergebnisse sind jedoch nur bedingt vergleichbar.

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Global superconvergence for the solution of linear boundary value problems

Summary The method of I.H. Sloan, which yields an improvement of the rate of convergence for the numerical solution of integral equations, may also be applied to linear boundary value problems for ordinary differential equations. However the results for comparable only up to a point.

     

Das Verfahren der inneren Kraftgrössen in der Elastokinetik

Zusammenfassung Werden bei elastokinetischen Problemen die kinematischen Grössen für den gesamten Rechnungsgang als Unbekannte beibehalten (kinematisches Verfahren), so kann bei manchen Systemen ein verhältnismässig hoher Rechenaufwand entstehen. Wie der Verfasser bereits in früheren Arbeiten gezeigt hat, ist es dann vorteilhaft, die inneren Kraftgrössen als Unbekannte einzuführen (Verfahren der inneren Kraftgrössen [6, 7]). Dieses Verfahren wird in vorliegender Arbeit hinsichtlich seiner Leistungsfähigkeit im Vergleich zum kinematischen Verfahren näher untersucht. Bei Eigenschwingungsproblemen werden für die vom Verfasser aus dem Verfahren der inneren Kraftgrössen abgeleiteten Frequenzschranken im Vergleich zu den Formeln von Dunkerley und Southwell neue Anwendungsgrenzen angegeben. Als Beispiele dienen Stabwerke mit Punktmassen und Drehschwingungssysteme.

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Summary The introduction of kinetic unknowns at elastostatic problems (kinematic method) sometimes involves extensive numerical calculations. In former papers the author had shown that in such cases the introduction of the internal forces is advantageous (method of internal forces [6, 7]). This method is tested in this paper in comparison with the kinematic method. In connection with vibration problems the formulas for frequency-limits derived by the author [6, 7] using the method of internal forces are interpreted. For these formulas as well as for those of Dunkerley and Southwell new conditions of applicability are derived. Trusses with point masses and torsional vibration systems are used as examples.

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Herrn Professor Dr. Kurt Magnus zum 60. Geburtstag gewidmet     

Das Problem der begrenzten Geleisekapazitäten in Rangierbahnhöfen

Zusammenfassung Die Schweizerischen Bundesbahnen haben sich entschieden, künftig für die Bildung der Nahgüterzüge in den dafür geeigneten Anlagen die Simultanformation mit dem Triangulärschema anzuwenden und die Bauprojekte für neue Rangierbahnhöfe auf dieser Basis zu planen. Dieses Rangierverfahren besitzt große Vorzüge, da man mit verhältnismäßig wenig Geleiseanlagen und Einzelmanövern auskommt. Allerdings ist der Bedarf an Geleisekapazität und die Zahl der Abläufe bei einem gegebenen Wagenaufkommen je nach Ablaufplan verschieden. Das hier beschriebene Verfahren erzeugt einen Ablaufplan, der die verfügbare Geleisekapazität nicht überbeansprucht und gleichzeitig die Anzahl der Abläufe möglichst klein hält. Es handelt sich um ein heuristisches Verfahren, das im allgemeinen nur eine suboptimale Lösung liefert, sich aber in der Praxis bereits gut bewährt hat.

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Summary The Swiss Federal Railways have decided to adopt the simultaneous formation with triangular schema for the composition of short distance goods trains wherever installations are suitable. Moreover the new conception will be used as a basis for planning building projects for new marshalling yards. This shunting procedure embodies considerable advantages as relatively few tracks and individual shunting manoeuvres are required. The necessary track capacity, however, and the number of runs required with a given number of waggons differs according to the sequencing of runs. The procedure described here produces a sequence which does not over-tax track capacity and at the same time keeps the number of runs to a minimum. This is an heuristic procedure which generally constitutes a sub-optimum solution but which has already proved its worth in practice.

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Vortrag gehalten an der AKOR-Tagung vom 24.–26.4.1971 in Mainz.