抛物线与等积三角形

<正>在抛物线中经常出现与三角形面积联系在一起的问题,其中面积相等较多.下面笔者借助二次函数y=-x2+2x+3中的两个等积三角形例题来阐述基本思路.例1如图1,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,顶点是D.在y轴右侧的抛物线上是否存在     

抛物线问题的一种简捷解法

由于抛物线方程中有一个坐标变量是一次的 ,因此在设抛物线上的点的坐标时 ,我们可直接设二次变量为参数 ,如抛物线 y2 =2 px(p >0 )上的点可设为 (y0 22 p,y0 ) .采用这一设法 ,给解决问题带来了一定的方便 ,且过程显得简捷明了 .下面以近几年高考图 1　例 1图题举例说明 .例 1　 (2 0 0 4年北京高考题 )如图 1,过抛物线 y2 =2 px(p >0 )上一定点P(x0 ,y0 )(y0 >0 )作两条直线分别交抛物线于A (x1,y1) ,B (x2 ,y2 ) ,当PA ,PB的斜率存在且倾斜角互补时 ,求 y1+y2y0的值 ,并证明直线AB的斜率是非零常数 .解　将P ,A ,B三点的坐标调整为…     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

一道高考解几题的探究背景

2004(京卷)理科(17)题.如图1,过抛物线y2=2px(p＞0)上一定点P(x0,y0)(y0＞0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).     

中考压轴题中的抛物线平移问题

近年来以抛物线的平移为压轴题的题虽不常见,但武汉市连续两年都有这种题.例1(2012年武汉)如图1,点A为抛物线C1:y=1/2x2-2的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y     

巧用抛物线的一个性质解决一类高考题

定理从抛物线外一点P引抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若F是抛物线的焦点,则有∠PFA=∠PFB.图1证法1如图1,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA:x1x-py-py1=0,∴x1x0-py0-py1=0.切线PB:x2x-py-py2=0,∴x2x0-py0-py2=0.∵FA=(x1,y1-p2),FB=(x2,y2-p2),FP=(x0,y0-p2),∴cos∠PFA=FA·FP|FA||·FP|=x1x0 (y1-p2)(y0-p2)|FP|(y1 p2)=p(y1 y0) (y1-p2)(y0-p2)|FP|(y1 p2)=y1y0 p2(y1 y0) 2p4|FP|(y1 p2)=(y1 p2)(y0 p2)|FP|(y1 p2)=y0 p2|FP|,同理cos∠PFB=y0 p2|FP|,∴∠PFA=∠P…     

一道高考题的解法分析

2001年全国高考试卷(理)第19题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,证明直线AC经过原点O. 本题以抛物线为载体,着重考查了抛物线焦点弦、直线方程,斜率等一系列基础知识,考生可以从多种不同角度入手进行分析,得到不同的证法. 证法一(如图) 分析要证直线AC经过原点O,只需证得kOA=kOC. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵BC//x轴,C在抛物线y2=2px的准线上,     

与反比例函数的图象有关的面积问题

以反比例函数的图象和性质为载体,与三角形、正方形、圆等几何图形的面积相关的综合性问题,作为一种新颖的试题,在中考或数学竞赛试卷中频频出现,这类问题将函数知识与平面几何知识有机地融合在一起,要求解题者不仅掌握反比例函数的图象和性质,而且要熟悉平面几何图形的性质,因而这类试题倍受命题者和中学生的青睐.例1(自编题)已知正比例函数y=ax和y=bx,(a>0,b>0)的图象与反比例函数y=2xc,(c>0)的图象在第一象限内分别相交于点A,B,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D.记△AOC,△BOD的面积分别为S1和S2,则S1和S2的大小关系怎样?解析在如图1中,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则S1=21x1y1,S2=21x2y2,而点A,B都在反比例函数y=2xc,(c>0)的图象上,所以,x1y1=2c,x2y2=2c,所以S1=S2.图1图2例2(改编题)已知,如图2,正比例函数y=k1x与反比例函数y=kx2的图象相交于A,B两点(k1>0,k2>0),A点坐标为(4,2),分别以A、B为圆心的圆与x轴相切,则图中两个阴影部分面积的和为.解析由反比例函数的图象关于原点对...     

巧用方程根解题两例

例1 已知抛物线y2=3x上的两点A,B 的纵坐标恰好是关于y的方程y2 py q=0 (p,q为常数)的两个实根,求直线AB的方程．解设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为点 A,B在抛物线上,所以y12=3x1,y22=3x2．又因A,B的纵坐标y1,y2是关于y的方程y2 py q=0(p,q为常数)的两个实根,所     

海南省2008年中考数学科第24题质量分析报告

【题目】24.(本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.     

独具魅力的一幅抛物线图形

最值、定值、过定点、轨迹等问题是解析几何中研究的重点,也是难点,通过一幅独具魅力的抛物线图形(见图1),可以加深对这些问题的解决方法的领悟.题设:若动点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=2px(p>0)上且OA⊥OB.就这幅图可以依次提出下面的问题:     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

用截线段长度的方法解面积问题

<正>在二次函数中,有一类题,可以利用平行于y轴的直线被两函数所截线段长度解决问题.我们来看几个求面积定值的例题,希望对大家有所启发.一、截正比例与反比例函数求面积为定值例1如图:已知直线y=1/2x与双曲线y=k /x(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.     

一道高考试题的探究

2007年高考江苏卷第19题是一道有关抛物线的解析几何题:图1如图1,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q.(1)若OA·OB=2,求c的值;(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.此题主要是考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系以及向量的数量积等知识,是一道容易上手却值得探究的好题.探究1 c=2是巧合吗?根据OA·OB=2,我们可以求出c=2.那么c=2是巧合吗?不妨设OA·OB=t,于是我们…     

利用韦达定理巧解抛物线题

<正>韦达定理用在圆锥曲线中,可灵活解决直线与圆锥曲线的相交问题,关键是巧设直线方程,消去一个元得另一个元的一元二次方程,本文专门介绍韦达定理在抛物线中的应用,兹举例说明.例1已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,试求y12+y22的最小值.解设过点P(4,0)的直线方程为x=ky+4,代入抛物线方程并整理,得     

对一道高考试题的探讨

题　如图 1 ,设点A和 B为抛物线y2 =4px (p >0 )上原点以外的两个动点 ,已知OA⊥ OB,OM⊥ AB,求点 M的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 .(2 0 0 0年北京、安徽春季高考试题 )解法 1　设 A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) ,AB方程为 y =k(x - a) ,联立方程y =k(x - a)y2 =4px 　 y2 - 4 py     

一道二次函数的动点问题

<正>二次函数的动点问题往往是综合性较强的问题,研究它对于提升解决问题的能力有很大帮助.如图1,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和点B.问题一求使线段和取最值的点在抛物线的对称轴     

一个数学问题的简证及推广

《数学通报》2 0 0 2年第 5期第 1 367题 :不垂直于x轴的直线与抛物线y2 =2px(p>0 )交于A、B两点 (A、B不在同一象限 ) ,抛物线的准线与x轴相交于点N .已知∠ANB被x轴平分 ,求证 :线段AB过抛物线的焦点 .原解是从方程的角度证明的 ,相对较繁 .从平面几何的角度入手 ,不仅可得到更简单的解答 ,而且还可将结论推广到所有圆锥曲线中 .图 1证明　设F为抛物线y2 =2px(p >0 )的焦点 ,连AF、BF ,且分别过点A、B作准线的垂线 ,垂足为A1 、B1 (如图 1 ) ,则由圆锥曲线的定义得 :AFAA1 =BFBB1…… ( )即　 AFBF =AA1 BB1……①记∠AN…     

做数学,从课本例题开始

题目如图,直线y= x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点．求证:OA ⊥OB． (人教版高中数学第二册(上)P130例2) 证明略．     

怎样从一个问题出发提出更多问题

《解析几何》课本上有这样的一道题 :过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和抛物线交于A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) .求证 :y1 y2 =-p2 .(证明略 )你能从这道题出发提出更多的数学问题吗 ?提出新问题的方法和途径是什么 ?一由此及彼 ,迁移联想联想 1　注意到 y1 ·y2 =-p2 ,很自然的会想到 :x1 ·x2 =?又kOA =y1 x1 ,kOB=y2x2 ,想到kOA·kOB =?再由倾角和斜率有关 ,想到tanα·tanβ =?(其中∠AOx =α ,∠BOx =β)变题 1　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和这抛物线相交于点A (x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ) .求值 :( 1)x1 ·x2 ;( 2 )k…