用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性常微分方程

众所周知 ,对于常系数高阶非齐次线性常微分方程y(n) + a1 y(n-1 ) +… + an-1 y′+ any=f( x) , ( 1)只要求出与 ( 1)相应的齐次线性常微分方程y(n) + a1 y(n-1 ) +… + an-1 y′+ any=0 ( 2 )的特征方程λn+ a1 λn-1 +… + an-1 λ+ an=0 ( 3)的特征根 λ1 ,λ2 ,… ,λs,它们的重数分别为 n1 ,n2 ,… ,ns ∑ ni=n ,此时 ,齐次线性常微分方程 ( 2 )的一个基本解组为eλ1x,xeλ1x,… ,xn1-1 eλ1x;… ;eλsx,xeλsx ,… ,xns-1 eλsx ,( 4)并且再求出非齐次线性常微分方程 ( 1)的一个特解 ,则我们就能求出非齐次方程 ( 1)的通解 .有许多方…     

利用齐次化原理求解常系数非齐次线性方程初值问题

文章给出利用齐次化原理求解n阶常系数非齐次线性方程初值问题的方法.通过基本问题可得到原方程的解,避免了利用常数变易法求解的诸多不便,同时也将非齐次项的形式拓展到了所有可积函数.     

用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解

一、引子线性非齐次方程的通解等于相应的齐次方程的通解加上自身的一个特解。对于二阶常系数非齐次线性方程y″+py′+qy =f ( x) ( 1 )因其相应的齐次方程 y″+py′+qy=0的通解已解决 ,这样方程 ( 1 )的特解的求得 ,就成为 ( 1 )通解求得的关键。针对 ( 1 )中 f( x)是某些特殊类型的函数 ,特别是 p( x) ,p( x) eλx,[p1( x) cosωx+p2 ( x) sinωx]eλx,(其中 p( x) ,p1( x)和 p2 ( x)为多项式 )时 ,一般教科书均按待定系数法来求得 ( 1 )的特解。当然 ,待定系数法有其方程式化的特点 ,但计算量太大。本文用升阶法来求常系数非齐次线性方程…     

常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法

设二阶常系数非齐次线性微分方程 y″+py′+qy=f( x)对应的齐次方程的特征根为 r1,r2 ,f ( x)连续。由韦达定理 :p=-( r1+r2 ) ,q=r1r2从而 y″+py′+qy=f( x)可化为 y″-( r1+r2 ) y′+r1r2 y=f( x)即 ( y′-r1y)′-r2 ( y′-r1y) =f ( x)令 y′-r1y=y1则 :　 y″+py′+qy =f ( x) y′-r1y =y1y′1-r2 y1=f ( x)即原方程可降阶为一阶线性微分方程。解方程组得 y =er1x∫y1e- r1xdx,y1=er2 x∫f ( x) e- r2 xdx所以 ,原二阶方程的通解为 y =er1x∫e( r2 - r1) x .[∫f ( x) e- r2 xdx]dx由此得到 :定理 1　若 y″+py′+qy=f ( x)对应的齐次…     

高阶常系数齐次线性方程通解之初等证明

利用初等方法可证明,在特征方程具有重根时,高阶常系数齐次线性微分方程对应的通解形式.     

浅谈常系数非齐次线性方程特解的设解规律与教学

常系数非齐次性方程特解可按“是什么设什么,含于y乘以x”的规律设解。     

用升阶法求常系数线性非齐次差分方程的特解

利用升阶法可求解常系数线性非齐次差分方程的特解．     

常系数非齐次线性微分方程特解的注记

针对常系数非齐次线性微分方程的一种特解公式,给出两个简化计算的定理,并对如何应用这两个定理进行特解计算给出了具体算例.     

常系数非齐次线性微分方程的特解又一分析

讨论常系数非齐次线性微分方程L[y]=Pm(x)eαx特解的一种新的分析方法.     

线性常系数非齐次微分方程特解的卷积表示

利用卷积表示线性常系数非齐次微分方程的特解，可简化方程求解过程，方程的自由项也可被推广到任意可积函数。     

常系数非齐次线性微分方程的变量替换法

常系数非齐次线性微分方程求解是微积分教学的一个难点,主要困难是特解形式复杂和计算量大.本文用变量替换的思想研究这类微分方程的特解,从最简单的情形出发,通过类比得出复杂情形下方程的解法.使用变量替换把复杂问题简单化,求解不需要特解形式,有效降低了计算量.     

常系数非齐次线性微分方程组的初等解法

利用初等变换将常系数非齐次线性微分方程组化为由若干个相互独立的高阶常系数非齐次线性微分方程组成的方程组,再利用高阶常系数齐次线性微分方程的特征根法和非齐次方程的待定系数法求该方程组的基本解组及特解,最后通过初等变换求原方程组的基本解组及特解,从而可求出其通解.     

二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简化判定

本文根据二阶常系数非齐次微分方程自由项的特征，给出了一种判定筛选待解中为零的待定常数的方法，使求解计算简化。     

关于求常系数非齐次线性微分方程特解的一点注记

在常微分方程教材中，求常系数非齐次线性微分方程y^(a) a1y^(n-1) …any=F(x) (*)的特解，一般都考虑非齐次项F(x)的两大类型：     

关于常系数非齐次线性微分方程通解的注释

给出了二、三阶常系数非齐次线性微分方程的通解的表达式,并且对于任意阶常系数非齐次线性微分方程的某些类别也给出了通解的表达式.     

用算子法求常系数线性非齐次方程特解

本文通过引人算子，介绍了一种能有效求出常系数线性非齐次方程特解的方法。希望对同学们有所帮助。一、有关概念引入其子，记代入系数线性非齐欢方程得简记为，称为其子多项式，记为F（D），于是方程可记为F（D）y=f（x）。通过直接运算，易知k）v（x）。二、基本运＊：设民（D）、Fi（D）为算子多项式1．加法：［凤（D）十几（＊月八X）一见（＊）八三）十几（D）八三）；2．乘法：［凤（＊）·凡（D）」八X）一只（D）［尺（＊）八X）」。易证加法和乘法满足：F（D）＋F（D）一见（D）＋F（D），F（D）·F。（D）2F（D）·F…     

求非齐次高阶常系数线性常微分方程的特解的一般公式

本文提出了高阶常系数线性常微分方程的第二类特征代数方程 ,并利用它获得了求非齐次方程的特解的一般公式 .     

用矩阵的方法求解常系数齐次线性差分方程

将常系数齐次线性差分方程改写为矩阵与向量乘积形式的递推关系,通过计算若当矩阵的幂,并运用相似矩阵的理论给出了常系数齐次线性差分方程通解的解析形式.     

常系数非齐次线性差分方程的特解

本讨论了二阶常系数非齐次线性差分方程特解的隶法,给出了用升阶法和常数变易法求特解的两种方法．