新题征展(68)

A题组新编1.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=;(2)已知函数f(x)=ax2+bx,若f(m)=f(n)(m≠n),则f(m+n)=;(3)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(m)=f(n)(m≠n),则f(m+n)=.2.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=;(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=a,Sn=b(m≠n),则Sm+n=;(3)已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0),若f(m)=t,f(n)=s(m≠n),则f(m+n)=;(4)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(m)=t,f(n)=s(m≠n),则f(m+n)=.3.(1)在周长为定值l的直角三角形中,怎样的三角形面积最大?最大面积是多少?请详述理由;(2)在…     

用求导法解2001年高考第20(Ⅱ)题

20 0 1年高考数学试卷理科第 2 0 ( )题为 :已知 r、m、n是正整数 ,且 1( 1 n) m .标答中是应用二项式定理来解 ,多数考生是用均值不等式法 (见本期 P4 2 ) .这里给出构造辅助函数和用求导的方法 .解∵　 11,∴　 f′( x) <0 ,则　 f( x)为单调递减函数 .又　 2≤ m ln( 1 n)n ,nln( 1 m) >mln( 1 n) .故…     

一道新题征展问题的结论与证明的纠正

本刊2011年第2期新题征展(124)题7是一道有关导数应用的函数与不等式综合问题,原题如下:已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:h(m)+h(n)/2＞h(m+n/2).     

一道高三联考压轴题的多方法解析

正题目:已知f(x)=lnx,g(x)=mx-1.(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求m的取值范围.(2)若n∈N*,n1,求证3/2~2+5/3~2+…+(2n-1)/n~22lnn.这道题表面是一道不等式题目,仔细深入挖     

甩瓦累-布然平均逼近连续函数

<正> §1.总说§1.1 设 f(x)∈C_(2π),f(x)～a_0/2+sum form n=1 to ∞ a_ncosnx+b_nsin nx≡sum form n=0 to ∞ A_n(x)记 S_n(f,x)=sum form v=0 to n A_v(x).称σ_(n,p)(f,x)=1/p+1 sum form v=n-p to n S_v(f,x)为 f(x)的瓦累-布然平均.记△_u~kf(x)=sum form v=0 to k (-1)~v(?)f[x+(k-2v)u].称函数ω_k(f,t)=(?)|△~u_kf(x)|为 f(x)的 k 阶连续模.简记ω(f,t)=ω_1(f,t).假如 f(x)的共轭函数     

关于K型函数问题

<正>在近年的高考数学模拟题中,有一种类型的函数题屡屡出现,兹称它为K型函数问题.一般地,设函数f(x)的定义域为D,若存在区间[m,n]D,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[km,kn](k为正整数),则称函数f(x)是K型函数,区间[m,n]是f(x)的K型区间.当K=1,2,3,…时分别称f(x)是1型函数(又叫等域函数,对应区间叫等域区间),2型函数,3型函数,….下     

浅谈迭代函数的零点问题

<正>我们先给出迭代函数的概念:一般地,如果给定一个函数f(x),它的值域是其定义域的子集,那么我们可以记f⁽¹⁾(x)=f(x),f(1)(x)=f(x),f⁽²⁾(x)=f(f(x)),f(2)(x)=f(f(x)),f⁽³⁾(x)=f(f(f(x))),……,f(3)(x)=f(f(f(x))),……,f⁽ⁿ⁾(x)=f(f(n)(x)=f(f^(n-1)(x))=(f(f(…f(x)…)))n个f并把它们依次叫做函数f(x)的一次迭代,二次迭代,三次迭代,……,n次迭代.n称为f(x)的迭代指数,显然,n次迭代就是同一函数的n次复合函数,下面讨论与二次迭代函数的零点     

凸函数在不等式证明中一个应用

凸性是函数的一个重要性质,在数学中有许多重要的应用．本文讨论二阶可微的凸函数在证明初等数学不等式时的灵活应用．设厂(x)是定义．f(x)在区间Ω上的函数,若对任意x1,x2∈Ω和A∈[0,1],成立f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-A)f(x2),则称函数厂(x)在n上是凸函数．     

n次迭代还原函数的一个构造定理

定义1记函数f(x)=f[1](x),f(f(x))=f[2](x),…,f(f(…f(x)…))=f[n](x),f[n](x)为f(x)的n次迭代.定义2记f(x),f[2](x),f[3](x),…,f[n](x)的定义域的交集为A,若对于任意的x∈A,存在最小的正整数n,使得f[n](x)=x,则称f(x)为n次迭代还原函数.不难证明,若f(x)为n次迭代还原函数,则     

广义齐次函数

若函数f(x,y)在其定义域G上满足恒等式 f(tx,ty)=t~nf(x,y),t>0,则称f(x,y)为n次齐次函数。把这个概念推广一下,还可以得到一类广义齐次函数,本文的目的就是对这类广义齐次函数的性质作一初步的讨论。定义.若函数f(x,y)在其定义域G上对一切t>0恒满足等式 f(tx,ty)=h(x,y)k(t)+z~mf(x,y),(1)其中h(x,y)为n次齐次函数,k(t)=t~mlnt(n=m时)或k(t)=(t~n-t~m)(n≠m时),则我们称函数f(x,y)为关于特征函数h(x,y)的m次广义齐次函数。例如,xlny+ylnx+x为关于特征函数x+y的1次广义齐次函数。而x~2+y~2+x~2y则为关于特     

引导探究考题 优化思维品质——从一道函数高考题谈起

题目:设a∈R,函数f(x)=2x2+(x-a)x-a.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不要给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.本题以学生熟悉的二次函数为载体,综合考查函数     

“模特函数”的桥梁作用

函数是中学数学的重要内容 ,对于没有给出函数解析式的问题 ,其抽象程度高 ,综合性、灵活性强 .然而 ,这类题目的设计和编拟 ,都有某个基础函数作模特函数 ,如果我们能找出这个模特函数 ,分析它的图象和性质 ,必将有助于问题的解决 .下面是一些中学数学中常见的模特函数 :1 )若一次函数 f(x)满足 f(x + y) =f(x) + f( y) ,则f(x) =kx ;2 )若二次函数 f(x)的图象关于x =a对称 ,即满足f(a +x) =f(a -x) ,则二次函数f(x) =m(x -a) 2 +n(m≠ 0 ) ;3) f (x)满足 :①对任何x ,y∈R ,f(x + y) =f(x)f( y) ,②f(x) 在R上单调递增 (减 ) ,则f(x) 是…     

一道练习题的推广

原题已知函数f(x)=ax2 bx c(a≠0),满足当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,则|f(2)|≤8.该题的结论可以推广到一般情形,即当(|n|>1,n∈R时),|f(n)|≤2n2-1.首先看一个引理.引理1已知函数f(x)=ax2 bx c,(a≠0),对任意给定的常数m,f(m)可以写成f(1),f(-1),f(0)的线性组合.证由于f(m)=am2     

综合题新编选登

题130设定义在R上的函数f(x)=a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时,f(x)取极大值32,且函数y=f(x 1)的图象关于点(-1,0)对称.1)求f(x)的表达式;2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-2,2]上;3)设xn=2n2-n1,ym=2(13-m3m)(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<34.解1)将y=f(x 1)的图象向右平移一个单位,得y=f(x)的图象,所以得f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)是奇函数,所以f(x)=a1x3 a3x.由题意,得f′(-1)=3a1 a3=0,f(-1)=-a1-a3=32,所以a1=31,a3=-1,f(x)=13x3-x.可以检验f(x)满足题…     

分割区间来解题,也是一种好方法!

高考题1(2010.福建.理.15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④"函数f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充     

如何理解函数的值域和函数值的范围

问题已知函数f(x)=x2+(a+1)x+1(x∈R). (Ⅰ)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求实数a的取值范围. (Ⅱ)若函数f(x)的函数值f(x)∈[0,+∞),求实数a的取值范围.     

牛顿——莱布尼兹公式的进一步推广

本文将牛顿——莱布尼兹公式推广为设函数f(x)在[a,b],上连续,并且f_+(x)与f_-(x)在(a,b)内存在,如果存在p、q≥0,满足p+q=1,使得函数pf_+(x)+qf_-(x)在[a,b]上黎曼可积,则integral from a to b (qf_+(x)+qf_-(x))dx=f(b)-f(a)     

正項級数判斂的一个方法

定理.設所考虑的級数有下面的形式: sum from n=0 to ∞ a_n=sum from n=0 to ∞ f(n),a>0,(A)其中f(n)是当x=n时,由某一函数f(x)所确定的值。假設1)当x>c时(c为常数),f(x)連續且有直到m阶的有限导数。2) (?) f(x)=(?) f′(x)=…=(?) f~(m-1)(x)=0。可用对函数f(x)逐次微分的方法来判別級数(A)是收斂或发散的。即,如果对m次导数f(m)(x),存在一冪函数x~(a m)(a>0)使得 lim x~(a m)f~(m)(x)=K (0≤|K|≤ ∞)。(B)那末1) 当a>1,|K|< ∞时,級数(A)收斂;2) 当a≤1,|K|>0时,級数(A)发散。证.对f(x)和1/x~(a m)之比应用洛毕达法则m次,并注意(B)式: 因此也有     

利用函数的单调性解竞赛题

函数的单调性在竞赛中应用十分广泛 ,它对于研究图像的特征、确定函数的值域 ,有着重要作用 .同时 ,因为单调函数y =f(x)中x与y是一一对应的 ,所以就可把复杂的高次方程 f(x) =f(a)化为简单的方程x =a ,高次不等式 f(x)≥f(a)化为简单的不等式x≥a或x≤a ,从而使问题驭繁为简 .本文就此特性 ,举例加以说明 .例 1　求不等式 12 x+5 x≤ 13 x 的解集 .(第 13届“希望杯”竞赛试题 )分析　若将不等式 12 x+5 x≤ 13 x 变形为( 1213 ) x+( 513 ) x≤ 1,则可引进函数f(x) =( 1213 ) x+( 513 ) x,利用函数 y =f(x)的单调性帮助解决问题 .解　原不…     

一道函数零点问题的多视角求解

题目已知函数f(x)=lnx+(1-m)x在区间[1,e2]内有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是.本题是一道与函数零点有关的参数取值问题,函数f(x)在某区间上有且仅有一个零点,就是对应函数的图象与x轴在区间内有一个交点,也是对应方程在该区间内有唯一的实数解解决本