与抽屉原理相关的一道数学题的妙解

众所周知,抽屉原理（即鸽笼原理）是解决许多数学问题的有力工具．m个鸽子飞进n个笼子里,人们往往容易想到：“当m〉n时,至少有两个‘倒霉’的鸽子挤到同一个笼子里去”,而忽略另一个同样重要的事实：“当m〈n时,至少有n—m个‘幸运’的笼子是空的”．     

用鸽笼原理写趣题庆1992

鸽笼原理中有一个原理可叙述为: 设m,n,p为自然数。如果有mn■p(p■1)只鸽子飞进了n个箱子,则必至少有一个笼子飞进了不少于m?1只鸽子。 本文给出一些可以用上述原理来证明且与新的一年的年号——1992有关的题目,希望它     

加法原理与乘法原理的应用举例

加法原理与乘法原理是解决中学排列、组合问题的关键的两个原理。一般举例甚浅,给人形成一种可有可无的印象,看不到方法的强有力性,作为教科书的补充,今举二例: 例1、在n×n个小方格上,求由若干个小方格刚好拼成正方形的个数。解;设一个小方格的边长为1,完成拼成正方形这件事,有n类办法: 拼成边长为1的正方形,有n~2个; 拼成边长为2的正方形,有(n-1)~2个; 拼成边长为3的正方形,有(n-2)~2个; ……拼成边长为(n-1)的正方形,有2~2个; 拼成边长为n的正方形,有1~2个; 故依加法原理知,刚好能够拼成的正方形共有     

抽屉原理

抽屉原理俗称鸽巢原理,又叫狄利克雷原理.简单地说就是:把3个苹果放入两个抽屉中,必有一个抽屉中至少有两个苹果;把3个苹果放入4个抽屉中,必有一个抽屉中没有苹果.1抽屉原理的几种形式1)第一抽屉原理(少的抽屉原理)设有m个元素分属于n个集合(其两两的交集可以非空),且m>kn(m,n,k均为正整数),则必有一个集合中至少有k 1个元素.2)第二抽屉原理(多的抽屉原理)设有m个元素分属于n个两两不相交的集合,且m相似文献   

抽屉原理面面观

抽屉原理是组合数学中一个重要的原理。因为它是德国数学家狄利克雷首先明确提出来的,因此也称为狄利克雷原理。抽屉原理的一般含义是：把多于n个的苹果放进n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。     

古人笔记中的抽屉原则

抽屉原则又名鸽笼原理或狄利克雷原理,在数论、集合论和组合数学中有很多应用,共最简单的表述形式是:若把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的物体。 十九世纪以来,这一原则首先被用来建立有理数     

Banach乘积空间中映射的不动点存在唯一性与迭代过程的收敛性

本文将作者在[4]中得到的从Rⁿ到Rⁿ的线性映射下Jacobi迭代和Seidel迭代收敛准则推广到论证n个Banach空间的乘积空间映射到自良的非线性向量算子的不动点存在唯一性,推广了[2]的主要结论。本文所有结论均包含Banach压缩映射原理作为最简单的特例。     

应用函数递推公式解题

在数列和排列组合的教学中,知道数列的通项a_n,前n项之和S_n及n个元素的排列组合问题,都可以看作是以自然数n为自变量的函数,可以用F(n)表示。关于这类函数问题,我们有时需要用函数递推原理,建立函数递推原理是数理逻辑中的演绎推理方法。若有F(n)与F(n-1)的关系φ。则F(n-1)与F(n-2)亦有关系φ推到F(2)与F(1)有关系φ。若F(1)为已知则可通过关系φ推到F(n)。所以解这类问题有两个步骤。第一步:就     

用函数观点证明等差数列中两个结论

等差数列是中学教材中出现的两种特殊的数列之一,其中有两个重要的结论:(1)已知{an}成等差数列,当am=n,an=m时,则有am+n=0;(2)已知{an}成等差数列,当sm=n,Sn=m时,则有Sm+n=-(m+n).对于上述两个重要的结论,可用列方程来证明,运算过程较烦,若用函数的观点分析证     

关于正态随机变量的线性函数的分布

<正> 关于正态随机向量有结论:一个n维正态随机向量(ξ_1,ξ_2,…,ξ_n)的线性函数a_1ξ_1+a_2ξ_2+…+a_nξ_n是一维正态随机变量,其中a_i,i=1,2,…,n是不全为0的实数。n个相互独立正态随机变量是n维联合正态的,故n个独立正态随机变量之线性函数是一维正态的。     

连通的三重Kn-残差图

Erds P,Harary F和Klawe M研究了Kn-残差图,并对连通的m-Kn-残差图提出了一些结论和猜想．利用容斥原理以及集合的运算性质等方法,研究了连通的3-Kn-残差图,得到当顶点最小度为n时,3-Kn-残差图最小阶的计算公式以及相应的唯一极图．当n=2时,得到最小阶为ll以及相应的极图;当n=3时,得到最小阶为20并找到两个不同构的极图,不满足Erdos等提出的结论;当n=4时,得到最小阶为22及相应的极图;当n=8时,可以找到两个不同构的3-Kn-残差图,不满足Erdos等提出的结论;最后证明了当n=9,10时,最小阶分别为48和52以及相应的唯一极图,验证了Erdos等在文献（Residually-complete graphs[J]．Annals of Discrete Mathematics,1980,6：117．123）中提出的结论．     

恰含两个圈的二部图的能量

设λ1,λ2,…,λn是n阶图G的特征值,图G的能量是E(G)=|λ1| |λ2| … |λn|,设G(n)是n个顶点n 1条边的恰有两个圈的连通二部图的集合,Z(n;4,4)是G(n)中的一个图,它的两个长为4的圈恰有一个公共点,其余n-7个点都是悬挂点且均与这个公共点相邻．文中证明了Z(n;4,4)是G(n)中具有最小能量的图。     

正多边形的自生和衍生

<正>如果有正n边形,我们对正n边形进行一定的操作可以得到另一个正n边形.这样的操作可以有两种:一种是对一个正n边形操作;我们把这一种叫做正多边形的自生;另一种是对两个正n边形进行操作,我们把这一种叫做正多边形的衍生.下面从两方面分别阐述.一、正多边形的自生在此给出n=3,4,5,6时的图形,其它以此类推.命题的结论用全等三角形即可简单证出.     

连通的三重K_{n}-残差图

Erd\"{o}s P, Harary F和Klawe M研究了K_{n}-残差图, 并对连通的m-K_{n}-残差图提出了一些结论和猜想. 利用容斥原理以及集合的运算性质等方法, 研究了连通的3-K_{n}-残差图, 得到当顶点最小度为n时, 3-K_{n}-残差图最小阶的计算公式以及相应的唯一极图. 当n=2时, 得到最小阶为11以及相应的极图; 当n=3时, 得到最小阶为20并找到两个不同构的极图, 不满足Erd\"{o}s等提出的结论; 当$=4时, 得到最小阶为22及相应的极图; 当n=8, 可以找到两个不同构的3-K_{8_{}}-残差图, 不满足Erd\"{o}s等提出的结论; 最后证明了当n=9,10时, 最小阶分别为48和52以及相应的唯一极图, 验证了Erd\"{o}s等在文献~(Residually-complete graphs [J].Annals of Discrete Mathematics, 1980, 6: 117-123) 中提出的结论.     

错排问题的递推求解

一、错排问题现有五件球衣分属五个运动员,现问五个运动员都不穿自己的球衣,而穿其它球员的球衣,这样的穿法有几种?这就是5个元素的错排问题.就一般而言,有几个不同的元素,它们一一对应于几个位置,如果这n个元素都不排在自身对应的位置上,这种排列的方法称为几个元素的一个错排.现要计算这种错排的个数.大数学家欧拉曾用容斥原理求出了n个元素的错排个数为:Dn=n!1-11!+21!-31!+……+(-n1!)n这是运用容斥原理解决问题的一个典范.现从另一个角度出发,运用错排问题自身的递推规律,求错排问题的解.二、错排问题的递推规律设有n个不同的元素a1,a…     

连续完全平方数的一些有趣的性质

若a是整数,那么a~2就叫做a的完全平方数,例如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,那么a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。例如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有哪些性质呢? 我们知道,16= 4~2,25=5~2,在16和25之间的任意整数都不是完全平方数。这就是说:在两个连续正整数的平方之间不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,使得a~2在n~2和(n+1)~2之间,即n~2相似文献   

枚举量词与谓词演算

<正> 枚举量词是指下列的量词:■_nxA(x)(n 级全称量词):除至多 n—1个 x 以外其余 x 全使 A(x)成立;■_nxA(x)(n级存在量词):至少有 n 个 x 使 A(x)成立;A_nxA(x)(n 级恰有量词):恰巧有 n—1个 x 使 A(x)成立.     

抽屉原理

存在性问题是数学研究中常遇到问题,存在性问题也可看作特殊的计数问题,即对某个集合A,讨论|A|≥1还是|A|=0。一般地说,所谓“存在”指的是“至少有一个”。这里仅须指明“存在”,并不需要指出是哪一个,也不要确定什么办法把这个存在的物体找出来,更没有“唯一”的含义。抽屉原理虽然简单、浅显,却正是解决存在性问题的强有力工具。原理1 把n+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉,它里面有两个或更     

探索全错位排列问题的通解

有编号为 1,2 ,… ,n的 n个小球 ,将其装入编号为 1,2 ,… ,n的 n个盒中 ,每盒装 1个球 ,且球与盒的编号不同 ,问不同的装球方法有多少种 ?以上是全错位排列问题 ,它的通解存在 ,下面我们来探求这个通解 .为方便起见 ,设 n个球的不同的装球方法有 an 种 ,易知 ,n =1时 ,a1=0 ;n     

二重随机矩阵的实永年方程的根

<正> Peter M.Gibson在文[1]中证明了下述 定理:对于每个n≥7存在一个n×n的、不可约化的二重随机矩阵A,使得A的特征矩阵的永年方程有n个实零点. 本文进一步得到:对于任意的自然数。,存在一个n×n的,不可约化的二重随机矩阵A,使得A的特征矩阵的永年方程有n个实零点.而且指出了Peter M.Gibson在文[1]中由于他在计算上有一符号的错误,因而影响了他所得到的结论.本文纠正了这一错误,改进了他的结果.