复数及其在几何中的应用

本文的主題同时涉及代数和几何,这两門学科間的联系是很多种多样的,而且对它們的每一門来說都是有益的。代数在几何和几何在代数中的很多应用,在远古时代就已經知道了。这只要回顾关于根据把边为(a+b)的正方形分解为两个小的正方形和两个长方形的公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2的結論,或者关于用代数方法来解作图題就够了。晚近,甚至在这个世紀,在数学里面出現了很多和代数及几何同样有关的研究方向;可以作为很好的例子的,有代数几何以及在活跃发展中的方向——它因为沒有較好的名称,暫且叫作“綫性代数和投影几何”。在代数的范围內,已經产生的关于复数的学說,很多地方都与几何有联系;本文将只談这些联系中的一个。     

复数的教学(續)

Vn.复数的乘方1.1的方粱及其圆示法.1)1的各方翼:乙,i一~一1,舒~沪.(一1)2一乙,.︸(乙2)2i4i,i已 .印二:二i臼二二二13~一乞,18一14·+1,一1,14二+1.沪护月创2)由此导出:i4n+‘~i,14,,+2:二一1,14护‘+3~一i,14,‘二+1·恤一。1,1)“~韶八一‘天了一,l,“十嵘了一2(bi)匕一十 +嗯砂一“伪动“十··一左+人i 一了~arl一嵘砂一2犷一:嗽了一1护一 B~吐a叹一‘b一嵘了一“护十吹了一“护… 只要用二项式定理展开法剧将(u一卜b汀‘展开,再热i的方尊适当变换为i,一1,一凡十1;最后再牌实数部分集项和虚数部分集项.即得其IL次方幕.5.再得出三角函…     

复数在几何中的应用

复数可以用点和向量表示,复数集与复平面上的点集及复平面上从坐标原点发出的向量集具有一一对应关系,复数的加减法运算可以按照向量的加减法进行,若设z=r(cosθ isinθ)复数z_1与向量OZ_1对应,那么Z·z_1的几何意义是把向量OZ_1绕o点按逆时针方向旋转θ角,再把|OZ_1|变为原来的r倍,而z-1/z(z≠0)的几何意义则是把向量OZ_1绕o点按顺时针方向转θ角,再把|OZ_1|变为原来的1/r倍,根据复数及其运算的几何意义,平面上某些图形的几何关系可以通过复数关系来刻划,从而一些几何问题就可以通过一系列的复数运算,巧妙地导出所需的结果。     

射影几何簡介(續)

第二部分§9.齐次坐标一維齐次点坐标.当欧氏直线規定了方向、原点及单位线段以后,即建立起一种坐标系,它可使有穷远点与实数之間建立一一对应,从而确立了欧氏直线上点的坐标的概念。当它引进无穷远点建立射影直线后,无穷远点即沒有坐标而必須另行規定于下: 定义。笛氏坐标为x的点的一維齐次坐标(x_1,x_2)系任意适合x_1:x_2=x之二数x_1,x_2其中x2≠0,而     

因式分解(續)

(四)复数域和实数域中的因子分解根据定理2,复数域和实数域上的多項式永远可以唯一地分解成不可約多項式的乘积.可是定理2並沒有告訴我們复数域和实数域上不可約多項式的形狀是怎样的,同时它也沒有告訴我們一个有效的方法如何經有限次有理运算(即加、减、乘、除四种运算之統称)將复数域     

紧致性在分析中的作用(續)

例Ⅳ.不避烦琐,我们再引用一个例子来支持我们的论点。考虑定义在R的一个子集A上的连续实值函数全体,我们用记号(?)(A)来表示这个集合。集合(?)(A)对逐点相加和相乘的运算来说形成一个环。这样,我们就可在(?)(A)內引入理想子环的概念:(?)(A)中的一个理想子环(?)是(?)(A)的一个非空子集,它具有如下的性质:如f和g在(?)內,φ在(?)(A)內,则f-g与φf均在(?)內。为了避免在証明过程中碰到无多大意义的特殊情形,我们假设所研究的子环均异于(?)(A)本身。     

(七) 复数

[分析] |z|=2的图形是个圆,|z＇ i|=2的图形也是一个圆。问题化为求后一个圆上离原点最远的点的距离。     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間     

反三角函數(續)

第七課 課題:以反函數形式給定的弧底各三角函數的求法 檢查完了家庭作業以後,叫一个学生到黑板上求sin(arcsin x)和cos(arcsin x)。因为-(π/2)≤arcsin x≤π/2,而正弦在这个區間內是正數或0,所以在根号前应取十号;因而,与數x的符号無關,我們有: 叫另一个学生求弧arcsin x的正切和餘切:在这裏根号前取+号。事实上,若x<0,則也有tan(arcsinx)<0,而若x>0,則也有tan(arcsin x)>0;所以     

集合与一一对应(續)

§4. 对应与一一对应由上面討論可見,一一对应是一个很重要的概念,它在數学中有許多的用处。下面我們就詳細討論一下这个概念: 我們先从一个更廣义的概念“对应”談起,它在數学中佔有更重要的地位。很多人都学过“函數”这个概念,見过一些函數的例子,例如:f(x)=x~2+1,g(x)=sin x等等。我們回想一下函數的定义,在实數範圍內,它是这样說的: 如果有一个法則Ф,根据这个法則我們对每一个实數x,都能得出一个确定的实數y与它相应,我們就把这个法則叫做(定义在实數集上的)一个(取实數值的)函數,与x相应的y記作Ф(x),称为x在函數f下的值。例如f(x)=x~2+1这个函數是表示如下的法則f:“(給出实數x後)算出:x的平方,再加1(得到与x相应的f(x))。”在g(x)=sin x時,我們的法則g叙述起     

复数及其应用

A)助(c)(D)10.(A)(B)(c)(D)1l.一、选择题1.设二、习是虚数,则下列命题正确的是()(^)若二全+即全=0则:=梦=0(B)}x 12二:2(c)若卜!相似文献   

度量空間(續)

巴拿赫-达尔斯基定理从初等几何学中我們知道,若以某种方式分一多面体为几个多面体,并且重新排列这些部分多面体以組成一新多面体,則后者无論如何也不能放入原多面体的內部。在这个定理里关鍵在于,我們分原多面体为几个部分,它們也是多面体。似乎以为,若我們分一立方体为某一有限数目的集合,則在空间中不     

复数在解题中的应用

应用复数解题也是一种较好的综合训练,结合复数的教学和中学数学复习注意这种训练,对于加深学生对复数基础知识的理解,培养学生灵活地运用所学知识解数学题的技能技巧,沟通代数、几何、三角等之间的相互联系都是很有益的。下面举出一些不超过中学复数知识所能解答的例子,说明复数在解代数、三角、几何题中的应用,供教学参考。     

圆錐曲线(續)

§4.直圆錐面的平截线现在我們研究在第二种定义下直圓錐面平截綫的各种形状。 設有以O为頂,OA为軸,a(0相似文献   

复数阶GM(1,N)模型及其应用

针对传统和分数阶的GM(1,N)模型不能较好的调整新旧信息权重的问题,通过将模型的阶数从实数拓展到复数,则可以同时调整实部与虚部、新信息与旧信息之间的权值,建立复数阶的GM(1,N)模型(简记为CAGM^z(1,N)模型).并采用复数编码粒子群算法对数据进行求解,从而获得更好的预测结果.最后分别以某地道路交通事故、某地粮食产量数据等为例,运用CAGM^z(1,N)模型进行计算比较,结果表明:CAGM^z(1,N)较GM(1,N)模型有更低的平均误差、更好的精度.     

数理邏輯与自动化(續)

繼电器接点綫路代数及其应用的例子自动化使用的继电接点綫路中絕大多数是采用电磁继电器的。电磁继电器是一块带有鉄电枢和接点的电磁铁。当电枢被吸至电磁鉄心时,即当继电器动作时,接点进入工作位置。当继电器放开自己的电枢时,在接点弹簧的作用下继电器接点恢复正常状态。有的电磁继电器有几个綫圈,但經常采用的还是一个线圈的继电器(单线圈继电器)。所以我們这里也只探討具有单綫圈的继电器接点綫路,今后,我們处处把单綫圈电磁继电器簡称为继电器。继电器的綫圈和級电器本身通常以同样的字母来表示:而继电器通常使用下列大写的拉丁字母表示: X,Y,Z,……继电器通常有几个閉接点和几个开接点。继电器的接点与表示继电器本身也即它的綫圈的大写字母同     

線代数学的基本概念(續)

§2.欧几里得空間 8.欧几里得空間的定义,前面我們已經看到,在一个線性空間中可以定义平面、直線、平行和相交的概念等,不过决不能以線性空間的术語定义像向量的長、向量之間的角这样的基本几何概念,我們將根据用公理法定义的数量乘积的概念来引入这些概念*)。定义7.如果線性空間R的每一对向量x,y与某一实数(x,y)对应,而且这一对应具有下面的性質:     

线性代数簡介(續II)

§6.特征向量及特征根既然n维空間的同一个线性变換在不同的基底下可以有不同的矩陣与它对应,因此在研究线性变換时,我們自然希望适当地选择一組基底,使得所給的綫性变换的矩陣具有尽可能簡单的形式。     

論数学归納(續)

§3.任意归納模型中的加法和乘法正如我們前面所指出,由定理1推出在每个Peano模型中存在唯一的加法运算[即对于所有x,y ∈N滿足条件(5.1)和(5.2)的二元运算f]。事实上我們更有定理2.在每个归納模型中有唯一的加法运算。这个定理的証明不能在定理1的基础上作出,因为正象我們在§2中指出的,后者并不对于一切归納模型为真。我們采用如下的引理来代替它: 引理。若为任意归納模型,則对于每个x∈N在N上存在着唯一的一元运算hx,使得条件(3.1)和(3.2)对于所有y∈N为真。 証.首先我們指出,对于任何x∈N最多只能存在一个运算hx滿足条件(3.1)和(3.2)。事实上,我們假定h_x和h′_x为滿足这些条件的两个运算且設G为N的这样的子集使得y∈G当且仅当hxy=h′_(xy)。显然,O∈G,因为h_xO=x=h′_xO。此外,集合G对于S为     

线性代数簡介(續Ⅰ)

§2.向量空間 1.細心的讀者不难发现,在§1里,关于向量运算的許多性质和大多数的命題的推导过程中,我們是有意地避免利用向量的特殊属性,而只是直接利用基本算律I-VIII或数积的性质1°-4°。我們所以这样作的目的是为了使讀者了解,关于向量运算的許多性质并不依赖于向量本身的特殊属性,而只是依赖于这些基本算