三棱柱中折线的最值问题

<正>问题呈现如图1,在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC_1=2(1/2),P是BC_1上一点,则CP+PA_1的最小值是____.讨论经历易知,若A_1、P、C三点在一条直线上时,A_1P+CP最短.连接A_1B,即可将平面A_1C_1B_1沿BC_1翻折,使之与平面BCC_1在同一平面(如图2)。     

繁与简在于解法的选择

不久前,学校进行了一次考试,普遍认为最后一题过繁。原题如下: 设扇形AOB的半径为a,中心角为θ(锐角)。由A向半径OB引垂线AB_1,由垂足B_1引弦AB的平行钱交OA于A_1.再由A_l引半径OB的垂线AB_2,再由B_2引弦AB的平行线交OA于A_2,这样无限地反复地继续作下去。所得△ABB_1,△A_1B_1B_2,△A_nB_nB_(n+L)…的面积分别为S_1,S_2,S_3,…,s~n,…求所有这些三角形面积的和。     

灵活选取基向量巧解题

例1(2008年全国卷Ⅰ理11题)已知三棱柱ABC-A_1B_1C_1的侧棱与底面边长都相等,A_1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB_1与底面ABC所成角的正弦值等于     

正方体中异面直线距离趣探

正方体有12条棱,4条对角线和12条面对角线。它们两两之间可以决定若干对异面直线。这些异面直线的组成,无非有以下七种情况(参看图1): (1)棱与棱,例如AA_1与BC; (2)棱与平行面对角线,例如AA_1与BC_1; (3)相对两面对角线,     

立体几何中轨迹问题的多角度思考

<正>立体几何中的轨迹问题往往是一个难点．在高三复习中,为大幅提升解决空间轨迹问题的能力,我们可以尝试一题多解,从不同角度思考,重构思维脉络,形成解决此类问题的方法体系．本文以一道浙江省三地市高三联考题为例,浅议高三复习．(2021年5月金丽衢十二校高三第二次联考第9题)如图1,正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,P为平面AB_1D_1内一动点,     

教学有感三则

一、在教学中培养学生严谨的治学态度初中教材平面几何第二册P.65有这样一道题: 已知:△ABC中AB=15,AC=20,高AD=12。求角平分线AE的长。学生作业中普遍的结果是长度单位。教学参考书也是这个答案。然而引导学生仔细分析题意,用三角形奠基法作出题中图,不难发现这个答案是不完整的。正确的答案应为: 依题意作图知,△AB_1C与△AB_2C均为题意中的三角形。在     

立几中几种常用的解题策略

本文归纳梳理立体几何中常用的几种解题策略.(一)联想试探法:联想熟悉的问题进行探求例1 平行六面体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,对角线 AB_1,B_1C,BD_1两两互相垂直,其长度分别等     

三角板开平方尺

一、构造:此尺是由两个互相垂直且相交的尺子(AB及CD)构成的(見图3)。AB尺的长是11厘米,在距离它的左端点(A)1匣米的地方刻上“0”,由“0”点到它的右端点(B)共分100等分。CD尺的长是6.4厘米,共分32等分。CD尺的“0”与AB尺上表示“10”的点重合,是垂足D。二、原理:自上任意一点(C_1)向直径(AB_1)所作的垂綫(C_1D)是直径被垂足(D)所分成两线段(AD、DB_1)的比例中项(見图1)。根据这个原理設計出上面所谈到的开平方計算尺     

一道几何赛题的简证

<正>题目 (2013年北京市中学生数学竞赛复赛(高一))在△ABC中,已知∠BAC=40°,∠ABC=60°,D、E分别为边上AC、AB上的点,且使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F为BD与AC的交点,联结AF.证明:AF丄BC_[1].文[1]利用添辅助线的几何方法证明,十分繁琐,文[2]利用角元塞瓦定理,这个定理一般中学生不知道,比较冷僻,更谈不上应用.本文利用向量给出一种简单自然的证法,     

等比数列一个性质及应用

对于等比数列,我们有如下的性质: 性质:如果数列{α_(n 1)-αα_n}(α≠0)是公比为β的等比数列,则数列{α_(n 1)-βα_n}是公比为α的等比数列。证明∵α_(n 1)-αα_n=β(α_n-αα_(n-1)) 即α_(n 1)-βα_n=α(α_n-βα_(n-1)) 故数列{α_(n 1)-βα_n}是公比为α的等比数     

考点13 三角函数的图像与性质

1.(全国卷,1)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是().(A)4π(B)2π(C)π(D)2π2.(山东卷,3)已知函数y=sin(x-1π2)cos(x-1π2),则下列判断正确的是().(A)此函数的最小正周期为2π,其图像的一个对称中心是(1π2,0)(B)此函数的最小正周期为π,其图像的一个对称中心是(1π2,0)(C)此函数的最小正周期为2π,其图像的一个对称中心是(π6,0)(D)此函数的最小正周期为π,其图像的一个对称中心是(π6,0)3.(全国卷,4)已知函数y=tanωx在(-2π,π2)内是减函数,则().(A)0<ω≤1(B)-1≤ω<0(C)ω≥1(D)ω≤-14.(江西卷,5)设函数f(x)=sin3x+sin3x,则f(x)…     

一个作N~(1/2)的几何法

我们现在要讨论的问题是用几何法(又叫尺规作图法)在实数轴上作出诸如2~(1/2),3~(1/2),4~(1/2)…,82~(1/2)…,N~(1/2)…,(N为自然数)各点,为叙述方便,我们约定: (1)N~(1/2)x＆y意为N~(1/2)可表示分别以x及y为两条直角边所作成的直角三角形之斜边。     

考点31 简单几何体及其体积

1.(全国卷,3)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为().(A)82π(B)8π(C)42π(D)4π2.(全国卷,4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为().(A)61V(B)41V(C)31V(D)21V3.(广东卷,4)已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B′-ABC的体积为().(A)41(B)21(C)63(D)43第3题图第4题图4.(全国卷,5)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多…     

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史财经类)

参考公式与理科卷相同一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )ｔｇ3 0 0° ｃｔｇ40 5°的值为(Ａ) 1 3　　　 (Ｂ) 1 - 3(Ｃ) - 1 - 3 (Ｄ) - 1 3(3 )若一个圆锥的轴截面是等边三角形 ,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面积是(Ａ) 3π　 (Ｂ) 3 3π　 (Ｃ) 6π　 (Ｄ) 9π(5 )已知复数ｚ=2 6ｉ,则ａｒｇ1ｚ 是(Ａ) π6 　 (Ｂ) 1 1π6 　 (Ｃ) π3 　 (Ｄ) 5π(6 )函数ｙ=2 -ｘ 1 (ｘ>0 )的反函数是(Ａ)ｙ=ｌｏｇ21ｘ - 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｂ)ｙ=-ｌｏｇ2 1ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｃ)ｙ =ｌｏｇ21ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 …     

帮你认识2~(1/2)

你认识2~(1/2)吗?1.2~(1/2)的代数意义:2~(1/2)是2的算术平方根;2.2~(1/2)的几何意义:将边长为4的正方形纸片的四个角向中心对折,如右图.阴影部分的正方形的面积为2.由此得到:2~(1/2)是面积为2的正方形的边长;是边长为1的正方形的对角线.3.2~(1/2)的值是多少呢?我们做如下的探讨.(1)因为12=1,22=4,32=9,…,平方数越来越大,所以2~(1/2)大于1而小于2;     

新题征展(27)

A　题组新编1 .( 1 )若函数 f ( x)的定义域为 [- 1 ,4 ],则 f ( x )的定义域为 ;( 2 )若函数 f ( x 1 )的定义域为[- 2 ,3) ,则 f ( 1x 2 )的定义域为 ;( 3)设 f ( 2 x - 1 ) =2 x - 1 ,则函数 f ( x)的定义域为 .2 .( 1 )已知 f ( x) =x2 2 x - 4,x∈[t,t 1 ],求 f ( x)的最小值 ;( 2 )已知 f( x) =( 4 - 3a) x2 - 2 x a,x∈ [0 ,1 ],求 f( x)的最小值 .(第 1～ 2题由陈廷茂供题 )3.( 1 )不等式 ( x - 3) x 3≥ 0的解集是 ;( 2 )不等式 | x2 - 9|≤ | x 3|的解集是;( 3)若 loga 16 x≤ loga 1( x2 9)对任意x∈ R恒成立 ,…     

考点24 双曲线

1.(全国卷,6)已知双曲线x62-y32=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为().(A)356(B)566(C)56(D)652.(全国卷,9)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为().(A)34(B)35(C)233(D)33.(福建卷,10)已知F1、F2是双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是().(A)4+23(B)3-1(C)32+1(D)3+14.(上海卷,5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.5.(山东卷,14)设双…     

图K(m,n)+S的色性

设S是完全图Km 1的任一有s条边的子图,即|E(S)|=s,E(S)(∪)E(Km 1),V(S)(∪)V(Km 1).图Km 1-E(S)简单地表示为Km 1-S,而Km 1-S关于Km 1的补图记为(Km 1-S).空图Nm与(Km 1-S)的联图记为Nm∨(Km 1-S).K sm 1(m,m 1)表示图集{Nm∨(Km 1-S)| S是Km 1的子图,|S|=s}.本文证明了当m≥s 2且s≥1,〈S〉是E(s)在完全图Km 1的边导出子图并且〈S〉是二部图时,联图Nm∨(Km 1-S)为色唯一图的充要条件是〈S〉是没有割点的连通图(即〈S〉是2-连通的或〈S〉≌Ki,i=1,2)且是色唯一图.     

(0,1)-矩阵类(?)(R,S)

我们把元素全部是1或0的矩阵称为(0,1)-矩阵。设A是一个m×n阶(0,1)-矩阵,其第ⅰ行全部元素之和为r_i(1≤i≤m),第j列全部元素之和为s_j(1≤j≤n)。那么称向量R=(r_1,r_2,…,r_m)为A的行和向量;S=(s_1,s_2,…,s_n)为A的列和向量。所谓具有行和向量R,列和向量S的(0,1)-矩阵类(R,S)是指:     

新题征展(36)

A　题组新编1 . ( 1 )函数 y =π - x2 -x2 -π(　　 ) ;( 2 )设 e为自然对数的底 ,则函数y = eπ - x2| 4- x| - 4(　　 ) ;( 3)函数 y =12 sin(πx) .( 1ax - 1 12 ) 3 3(　　 ) ;( 4 ) f ( x)不是常函数 ,且 f( x)满足f ( 8 x) =f( 8- x) ,f ( x 2 ) =f( x - 2 ) ,则 f ( x) (　　 ) .( A)是奇函数 ,不是偶函数( B)是偶函数 ,不是奇函数( C)是奇函数 ,也是偶函数( D)既不是奇函数 ,也不是偶函数2 .( 1 ) f( x)为奇函数是 f ( 0 ) =0的(　　 ) ;( 2 ) sinθ <0是θ在第三或第四象限的(　　 ) ;( 3) p为假或 q为假是 p为真且 q为真…