如出一辙的两道全国联赛试题

2003年全国高中数学联赛第13题（以下称赛题1）： 设3/2≤x≤5,证明不等式：2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.时过六年,2009年全国高中数学联赛第一试解答题的第3题竟然与之如出一辙（以下称赛题2）：     

两道联赛题的另解

一、对2003年全国高中联赛第13题,可以如下利用柯西不等式,求得证明. 题13设3/2≤x≤5,证明不等式解待证式变为     

用增量法证明一类分式不等式

分式不等式具有优美的外形、丰富的内涵、灵活的证法 ,因而频繁地出现在各级竞赛和“数学问题”中 .本文利用增量法证明一类分式不等式 ,它把证明不等式的大量复杂工作转化为代数恒等式的计算 ,最后才利用不等式的知识 ,思路自然 ,证法简洁 .下面分类简述 ,供大家教学时参考 .1　 A2B型例 1　设 x1 ,x2 ,… ,xn为正数 ,求证 :x21 x2 x22x3 … x2n-1 xn x2nx1 ≥ x1 x2 … xn.(1 984年全国高中联赛试题 )证明　设 x1 =x2 1 ,x2 =x3 2 ,… ,xn=x1 n,则　 1 2 … n=0 ,从而原不等式左边 =(x2 1 ) 2x2 (x3 2 ) 2…     

利用向量法巧解竞赛题

向量是高中教材的新增内容 .由于向量具有几何和代数的双重属性 ,以向量为工具 ,改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系 ,使几何问题彻底代数化了 ,使数形结合思想体现得更深刻、更完善 .本文试图以向量为工具 ,来探究一些竞赛试题的新解法 .1　 代数试题例 1　 ( 2 0 0 3年全国联赛试题 )设32 ≤ x≤ 5,证明不等式2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x <2 1 9.证明　设　 v=( 1 ,1 ,1 ,1 ) ,u=( x + 1 ,x + 1 ,2 x - 3,1 5- 3x ) ,由 u.v≤ | u| .| v| ,得2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x≤( x + 1 ) + ( x + 1 ) + ( 2…     

一道全国高中数学联赛试题的简单解法

2002年全国高中数学联赛第二试第二题是: "实数a、b、c和正数λ,使得f(x)=x3 ax2 bx c有三个实根x1、x2、x3,且满足:     

一道竞赛题的多层次研究

问题:直角坐标系xOy中,设A,B,M是椭圆C:x2/4+y2=1上的三点.若→OM=3/5→OA+4/5→OB,证明:线段AB的中点在椭圆x2/x+2y2=1上. 这题是2010年全国高中数学联赛江苏初赛第11题,是一道非常有研究价值的试题,本文将从此题出发展开探索.     

用方差的非负性证明一道赛题

2003年全国高中数学联赛试题第13题为:设(3/2)≤x≤5,证明不等式:《中学生数学》2004年第6期(上)刘长笑老师给出了一个简单证明,本文将利用方差的非负性给出这个不等式的另一简单证法.方差的计算公式为:它又可以化为     

运用相等关系证明不等式

许多恒等式在一定条件下 ,可以轻易转化为不等式 ,因而 ,利用相等关系证明不等式是一种重要方法 .例 1　若a>b >c,求证 :a2a-b+b2b-c>a +2b +c.(第 32届乌克兰IMO试题 )证明 :　不难寻找如下等式 :a2a-b+b2b-c=(a2 -b2 ) +b2a -b +(b2 -c2 ) +c2b-c ,于是 a2a-b+b2b-c=a+b+b2a -b +b+c+c2b-c=a+2b+c+b2a-b+c2b-c;考虑 b2a-b+c2b-c>0 ,故 a2a -b+b2b-c>a+2b+c.例 2　设x1 ,x2 ,… ,xn 为正数 ,求证 :x21 x2+x22x3+… +x2 n -1 xn+x2 nx1≥x1 +x2 +… +xn.(1 984年全国高中数学联赛试题 )证明 :　显然 ,x21 x2 +x22x3 +… +x2 n -1 xn +x2 n…     

一道全国联赛最值问题的两种解法

<正>例题(2016年全国初中数学联赛(初三年级)试题)设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为().(A)1/2(B)2/3(C)3/4(D)1思路1判别式法依据已知条件x+y+z=1,M=xy+2yz+3xz,通过消去x或y或z构造一元二次方程,利用一元二次方程有实数根的条件"判別式大于或等于零"建立不等式求M的最大值.     

命题:“若{x≥a,x≤a则x=a”的应用

<正>命题:"若x≥a x≤a,则x=a",体现了"相等"与"不等"的对立统一及其相互转化的关系.命题虽然十分简单,却在解答数学竞赛试题中发挥重要作用.本文举例介绍其应用.一、在求值中的应用例1(2013年全国初中数学联赛)已知实数a,b,c,d,满足:2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.分析与解答一方面,根据菲波那契恒等式和实数的平方是非负数可以得如下不等式:     

a~2 b~2≥2ab的变形推广及应用

人们熟知的不等式 a2 b2 ≥ 2 ab应用很广泛 ,如果将其变形后再应用 ,你会感到另一种新奇与愉悦 .原式 a2 b2≥ 2 ab中 a,b∈ R,为变形方便 ,将条件强化为 a,b∈R ,则a2b≥ 2 a- b ( 1 )如果将此式推广 ,可有结论a2b≥ 2λa-λ2 b (λ≠ 0 ) ( 2 )应用举例例 1　设 x1,x2 ,… ,xn是正数 ,则x21x2 x22x3 … x2n- 1xn x2nx1≥ x1 x2 … xn( 1 984年全国联赛试题 ) .证明 :由 ( 1 )式 ,x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn- x1,将以上各式相加 ,命题即得证例 2　设 α、β、γ为锐角 ,且 sin2 α sin2 β sin…     

一道高中数学竞赛题的推广

2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛第四大题是:设ai∈R ,i=1,2,…,5.求a1a2 3a3 5a4 7a5 a3 3a4 a25a5 7a1 … a1 3a2 a55a3 7a4的最小值.我们发现,这道试题的结论还可加强为定理设xi>0(i=1,2,…,n)n∈N,n≥3,正项等和数列{λn}(i=1,2,…n-1)满足λ1 λn-1=λ2 λn-2=…=t≥2a≥0,则x1ax1 λ1x2 λ2x3 … λn-1xn x2ax2 λ1x3 λ2x4 … λn-1x1 … xnaxn λ1x1 λ2x2 … λn-1xn-1的最小值为2n2a (n-1)(λ1 λn-1).证明:实际上述问题等价于x1ax1 λ1x2 λ2x3 … λn-1xn x2ax2 λ1x3 λ2x4 … λn-1x1 … xnaxn λ1x1 λ2x2 … λn-1xn-1…     

使用判别式法解题需谨慎

在《中学生数学》2004年8月下刊登了吴 健老师的《求条件代数式取值范围的策略》一 文,笔者发现在该文的例4中出现了错误,为 了便于说明,将原文摘抄如下: (1993年全国数学联赛)已知x是实数, 求3x2+6x+5/(1/2)x2+x+1的取值范围. 解 设3x2+6x+5/(1/2)x2+x+1=t.     

一道2010年全国数学联赛试题的别解

2010年全国数学联赛第9题: 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1时,f'(x)≤1,试求a的最大值.     

2005年第一期初中数学问题参考解答

一、证明 :对于任何整数a,x≠ 0 ,|x|≠ |a|,代数式 (a -a2 x2a x) (2ax 4aa -x)的值必是偶数 .证明 :原式 =ax -x2a x·2a· a xx(a -x) =2a必为偶数 .二、已知x =y z=2 ,求x3 2y3 2z3 6xyz的值 .解 :原式 =x3 2 [y3 z3 3yz(y z) ]=x3 2 (y z) 3 =x3 2x3 =3x3 =2     

一个数学问题的简证及推广

文[1]提出了数学问题1863: 设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值. 文[2]给出了一个需要较高技巧的证明.笔者将利用平均值不等式,给出一种十分简洁的证法. 证明:猜想x=y=1时,1/x3+2/y3取最小值3.     

一道初中数学竞赛题的简解

20 0 0年 4月 2日举行的全国初中数学联赛 (更名为数学活动创新能力评估 )试题二试( C卷 )第三题除了评分标答的解法外 ,还可用下面的方法来解答 .题　求所有的正整数 a、b、c,使得关于 x的方程 :　 x2 - 3ax 2 b =0 ,x2 - 3bx 2 c =0 ,x2 - 3cx 2 a =0的所有的根是正整数 .解　设方程 x2 - 3ax 2 b =0的两正整数根为 x1、x2 ,方程 x2 - 3bx 2 c=0的两正整数根为 x3 、x4 ,方程 x2 - 3cx 2 a =0的两正整数根为 x5、x6,由根与系数的关系 ,得　　 x1 x2 =3a,x1x2 =2 b,　　 x3 x4 =3b,x3 x4 =2 c,　　 x5 x6=3c,x5x6=2 a.由 …     

一个不等式的初等证明

文[1]介绍了这样一个不等式的证明:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 1 1x23≤1207.该文作者给出了一个较为复杂的证明.本人现给出一个简单的初等证明.证明先证明:对任意0相似文献   

对一道初赛题的解法探究

<正>本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明:2(b-a)≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2(b-a)≤cosπa-cosπb,只要证2b+cosπb≤2a+cosπa.即设f(x)=2x+cosπx,下证f(b)≤f(a);     

对一道初赛题的解法探究

本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明：2（b-a）≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2（b-a）≤cosπa-cosπb,只要证2b＋cosπb≤2a＋cosπa.即设f（x）=2x＋cosπx,下证f（b）≤f（a）;