正弦定理的一个推论及其应用

这样,我们可将三角形的任意两边之和与第三边的关系完善为:三角形的任意两边之和大于第三边,而小于或等于第三边与该边所对的半角的正弦之比。     

三正数作为三角形三边长的充要条件及应用

众所周知,在任意三角形中,任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边。在国内外中学数学竞赛中,不少试题要用“三正数作为三角形三边长的充要条件”来解,我们下面将举例说明这一条件在解题中的一些应用。     

灵活应用三角形三边的关系

<正>根据"两点之间的所有连线中,线段最短"可得到三角形三边之间的关系,三角形中任何两边的和大于第三边,再根据不等式的性质,得到三角形中任何两边的差小于第三边.灵活应用三角形三边的关系,能帮我们迅捷地解答一些三角形边的有关问题.     

三角形三边关系定理的应用

关于三角形三边关系,有下述定理三角形任意两边之和大于第三边.其推论为三角形任意两边之差小于第三边.这个定理及其推论在解题中有着较为重要的应用,下面举例说明,希望对大家学好这部分知识能有所帮助.     

例析三角形的存在性问题

三角形的三边长的关系为:任意两边之和大于第三边.在具体解题过程中用起来并不方便,通常加强为:三数a,b,c(0c(0相似文献   

确定一个三角形的充要条件及其应用

任意给定的三条线段,都可以确定一个三角形吗?要想正确回答这个问题,必须联想到平面几何中关于三角形三条边之间的关系的定理:三角形任意两边之和大于第三边及其推论三角形任意两边之差小于第三边。但是不少学生在应用上述定理时,往往忽视了定理中的“任意”二字。从而不能保证条件的充要性。因此在平几的教学和以后的应用中,我认为:首先要从三个并存的不等式:若△ABC的三边为a、b,c,则a+b>c、a+c>b、b+c>a同时成立(或     

高中数学课程中的《球面几何》(续)

这是一个很有趣的问题.由于球面三角形的每条边长都是大圆的劣弧,都小于大圆周长的一半,因此,球面三角形的周长小于3/2个大圆周长,不能任意长.实际上,球面三角形的周长可以更小,其周长小于大圆周长.这个结论很重要,我们给出它的证明.证明如图10,设球面△ABC的三条边分别为a,b,c,球心为O,连结OA,OB,OC,那么O-ABC是一个三面角.在三面角O-ABC中,连结AB,BC,AC.由于球面三角形的边长与三面角的面角之间的对应关系,我们把球面三角形的边长问题转化为三面角的面角问题.因为∠AOB=π-(∠OAB ∠OBA),∠BOC=π-(∠OBC ∠OCB),∠COA=…     

解斜三角形——“边、边、角”类型的教学

初中代数第四册第二章解斜三角形一节,在本章小结中有如下归纳: “解任意三角形的问题有下列四种类型: (1)已知三边; (2)已知两边和它们的夹角; (3)已知两角和一边;     

关于“相似形”中有关教材两点处理意见

(一) 初中几何课本第二册“相似形”这一章的第四节写的是“三角形一边的平行线的判定”、它是在证明了“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例”这一命题的逆命题:“如果一条直线截三角形的两边,其中一边上截得的一条线段和这边与另一边上截得的一条对应线段和另一边成比例那么这条直线平行于第三边”。由于原命题的结论(比例线段)不只一种,从而其逆命题的条件(比例线段)也不只一种,即除上述一种形式外,还有如下形式。如图(1)在△ABC中。若AD/DB=AE/EC,则DE//BC由上述定理,根据比例性质易证后一种形式的逆命题为真。就得到了推论:若一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边。     

利用三角形“两边之和大于第三边”求解范围问题

<正>三角形是高中数学中最基本的几何图形之一,我们最为熟知的性质就是任意两边之和大于第三边(两边之差小于第三边).在解关于三角形的问题中,时常要利用这些不等关系去求解取值范围问题,如果这个最基本的条件再搭配题目给的其他条件或者搭配特殊形状三角形的条件,将会有丰富的变形和拓展,也会有很多精妙的解题方法.本文是对这类问题解法的初探.     

盘点近几年中考中与线段相关的一类最值问题

近年来,与线段相关的一类最值问题在各地市中考试卷中大量涌现,并成为近几年中考的热点题型之一.这类问题对知识和技能要求较高,能够考查学生分析问题和解决问题的能力与创新意识.解决此类问题主要借助以下3个知识点:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之     

关注“锐角三角形”

<正>锐角三角形有如下两条不起眼的性质,解题时一不小心就会出错.为了引起同学们的关注,特将它的两条性质整理出来,并配上应用,供同学们学习时参考.性质1在锐角三角形中,每一个内角都是锐角且任意两内角之和大于直角;性质2在锐角三角形中,每一条边都夹在它的邻边和它们的夹角的余弦的积和商之间且任意两边的平方之和大于第三边的平方.     

关于三角形的三边关系

<正>三角形是由三条首尾相接的线段组成,但不是任意三条线段都能围成三角形.在具体的解题过程中,经常发生漏解、多解、错解等情况.本文着眼于三角形三边关系的简化,让思路明朗化,做到轻松解题.三角形的三边关系:两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.用a,b,c表示三角形的三边,由"两点之间,线段最短"得:     

三角形三边关系的应用

三角形的三边关系定理“三角形两边的和大于第三边”及推论“三角形两边的差小于第三边”在解题中有着广泛的应用.一、判断三条线段能否组成三角形例1 以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ).     

三角形的半内切圆的若干计算公式

与三角形的外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为三角形的半内切圆 .显然 ,一个三角形的半内切圆有三个 .文 [1 ]曾给出了三角形的半内切圆的三个性质 (即文 [1 ]性质 1～ 3,其余性质实际上是圆外切四边形的性质 ) ,包括著名的Mannheim定理 [2 ] :三角形的内心是它的任意半内切圆与三角形两边切点连线段的中点 .本文以 Mannheim定理为基础 ,给出三角形的与半内切圆有关的若干线段的计算公式 ,并顺便给出三角形的半内切圆的几个性质 .按惯例 ,下面的讨论中以 a,b,c,p分别表示△ ABC的三边长与半周长 ,A,B,C既表示其三个顶点 ,也表示相…     

巧用角平分线性质解题例说

<正>角平分线有四个性质:(1)两角相等;(2)角平分线上一点到角的两边距离相等;(3)三角形内角平分线分对边的比等于角的对应边之比;(4)角的两边关于其角平分线对称.我们遇到与角平分线有关的解析几何问题,若能灵活运用以上四个性质,可使求解过程化繁为简,曲径通幽,现举数例说明,供参考.     

正弦定理教学设计案例一则

1提出问题我们知道三角形两边之和大于第三边,特别地,直角三角形的三边满足勾股定理,并且存在边角关系———三角函数,那么在任意三角形中是否存在一定的边角关系呢?又是什么形式呢?下面我们就来探讨一般三角形中的边角关系.2解决问题2·1研究特例我们先来看一个直角三角形的例     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

三角形的一个判定定理及应用

<正>众所皆知,平面几何中的三角形的三边关系为"三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边",其等价于:命题若a、b、c是三角形的三边长,则(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0.此命题的逆命题也是一个真命题,它便可作为判定三角形的一个"判定定理",即定理若三个正数a、b、c满足(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0,则以a、b、c为边长可构成一个三角形.证明由(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)     

利用三角形边的关系解最值三例

<正>实行新课程标准以来,各地中考以线段长的最大(或小)值为载体的新编试题频频出现,学生对这类问题很不适应,往往难以入手,理不清解题思路,面对选择题、填空题时,仅凭直觉去猜答案.而实际上,我们可以构造三角形,利用三角形的两边之和大于第三边,或三角形两边之差小于第三边,使问题直观明了.