实系数多变数二次多項式的因式分解問題

一、引言多項式的因式分解,往往是根据不同情况采取不同的分解方法。在中学里所使用的一些方法,基本上是提取公因式法、利用乘法公式法和分組分解法等,很少有一般的分解方法。对中学生要求到这样程度也就可以了。但对中学教师来說,口掌握特殊方法还是不够的,应尽可能掌握一些一般的分解方法。一个变数的有理数系数任意次多項式的因式分解,在个別的高等代数里已經提到它在有理数体上的一般分解方法。这个方法是此較麻煩的,但它有一个好处,能分解或不能分解通过它我們都能知道,而且能分解时能把它分解出来。我这里所写的实系数多变数二次多項式的因式分解問題是来研究实系数多变数的二次多項式在实数体上的一般分解方法。作起来虽然也比較麻煩,但能分解或不能分解它都能給以肯定的解答。这篇文章是我个人的点滴体会,可能有缺点和錯誤,請讀者給以指正。     

多項式的因式分解問題

掌握分解因式的技能,对学生說来是相当困难的。教本和教学法文献始終沒有正确闡明因式分解的教法。在六年級学习因式分解时,多数教学文献总是把它安排在乘法公式之后,因此,在很多方面是过时的。現在,把因式分解中某些問題的教法明确化的可能性已經成熟了。本文考虑这样三个問題: 1) 学习利用公式进行因式分解的順序。 2) 因式分解对后面教材的应用。 3) 利用     

二元二次式的因式分解

在高中一年級講解二元二次联立方程組时,会碰到將二元二次式分解成質因式的問題。將一个实系数的二元二次式分解成兩个实系数的二元一次式之积的方法依賴於下面这个定理: 定理 設有实系数的二元二次式(1) F(x,y)=ax~2+bxy+cy~2+ +dx+ey+f,並假定a≠0。如果F(x,y)可以分解成兩个实系数的二元一次式之积,則一元二次方程(2) au~2+bu+c=0及(3) av~2+dv+f=0有实数解;而且如以m,n表(2)的解而以p,q表(3)的解,則(4) pn+qm=e/a或pm+qn=e/a。 証 設F(x,y)可分解成兩个实系数的二元一次式之积,     

二項式定理的教学

一、通项公式关于二項展开式的通項公式的导出与应用,对于初学的人来说是沒有太大困难的,但经验証明,不論数学基础較好或較差的人,都容易引起下面的錯觉,由(x a)~n=(a x)~n因而认为(x a)~n与(a x)~n的展开式之通項公式是恆等的。要杜絕这种錯觉教师可以事先准备: 1.展开(x a)~n,写出最前三項,以及第k項、第k 1项、第k 2項与最后三項。 2.同样地展开(a x)~n,并与前题的对应項(卽     

多元二次式因式分解的一个简便方法

本刊84年第七期《二元二次式因式分解的一个简便方法》一文(下面称为“上文”)中,讨论了“取零凑尾法”在二元二次式因式分解中的应用。本文接着讨论“取零凑尾法”在多元(多于二元)二次式因式分解中的应用。为叙述方便,将上述有关结论写在这里,作为     

二元二次式因式分解的一个简便方法

形如Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F的二元二次式的因式分解,一般可用求根公式法,待定系数法等方法进行分解,但计算都比较复杂。下面我们介绍一种简便的分解方法——取零凑尾法。这个方法的理论根据是定理二元二次多项式f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解为一次式之积(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)的充要条件是对 B=a_1b_2+a_2b_1, (1)使得 f(x,o)=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2) (2) f(o,y)=(b_1y+c_1)(b_2y+c2) (3)证明:条件的充分性。设上三式同时成立,     

关于Bieberbach多項式

<正> 設D为包含原点的有界Jordan单連通区域,記B_n(z)为所有n次多項式{P_n(z)}中在条件P_n(0)=0,P′_n(0)=1下使得积分达到极小值的多項式,容易知道这多項式是唯一确定的,这就是熟知的Bieberbach多項式.     

关于二項系数的一个公式

本文要建立一个有关二項系数的公式在証明(1)的过程中,我們将用到另一个熟知的公式,即 ((?))+((?))+((?))+…=2~(n-1)。(2)(参見徐利治編著“数学分析的方法及例題选讲”,第55頁,1955) 首先注意到,项(?)(-1)~(k-v)(?)当取j=1,2,…,k时,它总是負正相問的。因此有     

對初二代數教多項式因式分解的一些意見

(一) 因式分解的教學目的中學代數教學目的之一是使學生會自覺地、合理地、正確地作出代數式的恒等變形,多項式因式分解便是一種主要的恒等變形,為了以後學習分式運算以及解方程作好準備,我們要求學生能正確熟練地掌握因式分解的各種方法是必要的。因式分解不像乘除法有一定的步驟可循,它没有固定的方法,解題時常常不是死板地硬套公式,而是特別需要耐心思考和仔細分析的,還由於有些因式分解的題目可能有幾種不同解法,因此通過作分解因式的練習,可以鍛鍊學生靈活解决各種問題的能力,也可以培養學生從複雜方法中選擇簡單方法的解題能力,更進一步可以培養學生克服困難的堅强意志。     

關於牛頓二項式的問题

按照中等代数教程的某些章節來看,習題課本中現有的練習還是需要改善的,因為這些習題大抵都是码於同一類型。特別是有關二項式定理方面,所設習題多半是按照一般項的公式去求展開式中含某文字某次乘方的某項,就練習的性质上来说,那是極其不自然的;並且特別是引起了某些部分的重複。共實關於牛頓二項式可以编入一些有趣的习题,使二項式定理應用到數學上各種不同的部分裏去。     

运用因式分解化简二次根式

<正>二次根式的计算是初中数学的重点和难点.下面浅谈因式分解在二次根式计算中的应用.一、巧用提取公因式例1计算(2^(1/2)+3(1/2)+3^(1/2)+5(1/2)+5^(1/2))((12)(1/2))((12)^(1/2)+(18)(1/2)+(18)^(1/2)-(30)(1/2)-(30)^(1/2)).分析本题既可以循规蹈矩的按照多项式的乘法法则计算,也可以观察后式,提取公因式6(1/2)).分析本题既可以循规蹈矩的按照多项式的乘法法则计算,也可以观察后式,提取公因式6^(1/2),进而与前式构成平方差公式再计算.     

谈谈双二次多项式的因式分解

形如 f(z)=x~4+px~2+q 的多项式称为双二次多项式。我们知道,在复数域上 f(x)总可按固定的方法分解为四个一次因式之积,此不赘述。本文打算分别谈谈 f(x)在实数和有理数域上的因式分解问题。在实数域上,当 p~2-4q≥0时,我们可以用     

对称多項式

“对称”,原来是几何中的概念。意思是說两个几何图形相对而相称。从一定的角度看去,这两个图形所处的地位是相同的。建筑图案以及某些艺术品往往由于具有一定的对称性而更觉美观。在解决几何問題时,对称性也往往起重要作用。代数中也有对称。一元n次方程的每一个根所处的地位也都彼此相同,把这个根或那个根叫做x_1是无关重要的。我們从这里得到了启发,要研究一元n次方程,就不能不考虑到它的根的对称性。这样,就很自然地产生了对称多項式的理論。以下我們将要初步地接触到这些理論,和它的簡单应用。一、对称多項式两个变量x_1,x_2的多項式F(x_1,x_2),如果把x_1換做x_2,把x_2換作x_1以后,得出多項式和原来的完全一样,也就是說,如果F(x_1,x_2)=F(x_2,x_1),就把F(x_1,x_2)     

关于整系数多項式的因子分解

数学教学1955年第一期刊登了雅可夫金著李伯藩译“寻找不可約因式的一个方法”一文,下簡称文[1]。該文扼要的介紹了雅可夫金創立的分解整系数多項式的一个新方法。这个方法就理論上說是不同于我們所熟知的克洛湼克方法;就实用上說,在被分解多項式的次数及系数均不太大时是具体可行的。因而雅可夫金的方法是一个有价值的新方法。雅可夫金的方法基于下面的一个引理和一个定理: 引理一 設 f(x)=sum from k=0 to n akx~(n-k),φ(x)=sum from‘k=0 to P bkx~(P-k),ψ(x)=sum from k=0 to q ckx~(q-k) (1)是有非負整系数的多項式;如果f(x)=φ(x)ψ(x),那末参項式f(x)系数中最大的絕对值不小于多項式φ(x)和ψ(x)所有系数的絕对值。     

二次多项式因式分解理论及一般方法

说明: 1)本文限定在实数域R上讨论,而这种方法确可以用来解决一般数域P上的二次多项式的因式分解问题。2)只是为了读者更容易理解和掌握这种理论及分解方法,才只讨论三个元的情形,而这     

二元二次多项式的一种因式分解方法

本文给出二元二次多项式 f(x,y)=ax~2 bxy cy~2 dx ey c(*)。因式分解的一种通用方法。 定理:多项式(*)能分解成两个一次式之积(a_1x b_1y c_1)(a_2x b_2y c_2)的充要条件是 ax~2 dx f=(a_1x c_1)(a_2x c_2),(1)     

也谈二元二次非齐次多项式的因式分解

数学通报一九八一年第五期“关于多项式的因式分解问题”一文中的Ⅱ二元二次非齐次多项式的因式分解((P_(12)),这节中有如下定理: 定理:多项式Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解成两个一次因式的条件是:     

关于分圓多項式既約因子的性质

苏联著名的代数学家捷波大列夫在1938年于他的一篇論文“代数各部分和数論中的几个問題”中提出一个猜測,即设X_m为x~m-1之因式(在有理数体),它的根为m次本原单位根,则对任一自然数m,X_m的系数只能是0或±1。本文得到一个更强的結果,从而証明了捷波大列夫的上述猜測是正确的。我們先引进两个概念。定义1.如果一个m次单位根ω之周期值恰为m,即ω~m=1,ω~j(?)1(j相似文献   

对称式与交代式的因式分解

多元多项式中,对称式和交代式的因式分解,具有其特点,一般在中学讲述较少,这里简单介绍它们的有关理论,进而用它们去处理一些特殊形式的因式分解问题,可能对中学因式分解的教学会有一点帮助。一、对称式与交代式的概念     

二項展开式中的最大系数

关于二項展开式的特点,課本里是分做八个性質来叙述的,其中第六个性質就牽涉到二項展开式中的最大系数問題(代数第三册,22頁)。通过第五个性質的講解,我們已作出二項展开式系数对称性的結論:和兩端等距項的兩項的系数都相等。又由于展开式的系数与组合数相关联,我們已經看出了系数絕对值起始漸增,后来漸減;因而确信最大系数必定在展开式的正中。在这样初步認識的基础上,接着提出下面二个問題:1)在什么样的情况下层开式中存在着一个最大系数?在什么样的情况下存在着兩个最大系数?2)最大系数究竟是展开式中第几項的系数?怎样迅速而合理地把它計算出来?这样,就順利地过渡到新的課題——最大系数上面来了。