求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

若有边边等,找三角形来旋转

<正>解几何题时,有时会碰到一类与特殊三角形、特殊四边形有关的"边边相等"问题.此类问题由于图形复杂,条件分散,令人眼花缭乱,以至于找不到解题头绪,所以常常会使人望而生畏.实际解题时,若能在复杂的图形中找出一个合适的三角形进行恰当的旋转,则能打开解题突破口,达到化难为易,事半功倍的效果.现举几例,解析如下,供同学们参考.一、与等腰三角形有关的"边边相等"问题例1(2014年武汉市)如图1,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为     

多角度构造三角形全等

<正>全等三角形是解决几何问题的工具.在许多问题中需要构造三角形全等.怎样去构造呢?通过下面的问题希望同学们能有所体会.已知:如图1,在四边形ABCD中,已知∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°.求证:CD=AB.分析图中的已知条件后,     

转化——学好四边形的关键

在几何“四边形”这一章中 ,主要内容是有关四边形、多边形的概念和性质 .要学好这些内容 ,关键是抓好两个转化 .一、将四边形 (多边形 )转化为三角形来研究利用对角线往往可以把多边形问题转化为三角形问题来解决 ,如四边形内角和定理的证明就是从四边形的一个顶点引一条对角线 ,将它转化为两个三角形的内角和问题来进行证明的 .图 1例 1　如图 1 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ＡＤ =8,∠Ａ =6 0°,∠Ｄ =1 5 0° ,四边形周长为 3 2 ,求ＢＣ和ＣＤ的长 .分析　要设法使ＢＣ、ＣＤ在同一个三角形中 ,再利用此三角形的特性计算 .解　连结ＢＤ …     

一个正方形问题的多角度思考

<正>北师大版《义务教育教科书》九年级上册第一章《特殊平行四边形》习题1.7知识技能(P22)有这样一个问题:如图1,四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形,求∠AEB的度数.分析根据边角边证明△DAE≌△CBE,求得∠AED=∠BEC=75°,又由∠DEC=60°,即可求得∠AEB=150°.请思考下面问题.如上图,E是正方形ABCD内一点,∠EAB=∠EBA=15°.求证:△CDE是等边三角形.下面从不同角度,思考问题,并进行解决.     

无意中引发的一次研究性学习

在一堂立体几何复习课中,我选了如下一道题: 如图1,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.求证:A、B、C、D四点共面.     

应用补形法解几何题

在有些几何问题中,常通过在原图形上添加辅助线,把其补成一个新的特殊的几何图形,如等边三角形、正方形、矩形、圆等.利用这些特殊的新图形的性质来求出原图形的有关结果的方法称为补形法,往往会使解法简捷明快,下面举例说明. 例一如图1,已知在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=135°,AD=2 3,BC     

授之以“鱼”不如授之以“渔”——谈在数学课堂上培养学生应用化归思想的能力

数学思想方法是将数学知识转化为数学能力的桥梁,加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键,而化归思想作为一种非常重要的数学思想方法,在分析、处理和解决初中数学教材中有着广泛的应用.如在研究多边形的问题时,先是研究三角形的性质,然后研究四边形、五边形、六边形等多边形性质时,都是通过添加辅助线将多边形问题转化为三角形问题来解决的,这是由特殊到一般,是一     

纸条打个结结成了一个正五边形

问题将一张等宽的纸条按如图1的方式打一个结,就可以得到一个正五边形(如图1所示).这奇怪吗?为什么呢?让我们用平面几何知识来证明这个问题.首先给一个引理:一个三角形中,如果两边上的高相等,那么这两条边也相等.此引理可由两个三角形全等得证.问题的证明在△EAB中,边EA、AB上的高BH、EG均为纸条的宽度(图2),即BH=EG,∴EA=AB.同理,在△ABC、△BCD中,有AB=BC,BC=CD,∴EA=AB=BC=CD.∵纸条的两条边是平行的,故四边形EABC、ABCD均为等腰梯形,∴∠EAB=∠ABC=∠BCD,∴△EAB≌△ABC≌△BCD,∴BE=AC=BD.①图3在△ABD…     

由教材例、习题命制中考题:源于共同的题“根”

人教版教材九年级上册第88页第11题为: 如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,求证:四边形OABC是菱形. 此题以圆为背景,考查圆周角和圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定等知识.以此题为素材,对问题进行变式,可以发现其是一些中考题的"题源". 证明:因为C是(AB)的中点,∠AOB=120°,所以∠AOC=∠BOC=60°. 因为OA =OC,OB=OC,所以△AOC、△BOC均为等边三角形. 所以OA =OB=AC=BC.所以四边形OABC是菱形. 此题的逆命题也成立,我们把原题和逆命题分别作为: 命题1:如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,则四边形OABC是菱形.     

例讲初中数学一次函数与几何综合问题

一次函数不仅是初中数学的重要知识,而且是中考的热门考点.本文中结合具体实例进行重点知识梳理,深入理解一次函数的相关知识,并灵活解决一次函数中的重要题型,如面积问题、将军饮马问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题以及与几何的动态综合问题等,通过解法探究给予复习备考指引.     

从一道高考题引出的关于解三角形的思考

在历年高考中,解三角形问题都是必不可少的考查内容,其中有些题目是以平面四边形为载体(例如2018年全国I卷理科第17题和2014年全国新课标Ⅱ卷文科第17题),主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换等内容,涉及到数形结合、转化与化归、函数与方程等思想,出发点是考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养和能力,强调了对数学本质的理解.本文以一道平面四边形为载体的高考真题为例,从多个角度进行分析解答,并给出解三角形问题的复习备考建议.     

加倍术在初中几何上的运用

<正>1准特殊角加倍运用举例在有关三角形问题中,往往会出现一些"准特殊角",如15°,22.5°,36°等.在解决这类问题时,要注意应用数学基本思想——转化思想,设法把非特殊角问题转化为特殊角问题,变未知为已知,化繁就简.(1)借助三角形的外角性质加倍     

2012年中考专题复习(6)——“四边形”

四边形在中学数学中占有很重要的地位.纵观近几年全国各地的中考数学试题,题目设计新颖,变化多样,但无论怎样变,主要是考查四边形的概念、性质、判定及应用,主要是特殊的四边形如"平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形",它们都能自成一体系,同时又相互联系.对于此类问题,解决的方法常常是转化为用三角形的有关知识进行,常以填空题、选择题和解答题的形式     

用割补法解面积问题

<正>数学是一扇要用智慧开启的门,重要的在于不断探索,从中找出规律和方法,下面就是运用割补法解面积问题的几个例子.一、如图1,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积为24cm2则AC长为多少?解把△ADC绕点A顺时针旋转90°,得△ABC′,如图2所示:∵AB=AD,∴△ADC≌△ABC′.∵∠ABC′+∠ABC=∠ADC+     

数学深深地吸引着我

我邻居的小孩问我一个平几问题 :圆O的内接四边形ABCD中 ,对角线AC⊥BD ,AC∩BD =E ,过E作AD的垂线 ,垂足为F ,且与BC交于M点 ,则M必是BC之中点 .(如图 1)我看了题后 ,好像在初中时做过此题 ,经回忆 ,我告诉了他如下的证明方法 .证明　在Rt△ADE中 ,∠ 1=∠ 3 ,又∠ 1=∠ 2 ,∴　∠ 2 =∠ 3 =∠ 4,　∴　EM =MC .同理EM =MB ,　∴　BM =CM .即M是BC的中点 .图 2这题本来不算难题 ,事情也过去了 .不久我们开始圆锥线的总复习 ,老师提到了椭圆可由圆经过伸缩变换而得 ,所以圆的很多性质都可以移植到椭圆中来 ,这使我联想到…     

一题多解 拓宽思维

<正>(2017年陕西中考第14题)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为.这是一道由课本的图形变化而得的几何题,源于课本但高于课本.可以采用旋转、割补等多种方法,从不同角度求解,拓宽学生的数学思维.     

用几何变换解题三例

<正>在解决有关几何问题时,除了那些常规辅助线的添法,还有一些比较特殊的添辅助线方法和处理问题的手段.下面通过几个具体例子介绍用几何变换解题的方法,希望同学们能从中获得收益.一、对图形进行旋转例1(2014年武汉)如图1,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ADC     

一个数学问题的简证

<正>问题^([1])如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对边AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,M为PQ的中点,MC与⊙O交于另一点G.求证:A、G、P、Q四点共圆.证明如图1所示,连AG,延长CM至点N,使CM=MN.则四边形PNQC为平行四边形.于是∠PAQ+∠PNQ=∠PAQ+∠PCQ=∠BAD+∠BCD=180°,     

例谈中考数学压轴题的命题趋势——函数图象上的动点构成特殊图形问题

从201 1年浙江省各地区的中考数学压轴题中不难发现压轴题都不约而同地趋向于对动态问题的研究,特别是以平面直角坐标系为背景的函数图象上的动点和其它定点构成特殊图形,求点的坐标或者是求某一变量的值(除了杭州市),更是备受命题者的青睐.函数图象上的动点和其它定点构成的特殊图形常见的有"等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形、直角梯形、相似三角形"等等.这类问题以平面坐标系为背景,以动点为载体,集几何、代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性.题目灵活、多变,动中有静,动静结合,其中包含着对不同阶段所学知识点的综合考查:如特殊三角形、特殊四边形以及全等、相似、方程、函数等知识.此类试题包含的数学思想和方法丰富,有数形结合思想,方程思想,函数思想,分类讨论思想,数学建模等思想方法.因此,此类问题已成为全国很多省、市在中考中考查学生的综合分析问题的能力,拉开学生考试成绩,成为中考压轴题命题的新趋势.