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讨论函数的周期性不可忽视定义域 总被引:1,自引:0,他引:1
讨论函数的周期性同讨论函数的其它性质一样,不能忽视函数的定义域,否则可能导致错误的结论。例1 函数y=sinx(x∈ R且x≠0)是周期函数吗? 很多同学在回答这个问题时容易给出是周期函数的错误答案,导致错误的原因在于忽视了函数的定义域。这是因为,假设函数是周期函数并设其周期为T(T≠0)。那么根据周期函数的定义知,对一切x∈R且x≠0,都有sin(x+T)=sinx成立,但实际上此式当x=-T时不成立(此时sin(x+T)无定义),故y=sinx(x∈R且x≠0)不是周期函数。 相似文献
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用反证法证明非周期函数,尽管都是利用等式f(x+T)=f(x).但具体做起来,不少中学生感到十分困难、不知从何入手,为此,本文介绍三种常用的证明方法。方法一直接应用周期函数的定义:对于函数y=f(x)、如果存在一个常数T≠0,使得当x取定义域内的每一个值时.都有f(x+T)=f(x)成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数,我 相似文献
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在我国现行的高中新(老)教材中,对周期函数都是这样定义的:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做函数的周期.这一定义简洁明快,学生容易接受,作为课 相似文献
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A 题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)… 相似文献
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周期函数的两种定义的差异 总被引:1,自引:0,他引:1
本文拟探讨一元实变周期函数的两种常见定义的区别及由它们所产生的一些问题。 定义1 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时, f(x T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数, 相似文献
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在这篇短文里 ,我们将给出 sin1x为非周期函数的多种证法 ,这些证法是基于周期函数的下述定义 .定义 设 f (x)是定义在 D上的函数 ,若存在某个正数 T,使得 x∈ D,有 x± T∈D,且 f (x± T) =f (x) ,则称 f (x)是定义在D上的周期函数 ,并称 T为 f (x)的一个周期 .证法 1 因为 sin 1x 的定义域 D =(-∞ ,0 )∪ (0 , ∞ ) ,所以 0 D.若 sin 1x 以某个 T >0为一个周期 ,则T∈ D,且应有 T - T =0∈ D,矛盾 .这个矛盾表明 sin 1x 不是周期函数 .证法 2 假设 T >0是 sin 1x 的一个周期 ,则对 x∈ D,有 sin1x=sin 1x T,特别地 ,有… 相似文献
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文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1 反例 2图反例 1 函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2 文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0 相似文献
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在近几年的高考试卷中出现过不少有关抽象函数的题目,要求研究抽象函数的定义域和值域、反函数、奇偶性、单调性、周期性等,下面逐一加以例析.一、定义域这类问题一般是给出y=f(x)和g(x)的定义域,求解复合函数y=f(g(x))的定义域.解决的关键是将g(x)看成一个整体,来替代y=f(x)中的x,从而转化为求解不等式.例1函数y=f(x)的定义域为[-12,21],求函数y=f(cosx)的定义域.分析与简解:因为函数y=f[g(x)]中的g(x)相当于f(x)中的自变量x.所以?21≤cosx≤12,解三角不等式得kπ 3π≤x≤kπ 2π3(k∈Z).解题的关键是始终要明白定义域是自变量的取值范围… 相似文献
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一、反函数的存在性在定义域上单调的函数一定有反函数,但在定义域上非单调函数未必没有反函数,或者说有反函数的原函数不一定是单调函数.如函数y=1/x(x≠0)有反函数,但其在定义域上不是单调函数.二、互为反函数的函数的图像交点情况 相似文献
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如果y是u的函数,记为y=f(u),u又是x的函数,记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空,则确定了一个y关于x的函数y=f[g(x)],这就是函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,而y=f(u)称为外函数,u=g(x)称为内函数.本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法. 1.求复台函数的定义域 关键是正确分析函数的复合层次,由里向外或由外向里逐层解决. 例1 已知f(x)的定义域为[0,1)若F(x)=f[log1/2(3-x)],则函数的定义域是 相似文献
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一、选择题1.集合M={(x,y)|y=f(x),x∈A}∩{(x,y)|x= 1}(A R)的元素个数为( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)0或12.下列函数中与y=x表示同一函数的是( ). (A)y=x2/x (B)y=(√x)2 (C)y=√x2 (D)y=x53.函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数F(x)= f(x) f(-x)的定义域是( ). (A)[-1,2] (B)[-2,1] (C)[-1,1] (D)[-2,2] 相似文献
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定义域是函数的一个基本要素 ,研究函数的有关问题时 ,如果忽略定义域 ,往往会导致解题失误 .因此 ,必须优先考虑函数的定义域 .下面结合数例加以说明 .1 求函数的值域 (最值 )例 1 已知 3x2 +2 y2 =9x ,求u =x2 +y2 的最大值 .错解 :∵ 3x2 +2 y2 =9x ,∴ y2 =12 (9x - 3x2 ) ,∴u =x2 +y2 =x2 +12 (9x - 3x2 )=- 12 x - 922 +818,所以当x =92 时 ,u有最大值为818.剖析 由制约条件 3x2 +2 y2 =9x知y2 =12 (9x - 3x2 )≥ 0 ,解得 0≤x≤ 3,即u =- 12 x - 922 +818的定义域为 [0 ,3],而x =92 [0 ,3],所以u不可能取得818,故上述解法有误 … 相似文献
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现将反函数教学中学生感到困惑的一些问题,作一些回答。不对之处望指正。一、问:函数x=∫~(-1)(y)和函数y=∫~(-1)(x)是同一个函数,还是两个不同的函数? 答:是同一个函数。因为函数三要素是定义域、值域及定义域对值域上的映射。而对使用什么字母作自变量,什么字母表示函数并没有限制。当没有指明函数的定义域时.一般是指使表达式有意义的自变量构成的集合。在函数x=∫~(-1)(y)和函数y=∫~(-1)(x)中,定义域都是使其有意义的实数的集合,从而相等,且映射相同,值域也就相同了。但是,如果将x=∫~(-1)(y)和y=∫~(-1)(x)作为方程看,这两者就不是同一个方程了,若x=u y=v是x=∫~(-1)(y)的解,则x=v y=u才是y=∫~(-1)(x)的解。 相似文献