2007高考(重庆卷)压轴题的一般情形

2007年高考(重庆卷)的压轴题22是:图1如图1,中心在原点O的椭圆的右焦点F(3,0),右准线l的方程为x=12·(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明1|FP1| |F1P2| |F1P3|为定值,并求此定值·(答案:(1)3x62 2y72=1;(2)定值为32)由此题,笔者得到了以下一般性的结论:定理1设P1,P2,…,Pn(n≥3)是椭圆Γ上的不同点,F是Γ的一个焦点,且∠P1FP2=∠P2FP3=…=∠Pn-1FPn=∠PnFP1,则∑ni=11|FPi|=nba2(其中a,b分别是Γ的长半轴,短半轴长)·定理2若双曲线Γ的一个焦点是F,且Γ的同一支上存在(n≥3…     

巧用抛物线的一个性质解决一类高考题

定理从抛物线外一点P引抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若F是抛物线的焦点,则有∠PFA=∠PFB.图1证法1如图1,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA:x1x-py-py1=0,∴x1x0-py0-py1=0.切线PB:x2x-py-py2=0,∴x2x0-py0-py2=0.∵FA=(x1,y1-p2),FB=(x2,y2-p2),FP=(x0,y0-p2),∴cos∠PFA=FA·FP|FA||·FP|=x1x0 (y1-p2)(y0-p2)|FP|(y1 p2)=p(y1 y0) (y1-p2)(y0-p2)|FP|(y1 p2)=y1y0 p2(y1 y0) 2p4|FP|(y1 p2)=(y1 p2)(y0 p2)|FP|(y1 p2)=y0 p2|FP|,同理cos∠PFB=y0 p2|FP|,∴∠PFA=∠P…     

例析圆维曲线中的定点问题

问题已知抛物线E:y2=2px(p>0)上有横坐标为3的一点,它到焦点F的距离为4. 　　(1)求抛物线E的方程; 　　(2)P、Q是抛物线E上异于原点的两动点,且满足OP⊥OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点.……     

利用最简几何不等式求最值

几个基本几何不等式如下 :(1)两点间距离最短 ;(2 )三角形两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边 ;(3)点到直线的距离最短 .把这几个基本几何不等式运用到数学中的一些最值问题中 ,将使整个解题过程令人耳目一新 .例 1　如图 1,若 A(3,2 ) ,F为抛物线y2 =2 x的焦点 ,P为抛物线上任意一点 ,求 :| PF| | PA|的最小值 ,以及取得最小值时 P的坐标 .解　由条件可知 ,抛物线的准线 l的方程为 x=- 1.设动点 P(x,y)在准线上的垂足为M(- 1,y) .∵　　 | PF| =| PM| ,∴　要求 | PF| | PA|的最小值 ,即是求 | PM| | PA|的最小值 .如…     

两点间距离公式使用正误

题目沿抛物线y~2=2x的对称轴将坐标平面折成60°的二面角,抛物线上一点P(2,2)在另半平面上的射影为M,OM交抛物线予P_0,求|PP_0|。错解求得M的坐标为(2,-1)。直线OM的方程为x 2y=0,与y~2=2x联立得P_6的坐标(8,-4)。由两点间距离公式得|PP_0|=(8-2)~2 (-4-2)~2~(1/2)=6(2~(1/2))。错因距离公式     

新题征展(33)

A　题组新编1 .( 1 )已知平面上的点 P( - 2 ,- 2 )、Q( 0 ,- 1 ) ,若点 R( 2 ,m)使 | PR| | QR|最小 ,则 m =,| PR| | QR|的最小值是.( 2 )已知直线 l:x y =8,点 F1( - 4,0 )、F2 ( 4 ,0 ) ,在直线上取一点 M,过 M作以F1、F2 为焦点的椭圆 ,求长轴最短时该椭圆的方程 .( 3)抛物线 y2 =4 x上一个动点 P,抛物线的焦点为 F,又知定点 A( 3,1 ) ,则 | AP| | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是.( 4 )已知点 A( 3,2 ) ,F是双曲线 x2 - y23= 1的右焦点 ,P为双曲线上任意一点 ,则| PA| 12 | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是 …     

07高考浙江(理)20题的探究

题20 如图1,直线y=kx+b与椭圆x2/4+y2=1交于A、B两点,记△AOB的面积为S. 　　(Ⅰ)求在k=0,0＜b＜1的条件下,S的最大值; 　　(Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.(以下简称“考题“)……     

抛物线的性质

定理1　抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F(p2,0).如果P(x0,y0)是抛物线上一点,那么以FP为直径的圆与y轴相切.切点是Q(0,y02).并且直线PQ是抛物线的切线.(如图1).证明　易求以FP为直径的圆的方程为x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0由方程组x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0x=0消去x得关于y的一元二次方程y2-y0y 12px0=0(1)考虑到P(x0,y0)点在抛物线y2=2px上,显然方程(1)的判别式Δ=y20-2px0=0,所以,以FP为直径的圆与y轴相切.易求切点是Q(0,y02).由两点式方程,考虑P(x0,y0)点在抛物线上,可求得直线PQ的方程为y0y=p(x x0),此即一般教科书上抛物线的切线…     

将方程组x=x_0 at y=y_0 bt(t为参数)化为标准式

对求直线ｌ:ｘ =1 2ｔｙ =2 - 3ｔ(ｔ为参数 )与抛物线ｙ2 =3ｘ相交所得弦长 |Ｐ1 Ｐ2 |的问题 ,发现有的同学采用了如下解法 :将直线ｌ的参数方程代入 ｙ2 =3ｘ ,整理 ,得9ｔ2 - 18ｔ 1=0 .其两根ｔ1 ,ｔ2 ,则|Ｐ1 Ｐ2 | =|ｔ1 -ｔ2 |=(ｔ1 ｔ2 ) 2 - 4ｔ1 ｔ2=2 2 - 4× 19=4 23.不难检验解答是错误的 ,正确的答案为|Ｐ1 Ｐ2 | =4 2 63.为什么会出现这种错误 ?这需要正本清源 ,从头说起 .大家知道 ,经过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,倾角为α的直线的参数方程为ｘ =ｘ0 ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ( 1)( 1)式叫做直线的点斜…     

一道高考题的背景溯源

2005年上海春季高考有这样一道题:已知函数f(x)=x+xa的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+22,设P是函数图像上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N,(1)求a的值(2)问题|PM|·|PN|是否为定值,若是,则求出定值,若不是,则说明理由.(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN的面积的最小值图一溯源我们知道:“双曲线上的任意一点到两渐近线的距离之积为定值”.与以上的命题是否有牵连?经探讨,答案是肯定的.即有以下的命题命题函数f(x)=x+xaa∈(0,+∞)的图像是双曲线图二证明设P(x,y)是函数f(x)=x+xa图像上的任意一点,将向量OP向顺时针…     

抛物线中的若干最值问题

<正>过抛物线的对称轴上一定点引直线交抛物线于两点,则以这两点为端点的弦被对称轴上的定点截成两部分,本文给出这两部分组合的五个最值问题,并用统一的方法给以解答.问题1给定抛物线E:y2=2px(p>0),M(m,0)(m>0)是x轴(即E的对称轴,下同)上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B,求|AB|的最小值.     

圆锥曲线动弦的一个性质

定理 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上一定点 ,ＰＡ ,ＰＢ为抛物线的任意两条弦 ,α1,α2 ,分别是ＰＡ ,ＰＢ的倾斜角 ,则(ⅰ )当ｔａｎα1·ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点 ;(ⅱ )当ｔａｎα1+ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 ;(ⅲ )当α1+α2 =定值θ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 .证明　设ＰＡ方程为ｘ=ｍ1ｙ+ｎ1,则ｎ1=ｘ0 -ｍ1ｙ0 ,将ＰＡ方程代入ｙ2 =2ｐｘ得ｙ2 -2ｐｍ1ｙ-2ｐｎ1=0设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ1=2ｐｍ21-2ｍ1ｙ0 +ｘ0ｙ1=2ｐｍ1-ｙ0 　　　　　①同理　　设ＰＢ方程为…     

一个数学问题的探究

文[1]最后提出了一个待解决的数学问题:过∠MON(∠MON=θ,θ为定值,且θ∈(0,π))内一定点P做直线l分别交射线OM、ON于A、B两点(A、B异于顶点O),求|OA|+|OB|-|AB|的取值范围.     

一道解析几何试题的多视角探析

<正>已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x²=4y的准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为坐标原点,M,N为椭圆上的两个不同的动点,直线OM,ON的斜率分别为k1和k2,当k1k2=-1/4时,探讨△MON的面积是否为定值,若为定值,求出该定值.若不为定值,说明理由.     

曲线方程证三角恒等式一例

例题在△ABC中,已知a=10,c-b=8求证tg(B/2)ctg(C/2)=(1/9)。分析由a=10,c-b=8可知|BC|=10|AB|-|AC|=8,即动点A到两定点B,C的距离的差为定值,故A在某双曲线上。证明如图,以BC中点为原点建立坐标系,则点A(x_1,y_1)在双曲线x~2/16-y~2/9=1的右支上。由双曲线的焦点半径公式得     

含参数二次函数题举例

<正>含参数二次函数题是一个重要题型,形式新颖、解法灵活、技巧性强,同学们解这类题常感困难,甚至不知从何入手,为帮助同学们解决这个问题,现举几例说明.例1已知抛物线y=x²-(k-1)x-3k-2交x轴于A(α,0),B(β,0)两点,且α2-(k-1)x-3k-2交x轴于A(α,0),B(β,0)两点,且α²+2β=17,求x的值.解∵抛物线y=x2+2β=17,求x的值.解∵抛物线y=x²-(k-1)-3k-2与x轴相交于A(α,0)、B(β,0),     

新题征展(63)

A　题组新编1 .( 1 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 1 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 2 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 3)动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =2 | xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 4 )动点 M( x,y)满足2 ( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 .2 .( 1 )过点 P( 1 ,2 )的直线与 x、y轴的正半轴分别交于点 A、B,试求 S△ AOB 的最小…     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

2011年高中数学联赛(B卷)第8、9题解法探究

第8题抛物线y2=2p(x-p/2)(p>0)上动点A到点B(3,0)的距离的最小值记为d(p),求满足d(p)=2的所有实数p的和.解法一设抛物线上动点A(x,y),有y2=2p(x-p/2),则|AB|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+2p(x-p/2)=x2+2(p-3)x+(9-p/2)=(x+p-3)2-2p2+6p,(x≥p/2)     

1958年9月号問題

375.已知α_1,α_2,…,α_n各数的倒数組成一等差数列。求証: α_1α_2+α_2α_3+…+α_(n-1)α_n=(n-1)α_1α_n。 376.已知x≠y,問|x|+|y|<100有多少組整数解?(x,y与y,x我们认为是不同的)。 377.求証:以定线段为底可作六个等角三角形,使它們的六个頂在同一圆周上。 378.已知一直三棱柱的底是一直角三角形它有一个锐角等于α,所对的直角边长等于