Contact elements,contact correspondences,and contact invariants

Sunto Il lavoro dà una teoria moderna delle trasformazioni di contatto e dei loro invarianti differenziali. I teoremi principali di Lie e B?cklund sono dimostrati e illustrati; si danno esempi che contraddicono teoremi di Engel e Liebmann. Si segnalano campi di ricerche nei quali la teoria degli invarianti di Lie si mostra superiore al metodo del triedro mobile.

---

---

Entrata in Redazione il 10 novembre 1977.

---

Research partially supported by NSF Grant GP-27960 and MCS-06637A01.     

Sui sistemi continui nel caso asimmetrico

Sommario Si prosegue da un punto di vista generale una ricerca di G. Grioli sulla elasticità asimmetrica con deformazioni finite (e con momenti interni di contatto). Tra l'altro si fanno osservazioni sull'energia libera e su un certo parametro τ in connessione con le equazioni costitutive e col problema della loro determinazione sperimentale. Si caratterizza pure il conformarsi dei materiali considerati al principio di isotropia fisica dello spazio. Si confrontano le relazioni trovate con altre differenziali già note, delle quali si determina l'integrale generale. Tra l'altro si dà una caratterizzazione di tipo energetico della simmetria degli sforzi derivanti da un potenziale elastico.     

Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

Geometria degli spazi a connessione affine

Sunto Analisi critica e ricostruzione per via puramente geometrica delle nozioni di spazio affine osculatore, di spazio affine integrale, di coordinate normali in una varietà a connessione affine. Determinazione di una connessione (a curvatura e torsione nulla) determinata da un punto della varietà e dalla connessione assegnata; conseguente costruzione geometrica deitensori normali e delleestensioni olonome diVeblen eThomas e di quelle anolonome diBortolotti.     

Geometria proiettiva di elementi differenziali

Sunto. Preliminare allo studio differenziale delle varietà rispetto al gruppo topologico (nel senso indicato nel testo) è quello della totalità delle calotte, di ordine e dimensione fissati, rispetto al gruppo delle collineazioni. La rappresentazione analitica di tali calotte introduce elementi arbitrar? (sia nel riferimento rispetto all' ambiente, sia nella scelta dei parametri sulla calotta). Un'adeguata rappresentazione iperspaziale di quelle calotte nasce dalla considerazione delle calotte eccezionali, e porta a varietà razionali di semplice definizione rispetto alle quali quelle calotte sono rappresentate da spaz? lineari; il gruppo delle collineazioni con un punto fisso nello spazio dato si rappresenta nel gruppo delle collineazioni per cui una di quelle varietà è trasformata in sè. Poichè la rappresentazione geometrica elimina le accidentalità della rappresentazione analitica si ha un modo di riconoscere senz' altro l'esistenza di invarianti relativi a configurazioni di elementi differenziali (anche di dimensioni differenti).     

Asymptotic expansions obtained by a center manifold theorem

Sunto Viene presentato un nuovo metodo per la determinazione degli sviluppi asintotici della soluzione esterna di sistemi di equazioni differenziali ordinarie singolarmente perturbati. Il metodo proposto, basato sulla teoria geometrica delle perturbazioni singolari e in particolare su un teorema di esistenza di varietà centrale, permette di ottenere le equazioni differenziali che definiscono le variabili « lente » senza la preventiva conoscenza dei corrispondenti sviluppi per le variabili « veloci ». Inoltre, se i sistemi vengono dati con condizioni iniziali, alcune formule che esprimono le corrette condizioni iniziali da assegnare alle equazioni differenziali trovate — formule già note nel « caso stabile » — vengono estese al « caso condizionalmente stabile »; il procedimento qui usato risulta anche più sintetico rispetto a quelli precedentemente proposti. Infine viene studiata un'applicazione ad una classe assai generale di equazioni derivanti dalla cinetica delle reazioni enzimatiche.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dei programmi del gruppo di ricerca « Equazioni di Evoluzione e Applicazioni », M.P.I., e del Gruppo Nazionale Fisica-Matematica del C.N.R.     

I fondamenti della geometria numerativa

Sunto. Costruzione dei fondamenti della geometria numerativa (computo della costanti, conservazione del numero, calcolo simbolico, principio generalizzato diPlücker-Clebsch) dal punto di vista delle teorie (dovute all' Autore), che hanno fatto progredire e rinnovato tanta parte della moderna geometria algebrica (teoria della base, varietà virtuali, sistemi d'equivalenza, teoria generale delle corrispondenze). Teorema d'esistenza delle caratteristiche delle condizioni pure di data dimensione imposte agli elementi d'una varietà algebrica, anche in presenza di elementi degeneri. Applicazioni (teoria delle caratteristiche inerenti a spazi lineari, risoluzione generale del problema delle caratteristiche per le coniche d'un piano, base e modello minimo della varietà degli elementi lineari del piano) (1). Il mio primo lavoro è stato pubblicato negli ? Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino ? (vol. XXXV, pag. 774) il 27 maggio 1900. Veramente io avevo già fatto stampare fin dal 1898 mentre ero studente presso una tipografia della mia nativa Arezzo, una noticina sull'estensione dei teoremi diPascal e diBrianchon. Non sapevo allora che l'estensione era nota.     

Quaternionic differential forms and symplectic Pontrjagin classes

Sunto Si considerano fibrati vettoriali quaternionali dotati di connessione quaternionale e si determinano forme differenziali rappresentanti delle classi simplettiche di Pontrjagin.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo G.N.S.A.G.A. del C.N.R.; esposto in una comunicazione a Oberwolfach, 7–13 Giugno 1981.     

Su un metodo del Picone per il calcolo degli autovalori e delle autosoluzioni

Sunto Viene studiato un metodo dovuto aM. Piconeed, in conseguenza, formulata una teoria per il calcolo degli autovalori e delle autosoluzioni relativamente ad una classe di trasformazioni lineari non hermitiane. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno.     

Spazi proiettivamente piani (1)

Sunto L'A. espone nella prima parte, coordinandoli, i principali risultati delle ricerche finora condotte sugli spazi proiettivamente piani, apportandovi qualche complemento (relativo ad esempio alle ipersuperficie diE _n affine per le quali la connessione affineintrinseca è proiettivamente piana). Nella seconda parte, dà una costruzione geometrica, basata sulla teoria delle connessioni proiettive, di tutte le connessioni affini simmetriche proiettivamente piane, e coglie l'occasione per introdurre e studiare certe connessioni proiettive,metriche enon affini, determinate da un campo di quadriche associate ai punti dello spazio supposto; connessioni cui può subordinarsi una metrica riemannianaqualunque, come alla geometria proiettiva ordinaria, in relazione a una quadrica data come assoluto, si subordina la geometria metrica riemannianaa curvatura costante. Questo lavoro riproduce, con alcuni complementi e modificazioni, una comunicazione (con lo stesso titolo) fatta alla XX Riunione della Soc. Italiana per il Progresso delle Scienze (Milano, 18-9-1931). Negli Atti della Società verrà pubblicato soltanto un brevissimo sommario. Ved. anche ? Bollettino Un. Matem. Italiana ?, X, 1931, pp. 254–255.