问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

问题与解答

一、本期问题 1 关于x的二次方程ax~2+bx+c=0 (1)和-ax~2+bx+c=0 (2),如果x_1、x_2分别是方程(1)和(2)的某一非零根,求证方程ax~2/2+bx+c=0总有一根x_0在x_1、x_2之间。 2 设a、b、c为任意实数,且1+ab、1+bc、1+ca≠0,求证(b-c)/(1+bc)+(c-a)/(1+ca)+(a-b)/(1+ab)=(b-c)(c-a)(a-b)/(1+bc)(1+ca)(1+ab) 3 复数z、a、x满足关系x=(a-z)/(1-az),且|z|=1,求证|x|=1。安徽庐江乐桥中学陈学能提供 4 解方程组2~(1/2)(x-y)(1+4xy)=3~(1/2) x~2+y~2=1 5 已知某自然数的立方为77*******7 (*表示数字,可以不相同),求这个自然数。福建福州仓门口5号林章衍提供 6 求证: (1) (C_(1984)~0-C_(1984)~2+C_(1984)~4-C_(1984)~6+…)~2=2~(1984),     

问题与解答

一、本期问题 1 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列,而最大角与最小角的对边之比是1:(3~(1/2)-1),试求此三角形三个内角的度数比。 2 已知α是三角形的一个内角,且这个三角形的某两边长是方程x~2-2~(5/4)x+2~(3/2)-sinα-cosα=0的两根,求这三角形的面积。山东梁山十六中陈昌焕提供     

用“面积法”更简便

贵刊85年第4期载有这么一道习题: △ABC中,∠A=45°,高AD分BC成BD=3,DC=2。求△ABC的面积。原文先后用几何法,三角法求解。这里再介绍一种解法,过程更为简捷,能为初中学生掌握。解设AD=x则AB=(9 x~2)~(1/2) (图右),AC=(4 x~2)~(1/2) 由面积公式得 S_(△ABC)=(1/2)AB·ACsinA =(1/2)BC·AD 用数值代换后化简得 x~4-37x~2 36=0 解之得 x_1~2=36,x_2~2=1(舍去) 于是 S_(△ABC)=(1/2)(45)~(1/2)·(40)~(1/2)/2~(1/2)·2/2=15 此法用面积公式布列方程,称作面积法,它在几何问题中的应用相当广泛。如第三届AIME试题中有一题是: 在一个面积为1的正方形中构作一个小正方形如下:将单位正方形的每一条边作n等分,然后如图所示将每个顶点与它相对的顶点最接     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

一个高阶加速公式

本文给出一个高阶加速公式ψ(x_n)=x_(n+2)+(Δx_(n+1)(Δx_n+Δx_(n+1))·Δx_(n+2)·Δ~2x_n)/((Δx_n-Δx_(n+2))(Δx_(n+1))~2+(Δx_n+Δx_(n+1))·Δx_n·Δ~2x_(n+1))n=0,1,2,…其阶数为 P~2+1,其中 P 为已给的单点或多点迭代函数φ(x)之阶数。该公式较 Aitken δ~2加速公式更为有效且实用。     

问题征解

一、本期问题征解 1.解方程 2(3χ-1)(4χ-1)(6χ+1)(12χ+1)=3 2.已知不等式aχ~2+bχ+C>0的解为a<χ<β(其中a<0,β>0),求不等式Cχ~2-bχ+a<0的解 3.锐角△ABC中,AB=3,BC=4,AC的长也是整数,求证:∠B=∠C或者∠A=∠B 江苏泰州中学薜大庆提供 4.若记实数χ的整数部分(即不超过χ的最大整数)为〔χ〕 1~0.试证〔χ〕+〔χ+(1/n)〕+〔χ+(2/n)〕+…+〔χ+((n-1)/n)〕=〔nχ〕,式中χ为正实数,n为任何自然数;     

问题与解答

一本期问题 1 △ABC中,已知BC、CA、AB边上的高分别是h_a=6、h_b=4、h_C=3,试求△ABC的面积。 2 设以r为半径的圆内接正992边形P_1P_2…P_(992),P是圆周上的任意一点,求证PP_1~2+PP_2~2+…+PP_(992)~2=1984r~2。上海金山县中学生朱维欧提供 3 证明当n是自然数时,2~(1/2)·4~(1/4)·8~(1/8)…2~n(2~n)~(1/2)<4。 4 设x、y为正整数,且3x~2+2y~2=6x,问x取何值时,x~2+y~2达到最大值,并求出此最大值。巴东安居中学谭志新提供 5 求证 lg1+lg2+…+lgn相似文献   

对一道高考题参考答案的改进

2005年全国高考湖北数学卷(文史类)第18题:在△ABC中,已知tanB=3~(1/2),cosC=1/3,AC=36~(1/2),求△ABC的面积.参考答案:     

莫斯科大学1984年高考入学数学试题及解答

试题: 1 解方程8~x-4~x-_2~x。 2 解方程 sin3xsinx+1=cos2x 3 在区间〔-2、2〕上求函数y=-x~2+3|x-1|+2的最大值和最小值。 4 已知△ABC的边AB和AC的长分别等于3和2,在边AB上取一点M,而在边AC上取一点N,使得|AM|=2,|AN|=1.5。若|BC|为|MN|的、6/1~(1/2)倍,求△AMN的面积。 5 当参数α取何值时,不等式组具有唯一解? 答案与提示 1 lg_21+5~(1/2)/2。2 kπ,k∈z. 3 71/4,1。 4 2~(1/2)。按照余弦定理,对△ABC和△AMN有下式; |BC|~2=13-12cosA=36/17|MN|~2     

秦九韶三斜求积公式及其应用

当已知三角形的三边,求面积时,常用公式△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)来算,但也有不便之处.例如,“在△ABC中,已知a=(41)~(1/2),b=(34)~(1/2),c=5求面积”用这个公式来算,就殊感困难. 我国南宋时的大数学家秦九韶著有《数书九章》一书(1247年).在该书的第五卷中,     

苏联莫斯科大学1989年入学考试试题及解答

数学力学系卷1 1.解方程(3~(8xctgπx))~x27~(5xctgπx)=9~(ctgπx)。2.解不等式[log(8-2)~(1/2)(2x-1)][log_2(1+2x-x~2)]≥0。3.一条直线经过△ABC的顶点A和平行于边AC的中位线的中点,问这条直线分这个三角形成两部分的面积之比是多少? (如图1)     

用平几知识处理解几习题举例

解析几何的特点在于以代数方法来研究几何图形的性质,它突出地贯彻了数形结合的精神。但在解题时,如能注意应用几何知识,有时将显得较为简捷。例1 已知平面上两点A(4,1)、B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M,使|MA|-|MB|最大。本题可设M点的坐标为(x_0,3x_0-1)。这时虽然能求出目标函数f(x_0)=((x_0-4)~2+(3x_0-2)~2)~(1/2)-(x_0~2+(3x_0-5)~2)~(1/2),但求其极值较为困难。而巧借平几     

单形中的一类不等式

<正> 在ΔABC 中,设 BC=a,CA=b,AB=c,又 x_a,x_b,x_c 分别为三边 a,b,c 上的任一点至该边所对的顶点之间的线段,若ΔABC 的面积为Δ,则对于正实数 α,u,v(u≤v)有∑a~α(-ux_a~α+vx_b~α+vx_c~α)≥3(2v-u)2~αΔ~α.(1)当 x_a,x_b,x_c 分别为正ΔABC 的边 a,b,c 上的高时等号成立.在(1)中,特别地取 x 为ΔABC 的高线,内角平分线及中线时,则有∑a~α(-uh_a~α+vh_b~α+vh_c~α)≥3(2v-u)2~αΔ~α,(2)∑a~α(-ut_a~α+vt_b~α+vt_c~α)≥3(2v-u)2~αΔ~α,(3)∑a~α(-um_a~α+vm_b~α+vm_c~α)≥3(2v-u)2~αΔ~α.(4)当且仅当ΔABC 为正三角形时等号成立.若有两个ΔABC 和ΔA′B′C′的面积分别为Δ和Δ′,h_a,h_b,h_c 及 h_(a′),h_(b′),h_(c′)分别为     

考点17 解斜三角形

1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求…     

问题220 是题目的问题,还是解法的问题?

题目:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,它的外接圆半径为6,∠B,∠C和△ABC的面积S满足条件:S=a2-(b-c)2且sinB+sinC=43,(1)求sinA;(2)求△ABC的面积S的最大值.解(1)因为S=1/2bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,所以由题得:12bcsinA=-2bccosA+2bc,     

一道代数式求值问题的新解与一般化

<正>题目已知ax²+bx+c=0(a≠0)有实数根x_1与x_2,设p=x_12+bx+c=0(a≠0)有实数根x_1与x_2,设p=x_1⁽¹⁹⁹⁷⁾+x_2(1997)+x_2⁽¹⁹⁹⁷⁾,q=x_1(1997),q=x_1⁽¹⁹⁹⁶⁾+x_2(1996)+x_2⁽¹⁹⁹⁶⁾,r=x_1(1996),r=x_1⁽¹⁹⁹⁵⁾+x_2(1995)+x_2⁽¹⁹⁹⁵⁾.求ap+bq+cr之值.原解答(见参考文献[1]第183页例5)"由因导果",摘抄如下:由x_1,x_2是方程ax(1995).求ap+bq+cr之值.原解答(见参考文献[1]第183页例5)"由因导果",摘抄如下:由x_1,x_2是方程ax²+bx+c=0之二实根,所以ax_12+bx+c=0之二实根,所以ax_1²+bx_1+c=0①ax_22+bx_1+c=0①ax_2²+bx_2+c=0②     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题目条件的信息,选用恰当的化简技巧,是解决课本二次根式题的关键.一、变换所求,以简驭繁例1已知x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2)),求x2-xy+y2的值.解当x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2))时,有x-y=5~(1/2),xy=1/2.∴原式=(x-y)2+xy=(5~(1/2))2+1/2=11/2.二、化简变形,化难为易例2已知x=(3~(1/2)+2)/(3~(1/2)-2),y=(3~(1/2)-2)/(3~(1/2)+2),求     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

数形结合巧解题

<正>题目已知椭圆3x²+2y2+2y²-6x=0(1)与x2-6x=0(1)与x²+y2+y²-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x2-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x²-6x+2m=0,即Δ=b2-6x+2m=0,即Δ=b²-4ac>0,∴0相似文献