一个不等式的应用

高中代数下册（必修）习题十五第6为：已知ad≠be，求证：（a2＋b2）（c2＋d2）＞（ac＋bd）2．若去掉已知条件，则有（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（*）当且仅当ad＝be时取“＝”号．若灵活巧妙地顺用或逆用（*）式，可一些问题获得简洁的解证．例1若实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2十y2＝e（a≠b），则mx十ny的最大是昙（）解依题没，据（*）式，有ab＝（m2＋n2）（x2＋y2）≥（mx＋ny）2故应选（B）．例2若a、b、c、d∈R ，则一（1＋1）’一4．故应填4．例3若X’十／一1，则3X＋4y的取值范围是解依题设，据（。）式，有（3X十4y…     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅹ)

例题讲解73．已知rtABC的三边a、b、c成等差数列，又rtAIBICI的三边也成等差数列且／A一／AI，求证：rtABCOOAAIBICI．证明记。一／A，。1一／AI，／一LC，yi。＜CI，HAAIBICI的三边为11、hi、CI．由＿。。，；＿。a＋cal＋c；已知条件知。—。1；L十上一一一一一一一一一一一（1）利用正弦定理容易求得由（3）易得化简（4）得但。－1，故由（5）有’gY一但o、r；均为三角形的内角，故o这说明y74．求方程组的全体实数解．解首先，易知工I，工2，…，一同号，并且若｛x，，i＝1，2，…，n｝是方程的解，则｛一工，，i—1，…     

用整体代换处理求值类问题

在解决某些数学问题时，可将待求式（或待证式）用一个未知数来表示，然后根据题设条件求出此未知数，从而使问题获得解决，这种方法称为整体代换法．应用此法可将一些问题化繁为简，化难为易．现举例说明如下：1求值故所求原式的值为0或2．2求取值范围例2已知sinx＋siny=1，求cosx cosy的取值范围．故cosx＋cosy的取值范围是例3已知X、y为实数，且x2 xy＋y2=1，求x2-xy y2的取值范围．解设x2-xy＋y2=k，则有的两个实数根．故x2-xy＋y2的取值范围是3证明等式k—1，故等式成立．倒5求证：4任用不苦大N6已知实数a、b满足a十b＝1，求解得故N7…     

一道习题不等式的拓展应用

人教版《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学》第二册（上）习题6．3的第7题如下：已知a，b都是正整数，x，y∈R，且a＋b=1，求证：     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

理科第24题别解

试回设二次函数人X）一。‘十仅十C（C＞O），方程人C）一C—O的两个根CI，1。a足0＜J1＜而＜上，（互）当工E（o，xl）时，证明：l＜人l）＜11；（巨）设用数人X）的图方关于直线X—XO对称，证明：二＜于．解法1（I）”．”xl，x。是人x）一x一0的两个根，故可设f（）一x—x（x—xl）（1—1：）令g（x）一a（x—xt）．。＞o，则以）在（一一，十一）内单调速增．解法2（I）同解法1，则故一’十hi十〔＜＊片十bll＋〔，即人l）＜人11）一11．又由a＞O，xl，xZ为／（x）一x—0的两个根（X；＜X。），则人X）一工在「0，Xl」上为减…     

构造二次函数处理有关不等问题

函数思想是中学数学的重要思想方法之一有些数学问题，若能根据有关题设条件和结论中的信息，构造出适当的函数，常可使问题顺利获解．这里略举几例，谈谈构造二发函数处理有关不等问题．例1。、尸、y为8意三角形的三个内角，对于任意实数工、y、y，来证：Z‘十／十Z’＞Zxycos。＋Zyzcosg＋Zzxcosy．另析将待证式整理为关于X的二双函＞Zxycosa＋Zyzcosg＋Zzxcosy．氛热，这是根据二次国数f（）一ax’＋bx十c（a＞0），茬O＜O，则／（x）＞0；反之，老人工）＞0，则已＜0．这就晏门适二发函数解有关不等问题的常用方法．例2已知实数a、…     

一类最值题的命制及其求解

第20届伊朗数学竞赛中有如下一道三元不等式题：已知a,b,c为正实数,a2＋b2＋c2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3.如果退化为二元情况,不妨令c=b,则题设条件变为a2＋2b2＋ab2=4（＊）,整理得a＋b2=2,在此式中再分别令a=x＋y/2,b=xy（1/2）或者a=2x＋y/3,b=xy（1/2）等,并代入后进行整理,就得到下列几道最值题：问题1已知x,     

三个等价不等式及其变换

下面三个代数不等式互相等价：l．已知二、b、CeR牛，求ill：－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－M——：（1〕h＋r广十rsn＋h一2（n＋h十厂）’”一”2．（1963年莫斯科数学竞赛题）已知a。b、Ce矿，求证：－－－－－－－－＋－－－－－－－－－＋－－－－－－－－－－MM；门）h十。广十co＋h一J””一”3．（1988年第二届“友谊杯”试题）已知二、b、CER”，求证：－－－－－－－－＋－－－－－－－－－－－＋－－－－－－－－＞；（。＋h＋f）：h＋f·t、＋I7H＋h一7”一（3）证明先证（l），由三元均值不等式可…     

一类三角方程有解条件的应用

在高中《代数》上册第297页上给出了三角方程asinx＋bcosx＝c（*）有解的充要条件即a2＋b2≥c2，并且进一步可知：方程（*）在［0，2π）内有两个不同解的充要条件是a2＋b2＞c2；方程（*）在[0，2π）内有两个相同解的充要条件是a2＋b2＝c2。对数学中直接或借助三角代换出现了与三角方程asinx＋kosx＝c有关的问题，运用其有解的条件处理往往能简化运算，收到事半功倍之效．1求值或征明等式例1已知cosa＋cosβ－cos（a十β）＝，求锐角a、β．解化条件式为关于a的方程有解，即的值域从而锐角同理可得例2已知求证：a2＋b2＝1证设1），则a2＋b2…     

三类最小值问题的统一解法及一般结果

本文旨在通过实例，归纳总结出形如y=x＋和y=x的最小值问题的统一解法及一般结果对能直接利用基本不等式a＋b≥2,a＋b＋c≥3求解的情形，本文将略去．第一类的最小值问题情形1例1求的最小值，这里x（O，π）．以上两个木等号中的等式同时成立，当且仅例2求函数y的值域．解函数的定义域为一1≤X≤1，于是令t=（1－x2）＋，于是只需求出t的值域，即可得到y的值域．以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅。。M。。。。。。4．例3（一般情形）求y一x十上的最小值，其中，0＜X＜b，户是一个正常数，且产）矿．上述两个不等号中的等式同时成立…     

一个插值公式及其应用

本文介绍二次拉格朗日插值公式及其在证明与二次函数相关的不等式方面的广泛应用．二次拉杜朗间揭值公式：设f（x）是M次多项式，。，，az，as是3个两两不等的常数，则：、（xa。）（xas）。in3u！，＼2382，证明将等式右端的二次三项式记为p（X），由于人J）一户（X）的次数＜2且人工）一户（X）一0有3个不同的根：N一rtl，HMQZ，NMrt3·故f（X）一p（X）．下面略举囊的介绍二次指位公式的应用．例1已知a，b，c为实数，函数／（x）。。2＋bte＋C，g（x）＝。＋b，当1＜x＜1时，if（川＜1．（1）证明：Icl＜1；（2）证明：当一1＜X＜…     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

高中数学综合训练题(4)

1选择题（1）设I为全集，且，下列集合中一定为空集的是（）（A）AnB（B）AnB（C）AnB（B）AUB（2）已知A（一1，1）和圆C：（X一5）’＋（y一7）‘一4，一束光线从点A经X轴反射到圆周C的最短路程是（）（A）6VM一2（B）8（C）4JH（D）6（3）已知人工）一a“，g（x）＝Ic＆x．（a＞0，a一1），若人2）·g（2）＜0，则人工）与g（工）在同一坐标系中的图象可能是（）（A（B）（C）（D）（4）下列命题中正确的一个是（）（A）若a，产是第一象限角，且a＞q，则sinaMsing（B）函数y一幻——·＊lgx的单调增区间为（Zb。一千，Zk…     

数学问题解答

1561 已知函数y=f（x）=ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0，（1）试证：方程f（x）=-a有实数根，（2）设方程f（x）=-a的两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围。