中等學校中的非歐幾何(績)

六年級 1) 在學習了教學大綱中的主題“平行線公理及其推論”以後;因之在學生們知道了歐幾里得第五公設的表述(附錄1)以後,必須在做習題的課上,考察關於平行線公理各種表述的等價證明的習題,在貝斯金(H.M.BeckИH)的幾何教學法(?)第115頁中可以找到證明。(附錄2) 2) 歐幾里得的第五公設無異於下列命題:同一直線的垂直線和斜線恒相交。說明這一點是有好處的,其證明需要用到一個定理,即所有三角形中,任意二內角之和小於二直角。 3) 學習到教學大綱中的主題“三角形諾角之和的定理”時,必須讓學生來分析這定理的證明,說明我們在證明中用到了平行性的反定理。顯然平行性的反定理可根據關於平行線的公設來證明,因此“三角形諸角之和等於二直角”的定理的正確性可從歐幾里得第五公設推出來。     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間     

中等学校中的非歐幾何

如所周知,中等學校五——十年級的数学教學大綱對教員們提出這樣的要求:“在幾何课中學習平行線的理論时,完成必要指出除了在學校里所學習的歐幾里得幾何外,還有非歐幾里得幾何?菤W幾里得幾何,由著名的俄羅斯科學家羅巴切夫斯基所創造的,並以他的名字命名”。     

非歐幾何底125年

這是一篇紀念偉大的俄羅斯天才學者羅巴契夫斯基創立非歐幾何的文章,這裏所謂非歐幾何的125年,是指從1826年到1951年,這篇文章是“羅巴契夫斯基非歐幾何125年(1826-1951)”一書中“盛大的聚会”部分裏的第2篇,原文曾載蘇聯“數學的進展”第4卷第5號。     

非歐幾何的創立

非歐幾何的發現解决了幾何学中兩千多年的一个基本問題,大大地擴展了幾何学研究的对象,在根本上改变了人們对幾何学的看法,開創了幾何学的一个新時代,第一个發現非歐幾何的罗巴切夫斯基非常恰当地被称为幾何学中的哥白尼。非歐幾何的創立在整个數学的發展上,特别是在數学基礎的問題上起着深远的决定性作用。但是,單从幾何学和數学本身去說明非歐幾何的歷史意义是很不够的。因为,非歐幾何的影响远不限於幾何学和數学。非歐幾何的問題,虽然是从幾何学中提出的,实际上却牽涉到哲学的基本問題。非歐幾何的創立打破了兩千多年的唯心的形而上学的空間观念,把幾何学从傳統的哲学束縛下解放出來,因而有着非常重要的認識論上的意义,非歐幾何的歷史是唯物主义和唯心主义在幾何学中的一段鬥爭     

中等學校裹序列的學習

本文的目的是按照中等學校裏應該講授的計畫給中學數學教師以學習序列問題的典型的探討。序列應該看作是以自然數為變元的函數,因此,必需重複一下學生們在八年級就已得到了的關於函數的基本知識。函數的定義大致以下面的形式教給八年級的學生們。如果變元x的每一允許的數值,對應著某個完全確定了的數值y,那末y就是變元x的函數。所給的x值的集合叫做變元的允許的數值的集合或函數的定義域,而相應的y的數值的集合就叫做函數的數值的集合。要規定一個函數,就應該確定變元的允許的數值的集合和一個對應的規律,按照這個規律,可以給變元的每個已給的數值確定一個唯一的函數值。 學生們應該知道,集合和對應的概念是函數的定義的基礎,它們是基層的,那就是說,集合和對應的概念不能藉助更簡單的概念來定義。     

因式分解(續)

(四)复数域和实数域中的因子分解根据定理2,复数域和实数域上的多項式永远可以唯一地分解成不可約多項式的乘积.可是定理2並沒有告訴我們复数域和实数域上不可約多項式的形狀是怎样的,同时它也沒有告訴我們一个有效的方法如何經有限次有理运算(即加、减、乘、除四种运算之統称)將复数域     

六年級幾何課的計劃(續)

第四十一课本课主题:平面上直线的相互位置,平行线定义本课主题Ⅰ.课外作业检查(在黑板上).Ⅱ.复习提问.已知底边,一底角及两腰之和,求作三角形,什么叫做公理、直线公理?Ⅲ.学习新教材.直线公理是说通过两点D与D_1可能且只能引一直线AB.假定仍通过此二点再引第二条直线A_1B_1时,则与第一     

在中等學校內序列及其極限的概念

1 在中等學校九年級內集合和序列的概念 1.衆所周知,在現代的數學內,集合概念有何等重大的意義,在中學初等數學的各部門內也經常地遇到這一概念,但是通常並不這樣來叫它而已,有些教師甚至極力避免使用術語“集合”,而在實際例題上闡明集合概念的意義,並在以後舆數學的其他基本概念以同等的權利來利用它。 據我們看來,這種情形之所以產生有兩個主要的原因: 1)在中學数學教學大綱和教科書裏沒有用到術語“集合”。 2)在中等學校內引入這一概念的教學法還未擬定。可由五年級開始,給學生舉集合的各種不同的實際例題,不要害怕術語“集合”這兩個字。集合的概念應該建立在八年級內詳細地被研究     

希爾伯脫的“幾何學基礎”及其在問题的歷史發展中的地位(續)

歐幾里得的“原本” 歐幾里得(公元前約300年)的“原本”中包含幾何學基礎的系統的叙述,它的方式是:集成了距該時代總共約3個世耙在希臘的土壤上的數學發展。從那時起差不多封現代為止,“原本”被認為科學嚴密性的叙述體裁的模範;誰也沒有企圖過動手實行它的根本上的改編,而我們的中學教本直到現在基本上還是重刊了歐幾里得的“原本”。     

幾何教學中的羅輯概要

發展學生的邏輯思維是幾何放學目的之一。如果說學校對掌握幾何教材及它的實際應用逹到了巨大的成就,那么對發展學生的邏輯思维還有很大的缺點。在俄羅斯蘇維埃社會主義聯邦共和国教育部的教學法文件中,關於五至十年級(1950年)數學教學在所有缺點中指出:     

反三角函數(續)

第七課 課題:以反函數形式給定的弧底各三角函數的求法 檢查完了家庭作業以後,叫一个学生到黑板上求sin(arcsin x)和cos(arcsin x)。因为-(π/2)≤arcsin x≤π/2,而正弦在这个區間內是正數或0,所以在根号前应取十号;因而,与數x的符号無關,我們有: 叫另一个学生求弧arcsin x的正切和餘切:在这裏根号前取+号。事实上,若x<0,則也有tan(arcsinx)<0,而若x>0,則也有tan(arcsin x)>0;所以     

集合与一一对应(續)

§4. 对应与一一对应由上面討論可見,一一对应是一个很重要的概念,它在數学中有許多的用处。下面我們就詳細討論一下这个概念: 我們先从一个更廣义的概念“对应”談起,它在數学中佔有更重要的地位。很多人都学过“函數”这个概念,見过一些函數的例子,例如:f(x)=x~2+1,g(x)=sin x等等。我們回想一下函數的定义,在实數範圍內,它是这样說的: 如果有一个法則Ф,根据这个法則我們对每一个实數x,都能得出一个确定的实數y与它相应,我們就把这个法則叫做(定义在实數集上的)一个(取实數值的)函數,与x相应的y記作Ф(x),称为x在函數f下的值。例如f(x)=x~2+1这个函數是表示如下的法則f:“(給出实數x後)算出:x的平方,再加1(得到与x相应的f(x))。”在g(x)=sin x時,我們的法則g叙述起     

复数的教学(續)

Vn.复数的乘方1.1的方粱及其圆示法.1)1的各方翼:乙,i一~一1,舒~沪.(一1)2一乙,.︸(乙2)2i4i,i已 .印二:二i臼二二二13~一乞,18一14·+1,一1,14二+1.沪护月创2)由此导出:i4n+‘~i,14,,+2:二一1,14护‘+3~一i,14,‘二+1·恤一。1,1)“~韶八一‘天了一,l,“十嵘了一2(bi)匕一十 +嗯砂一“伪动“十··一左+人i 一了~arl一嵘砂一2犷一:嗽了一1护一 B~吐a叹一‘b一嵘了一“护十吹了一“护… 只要用二项式定理展开法剧将(u一卜b汀‘展开,再热i的方尊适当变换为i,一1,一凡十1;最后再牌实数部分集项和虚数部分集项.即得其IL次方幕.5.再得出三角函…     

度量空間(續)

巴拿赫-达尔斯基定理从初等几何学中我們知道,若以某种方式分一多面体为几个多面体,并且重新排列这些部分多面体以組成一新多面体,則后者无論如何也不能放入原多面体的內部。在这个定理里关鍵在于,我們分原多面体为几个部分,它們也是多面体。似乎以为,若我們分一立方体为某一有限数目的集合,則在空间中不     

圆錐曲线(續)

§4.直圆錐面的平截线现在我們研究在第二种定义下直圓錐面平截綫的各种形状。 設有以O为頂,OA为軸,a(0相似文献   

紧致性在分析中的作用(續)

例Ⅳ.不避烦琐,我们再引用一个例子来支持我们的论点。考虑定义在R的一个子集A上的连续实值函数全体,我们用记号(?)(A)来表示这个集合。集合(?)(A)对逐点相加和相乘的运算来说形成一个环。这样,我们就可在(?)(A)內引入理想子环的概念:(?)(A)中的一个理想子环(?)是(?)(A)的一个非空子集,它具有如下的性质:如f和g在(?)內,φ在(?)(A)內,则f-g与φf均在(?)內。为了避免在証明过程中碰到无多大意义的特殊情形,我们假设所研究的子环均异于(?)(A)本身。     

复数及其在几何中的应用(續)

4.作为平面的定向直綫的对偶数。以下我們将几乎只跟定向直綫打交道,所以常略去“定向”两字。我們把定向直綫a和b間的定向角/{a,b}叫作直綫a和b間的角(参見本刊7月号P.45);把直綫l上的綫段AB的定向长叫作点A和B間的距离,記作{A,B},它是通常的长度加上一个“正”或“負”的符号,这个符号看由A到B的方向是否与     

E.嘉当和他的数学工作(再續)

Ⅲ.几何尽管李羣論是和微分几何密切是相关的,嘉当在微分几何方面的主要工作却不是在比較靠后的阶段才开始的。他在微分几何方面的第一批文章是討論变形問題的。很清楚在那时候他已經有了活动标架方法的主要思想,活动标架方法是他在以后的年月里他自己特別爱好的題目之一,它至今还沒有完全探索清楚。这方法不是新的。它是Darboux,Ribaucour和其他人所成功地运用的活动三面体的方法在任意齐性空間中的推广。即使在最一般的情形下它的某些     

数理邏輯与自动化(續)

繼电器接点綫路代数及其应用的例子自动化使用的继电接点綫路中絕大多数是采用电磁继电器的。电磁继电器是一块带有鉄电枢和接点的电磁铁。当电枢被吸至电磁鉄心时,即当继电器动作时,接点进入工作位置。当继电器放开自己的电枢时,在接点弹簧的作用下继电器接点恢复正常状态。有的电磁继电器有几个綫圈,但經常采用的还是一个线圈的继电器(单线圈继电器)。所以我們这里也只探討具有单綫圈的继电器接点綫路,今后,我們处处把单綫圈电磁继电器簡称为继电器。继电器的綫圈和級电器本身通常以同样的字母来表示:而继电器通常使用下列大写的拉丁字母表示: X,Y,Z,……继电器通常有几个閉接点和几个开接点。继电器的接点与表示继电器本身也即它的綫圈的大写字母同