第31届国际数学奥林匹克试题及解答

周彤同学在第31届国际数学奥林匹克中以满分的成绩获得金牌,为祖国贏得了荣誉。今将其解答全文发表如下,以飨读者。文中少处叙述经其指导老师钱展望同志修改和润色。     

反证法是证明无理数的通用方法吗?

罗昕同学在文中提出了一个他在学习中不能解决的问题:"反证法是证明无理数的通用方法吗?"并具体列出了三个他不知如何解的题,向诸位老师和同学们请教.我们想这可能也是许多同学曾经思考或将会思考的问题,因此将此文刊登出来,希望诸位老师和同学们帮助罗昕同学,解答他提出的问题,谢谢大家.     

一道游戏背景数学题的拓展思考

<正>某次考试中,一道游戏背景的数学题如下:十名同学围成一圈做游戏每人心中想一个数,并将所想的数报给左右两边的同学.每位同学将左右图1为求解问题设未知数两边同学报来的数取平均值后报出,得到如图所示的结果.问:报3的同学心中所想的数是___.本题的解法如下:设报1至10的同学心中所想的数分别是x_1,x_2,...,x_(10),根据题意,可得:     

幽你一默

旗杆的高度
　　操场上,两位同学围着一根旗杆。
　　数学老师走过来,问：“同学们,在干什么呢？”
　　“我们想知道这根旗杆的高度,正在讨论用什么方法得到它。”两位同学回答道。这时,只见数学老师抱紧旗杆使劲一拔,将其放倒,拿出卷尺量了量,说：“正好5米。”
　　“我们要的是高度,不是长度。”两位同学小声地嘀咕。     

正五边形的准确画法

周虎同学这篇习作经转贵州教育学院李长明老师审阅,李老师肯定了周虎同学的画法是正确的,随后又将其画法加以简化.我们刊出的是经李老师修改后的文稿,并顺向李老师敬谢.     

缩放法的妙用

本周学校将举办阅读比赛,小张同学想购买几本书.他查了资料,把三本书的价格记在了纸上,晚上想去向妈妈要些钱.《作文天地》6.88元,《数学乐园》8.66元,《科学世界》29.58元."我向妈妈要多少钱好呢?"小张同学说.     

分式计算觉错解剖析

多数初学分式计算的同学在运算时往往会出现这样或那样的错误．现将这些常见的错误加以归类剖析,供同学们参考．     

你会看数学书吗

在平时,许多同学不重视看数学书,或者说不会看数学书.一些同学不看书是因为他觉得老师上课都要讲或都讲过,而不少同学却觉得看数学书收获不大,正如一个同学说的“书上的都不难,所以就像看小说一样”.事实上,有类似想法的同学还真不少,尤其是那些成绩     

数的开方学与教

亲爱的同学，你们好!在新学期开始，让我们一起走进第16章——数的开方的学习探究，通过本章的学习，你将：     

指导高中毕业生进行数学总复习的几点体会

今年高中毕业生升学复习工作将要开始了,我校数学一科和其他各科一样由于党支部的正确領导,同学們的刻苦钻研以及我們踏踏实实的工作,在去年高考时取得了較好的成績。絕大部分同学已达到概念明确,运算合理和計算无誤,特別是不少后进生經过耐心細致的輔导,成績有了很大的提高。     

二元一次方程组看错系数问题探究

在解二元一次方程组时,常出现看错系数的求解问题,今将这类问题举例分析点评如下,供老师教学时参考.例1甲、乙两位同学解方程组     

第九章 轴对称

亲爱的同学，通过本章的学习，你将 1．认识轴对称的概念，能识别轴对称图形。     

“金子”重要,“点金术”更重要—从2003年高考数学(京卷)的两道应用题说起

数学来源于实践 ,又反作用于实践 .也就是说 ,数学不光研究现实生活中现成的问题 ,更要用数学去指导实践和改造生活环境 .2 0 0 3年高考数学 (京卷 )的两道应用题 ,第 10题 (选择题 )与第 19题 (解答题 ) ,其显著特点是将数学知识、方法与实际生活融合一体 ,考查考生的数学建模能力与创新的能力 .如第 10题 :某班试用电子投票系统选举班干部候选人 .全班k名同学都有选举权和被选举权 ,他们的编号分别为 1,2 ,3 ,… ,k .规定 :同意按“1” ,不同意 (含弃权 )按“0” .令aij=1,第i号同学同意第j号同学当选0 ,第i号同学不同意第j号同学当选其中…     

蛋糕如何分割

1.问题的提出 在某同学的生日聚会上,共来了20位同 学,在分食生日蛋糕时,有人提出:"为了使每 位同学都能分到一块蛋糕(不要求每块蛋糕大 小都一样)则至少要切几刀?" 2.模型的构建与求解 按习惯,在切蛋糕时总 是沿竖直方向向下切,如果 我们共切了n刀,则每刀在 蛋糕的上表面的切痕是n条 直线,这n条直线(切痕)将     

第十章 统计的初步知识

亲爱的同学，通过本章的学习，你将 1．知道普查和抽样调查的区别，感受抽样的必要性。     

中学生应如何做作业

中学生几乎天天做作业,可是不少同学不明白为什么要做作业,怎样做才算达到了预期效果的好作业.笔者将其概括为十二字:1.独立作业必须独立完成,反对自欺欺人抄袭他人作业的不良做法.这样做的同学是不明白为什么要做作业,只是为了交差,应付老师和家长,那就很难收到良好的     

把握课堂脉博创设问题情境激发学生潜能--由一道习题引发的一次教学创新

在复习“曲线与方程”这一节内容时,我在复习基本知识和解决了基本题型后,请4位同学上黑板演板,在规定时间内,前3位同学都完成了解题,第四位同学却无功而返.我在评讲完前3题后,下课铃声响了,于是我请第四位同学下去之后继续研究这一道题,下节课演板给同学们看.第二天我请这位同     

谈条件不等式含不含等号问题

在数学解题中,经常会将题意转化为不等式来解,但转化成含等号的不等式还是不含等号的不等式,着实困惑了不少同学,而且往往就因为一念之差导致了错误结果,尤其是填空题将功亏一篑.现对高中数学教学中常见的几种情况进行树立分析.     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时，二次方程根的判别式有着十分重要的作用．根据判别式△的符号，我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数，进而可以判定直线和二次曲线的位置关系．有些同学便将这种方法迁移到求圆锥曲线和圆锥曲线的交点，并试图运用它来判定曲线之间的一些特殊关系．下面是一位同学给出的一道习题的解答．     

在高中新课程数学教学中培养学生合情推理能力的探索

1问题的提出(2009年福建高考数学理科第15题)五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;