逻辑划分思想及其应用

从集合论的观点看，逻辑划分思想就是把问题所研究对象的全体或者所涉及到的整个范围，不妨记为一个集合P＝{x|p(x)}(其中p(x)为集合的本质属性)划分为若干个子集Pi（i=1，2，...，h），使其满足（1）Pi∩Pj=φ（i≠j），（2）UPi=P，然后对每个Pi分别求解或论证，从而整体全面地解决问题．1确定划分标准、进行逻辑划分众所周知，寻求问题的出发点是确定解题过程的一条极其重要的逻辑途径．因此定义、定理、公式法则以及图形的位置是逻辑划分的理论依据．例1求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，...（a≠0）的前n项和．从以上…     

由一道解析几何例题的解答所想到的

现行高中课本《平面解析几何》（必修）P38页中有这样一道例题：已知两条直线：l_1：x＋my＋b＝0，l_2：（m－2）x＋3y＋2m＝0．当m为何值时，l_1与l_2（i）相交；（ii）平行；（iii）重合．课本给出的解题过程是：解将两直线的方程组成方程组：解得m＝3．（i）当m≠3时，方程组有唯一解，l_1与l_2相交．（ii）当m＝－1时，方程组无解，l_1与l_2平行．（iii）当m＝3时，方程组有无穷多解，l_1与l_2重合．其实，当m＝2或m＝0时，这两条直线也相交，这正是及的分母为0的倩况．因此这类问题还应注意对分母为零的情况的讨论．下面，我们不妨再…     

二次曲线弦的中点问题与代点相减法

直线与二次曲线相交所得弦的中点的有关问题，是解析几何中的重要内容，也是历年高考命题的热点之一，其解法丰富多采，千姿百态．本文仅不常用的代点相减法作一些探讨．1关于代点相减法及其解题模式所谓代点相减法，就是将二次曲线弦的端点坐标代入二次曲线方程，然后借助代数运算实现解题目标．其一般模式是：（1）令弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），将其坐标代入二次曲线的方程f（x,y）=0，得f（x1，y1）=0，f（x2，y2）＝0．（2）将（1）中所得的两式相减，并通过因式分解将其整理为只含有x1＋x2，y1＋y2，x1-x2和y1-y2的式子．…     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

主元法解一道北大自主招生试题

题目设x,y,z∈R＋且x2（1/2）＋y2＋z=1,求xy＋2xz的最大值.这是2010年北京大学自主招生试题,是一道含有三变元的条件最值问题,本题难度较大,很难找到解题入口,本文用主元法给出两种解法与大家分享.解法1依题意,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈（0,π2）,r∈（0,1）,则x2（1/2）＋y2＋z=1为r＋z=1,所以z=1-r.设w=xy＋2xz,则w=r2sinθcosθ＋2r（1-r）cosθ,     

回避“非必求量” 简求参数取值范围

某个与解题密切相关；但题目本身并未指定要求的数学未知量，不妨称为“非必求量”．在数学解题中，若能回避求解这个“非必求量”，而利用有关概念、性质，将相关条件进行灵活转换，往往会简化运算过程，降低解题难度，提高解题智慧．本文拟通过求参数的取值范围，对上述观点的运用作一些探索．1避求反函数例1设函数为常数），求使f~(-1)（x）＞1的x的取值范围．分析这里f~(-1)（x）是一个“非必求量”．由于反函数的定义域和值域，分别是原函数的值域和定义域．所以，“求使f~(-1)（x）＞1的x的取值范围”可转化为“当x＞1时，求f（x）的…     

五类抽象函数解法例说

文[1]把一类没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数．由于抽象函数具有一定的抽象性，其性质隐而不露，因而学生对抽象函数问题比较害怕．其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路．本文从这一认识出发，例谈五种类型的抽象函数及其解法．1线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数．例1已知函数f（x）对任意实数x、y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），…     

用“拟二次曲线”解一类相交直线问题

一条直线与二条直线相交时，如果将此二直线方程相乘构成一个二元二次方程，我们当作它对应着一条二次曲线（不妨称为“拟二次曲线”），这时我们是把此二直线看作一条二次曲线．这样，我们就可以利用一条直线与一条二次曲线相交时处理问题的方法，来处理一直线与两直线相交的有关问题，这样做可以避免求交点从而使解题手续大大简化．通常可以利用这种策略来解如下几方面的问题．1与被截线段中点有关的问题例1一直线l被两直线4x十y＋6=0，3x-5y-6=0截得线段中点恰为坐标原点，求直线l的方程．解设拟二次曲线C：（4x十y十6）（3x=5y-6）=0，…     

学生为什么不善于利用几何意义解题——从一道二次函数题的学生解答受阻谈起

我在一次高三数学复习测试中选用了这样一道题：“设函数f（x）=x^2＋x＋a（a∈R”）满足f（n）〈0，判断f（n＋1）的符号，”结果大多数学生没有做出来，甚至有许多学生在听了老师讲解后还是不得其解，事后，我反复思考，这是一道中等难度的题目，为什么会出现这种情况呢？经仔细了解发现：学生不善于从几何角度考虑问题，不善于利用几何意义解题．以下是大多数学生解题时受阻的情形：     

解题需留情,探源更精彩

在日常的解题活动中,将源于基础的题目进行提炼与加工而形成结论,然后又将其广泛应用于解题实践中,这实际就是在寻找题源.这一活动意义重大,因为茫茫题海中很多题目表面不同,但其实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一个题源加工而成的结论,其功效不亚于教材中的一个定理.下面笔者用实例说明,权作抛砖引玉.题源设x1,x2,…,xn是正数,求证（1/x1＋1/x2＋…＋1/xn）·（x1＋x2＋…xn）≥n2.     

构造方程 出奇制胜

在解析几何中，有一类问题若采用构造方程法求解，规律明显，方法巧妙，事半功倍．一般地，此类题有下面两个特征：题目的图形特征：两点失第三点；1．描述第三点的量为系数；构造的方程特征2.描述两点的两个量为根．例1过圆（x-a）2＋（y—b）2=r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆的切线PA、PB，A、B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．解题目的图形特征：两点人B夹第三点P．如图1所示．设A（X1，y1），B（Bx2，y2），则过A点的切线PA的方程为：（x1-a）（x-a） （y1-b）（y—b）=r2，即（x—a）x1 （y-b）y1=a（x—a）＋b（y—b）＋…     

“箭头法”解一次因式积的不等式

在不等式的教学中，我门往往会碰到解高亥不管式的问题．如果给出的一元高灰不等式，能路转化成若干个一次因式积的不管式，则可采用本文介绍的"箭头活"迅速写出真解集采．解题D诀是：小大一字排，箭头插进术，大雾竖方苗，小霎隔仅栽，数二间正在，要元额角埋，不着连在6，批点要除开．冥体做法如下：（l）将所结一元nR不等式转化为一次因式积的不等式，使它为下列四种形式中的一＠：（x＋a；）（x＋a。）．··（x＋a。；）（x＋a。）＞0①（x＋a；）（x＋a。）...（x＋a。；）（x＋a。）？0＠（x十a；）（x＋a。卜·（x十a。；）（x十a…     

巧用卢卡斯数列解题

卢卡斯数列其通项公式为：该数列性质丰富，应用广泛．本文巧妙地利用它来解题，简洁明快、别具一格．例1化简（数学通报1993年第3期《根式的化简》一文例1）故原式注：此题运用了卢卡斯数列的性质例3试证：对任意的自然数n，数1＋能被2~n整除（［x］表示x的整数部分）．（第17届全俄中学生数学竞赛题第3阶段试题）证明注：类似地还可以证明：兰nR正整数的，大于（3＋、了）‘”的最山整数能被2’。整除．（1987沃苏州高中数学亮慕题〕巧用卢卡斯数列解题@李显权$四川省富顺师范学校!643200     

一个不等式的应用

高中代数下册（必修）习题十五第6为：已知ad≠be，求证：（a2＋b2）（c2＋d2）＞（ac＋bd）2．若去掉已知条件，则有（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（*）当且仅当ad＝be时取“＝”号．若灵活巧妙地顺用或逆用（*）式，可一些问题获得简洁的解证．例1若实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2十y2＝e（a≠b），则mx十ny的最大是昙（）解依题没，据（*）式，有ab＝（m2＋n2）（x2＋y2）≥（mx＋ny）2故应选（B）．例2若a、b、c、d∈R ，则一（1＋1）’一4．故应填4．例3若X’十／一1，则3X＋4y的取值范围是解依题设，据（。）式，有（3X十4y…     

一类范围问题的简便解法

通常我们在解题时，总是把汪意力集中在那些主要变元上，（其它变元表示主元成为思维定势）这当然是不可非议的．但是，若我们变换思维角度“反客为主”，常能取得解题突破．经常这样做，不仅能提高我们的思维能力，而目能获得简捷而又巧妙的解法．这对培养我们的学习兴趣无疑是有好处的．请看例1k是什么实数时，方程＋3的解是负数？（高级中学试验课本《数字》P37）分析本题一般求解方法是由原方程解出x，即用k表示x（这一过程需要对k的取值进行分类讨论才能完成），然后由x＜0建立关于k的不等式，再解此不等式．但是，如果我们“反客为主…     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

有条件二元函数最值问题的解题策略

问题1（苏教版必修5，P96）已知正数x，y满足x＋2y=1，求1/x＋1/y的最小值．     

点到直线距离公式的几种不等变形及应用

在解析几何中，公式表示点（x0，y0）到直线ax＋by＋c=0的距离．在代数中，灵活运用这一公式的不等变形，解证一类不等式或求函数值域（最值）及变量取值范围等，常能收到形象直现、化繁为简的效果．下面给出三种不等变形，并分别举例说明其应用．它的几何意义是：直线l：ax＋by=0外的任意一点M（X0，y0）到该直线的距离不大于这点到原点的距离，如图1．将不等式①两边平方，即得柯西不等式（ax0十by0）~2（a~2＋b~2）（x十y）．这是一个应用广泛且重要的著名不等式．例1求函数的最值，并写出使y取得最值时工的集合．（1991年全国高考题）…     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…