秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

一道数学竞赛题的两种简捷解法

去年全国高中联合数学竞赛第二试第二题是这样的:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M,使△BMD 为等腰直角三角形.(图形见本期 P40图7)这道题的解法可分成三类:1°平几证法;2°解几证法;3°复数证法.所运用的知识是紧扣中学现     

一道平几题的简易证法

下述命题是一个常见的几何题,一般的证明方法是本文的证法一;而证法二(见《数学通报》1982。6期,P5,例十,也有其繁杂的一面,对此命题,我想给出一种较简单的证法,也就是本文的证法三。为了比较,对前二种证法略述在前,最后给出证法三。原题由圆外一点A引两切线AS、AT (S、T为切点)。过A引圆的任一割线APQ交ST于R,若M为PQ中点,则AP·AQ=AR·AM. 证法一先证A、S、M、O、T五点共圆,再证△ASR∽△AMS。这是一种常见的证明方法,且证明步骤繁杂。     

两道课本习题的多种解法

一题多解既可使所学知识发生纵横联系,又能培养我们思维的广阔性、发散性、灵活性.现就课本习题举例如下. 例1 已知:梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC求证:AC=BD.(几何第二册,第171页). 证法一如图1,直接证明△ABC≌△DBC,即可. 证法二如图2,过点C作CE//BD,交AD的延长线于E.证明△CDE≌△ABC即     

从威森波克不等式的证明谈起

从威森波克不等式的证明谈起武爱民（河南鹤壁四矿中学４５８０１０）威氏不等式：ａ２＋ｂ２＋ｃ２４３△（其中ａ，ｂ，ｃ和△分别为△ＡＢＣ的边和面积）．目前人们已发现了它的十多种证法，而且被加强为ａ２＋ｂ２＋ｃ２４３△＋（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ...     

三角形对称不等式的简捷证法

本文介绍一类三元对称不等式的一种证法.设a、b、c为△ABC的三边长,则方程组     

利用圆证明勾股定理

勾股定理是八年级下册的内容,在课本中给出了几种几何面积证法的证明,现在利用圆的性质给出若干证明.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,求证AB2=AC2+BC2.证法一利用切割线定理证明     

Euler不等式的简捷证明及其加强

设△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R、r,则有R≥2r,等号成立当且仅当△ABC为正三角形,这就是著名的Euler不等式.文[1]给出了巧妙的三角证法,文[2]给出了几种证法并将其推广到四面体中.本文再给出一种极为简捷的证法及其加强如下: 1.Euler不等式的简证     

勾股定理的证明

关于勾股定理,有很多证法.证法1是欧几里得证法,证法2用的是面积割补的方法. 证法1 如图1所示,在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE、BCHK、ACFG,它们的面积分别是c2、a2、b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形面积之和.     

一平几命题的又一新证法

命题在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．此命题是沈文选先生在文［１］中给出的一个结果,宿先生在文［２］中给出了平几证法,但证法中用到了弦角公式．受...     

一道代数题的多种解法与推广

有这样一道常见的代数题砚目.二y’之‘一。:一万 (3)t盆一(a一:)t+z“一az若实数羌’、’满足等式{x+y+之~a,夕2+少,+之名山(z)(s)知二、y是方程o22其中a>“·求证·。《二(争,。‘,蜡‘。‘:、粤。· 本文先从几个不同的方面给出它的五种证法,后再将它推广到一般情形. 证法一(判别式法)然+誓一。的两根.因X、,为实数, ·“△一(口一,,一‘(之“一+誓)》。由此得“啼‘争·同理可证。命蜡“,““夕、号口·(以下各证法中均省略这句话, 证法二,(解析几何法) (1),(2)的几何意义是直线二十y=a一z与圆.由已知得·{x十y=a一二. 尹么‘“十y“一…     

1+sin 2θ-cos 2θ/1+sin 2θ+cos 2θ=tgθ的几种证法

本文就高中《代数》(甲种本)第一册第1昵页第3题的第8小题围绕半角的三角公式给出几种证法,以便激发同学们的学习兴趣,并藉以说明如何灵活地运用公式,以期有助于复习巩固所学知识,培养思维能力.利用tg夕=:i,7介口1+:。虑日和才召忿夕=1一co‘旦日1+cosZ台得到1+51;,2召一c(。52“1+52),Zd+eo52已::。竺0/(1+:。:20)+(]一走。:全[))/(1十eo:9口题目:证明1弓一、;,22口一‘052日矛名口1+s:nZ口八工+。o:2夕)1+‘z于22白+‘。62创tg夕+19艺夕洲 一充分5lJ用题目本身的条件 1若注意到条件:::口十。。:O斗。容易得到下面的两种方法 证法一由于:…     

给一不等式新的证法

不等式>1)的常规证法是“分子有理化”,即令,然后证明 今用“构造法”证明之,则更为直观: 构造 Rt△ABC和Rt△ABD(如图),使 则 在 一目了然.     

涉及直角三角形一命题的面积证法

文［１］中给出了：命题　在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．图１文［２］给出了上述命题的纯平几证法．但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题．尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸．为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考．证明　如图１,设Ｏ１Ｏ２的双向延长线分别与ＡＣ、ＢＣ相交于Ｍ、Ｎ,又设∠ＡＣＤ＝α,则∠ＢＣＤ＝９０°－α,　　ｓｉｎα＋ｃｏｓα…     

别证一道几何题

<正>《中学生数学》2014年5月下刊登了陈明儒老师的一文《巧用相似三角形解题》,文中利用构造相似三角形证明如下一道几何题:已知:在△ABC中,AB=2BC,∠B=2∠A,求证:△ABC是直角三角形.本文拟给出另一种证法,供同学们参考.     

短论荟萃

涉及直角三角形一命题的纯平几证法７１３１００陕西省兴平市南市中学吕建恒命题在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．此命题是沈文选先生在文［１］中给出的...     

一道平面几何习题的简捷证法

初中《几何》第二册复习参考题六的第4题,教参给出的证明显得有些繁琐,笔者有一简捷证法,现介绍如下:△ABC 中,角平分线 AD、BE 交于点 I.求证:     

关于三角形角平分线一个猜想的简证

读了本刊1994年第5期第31页《关于三角形角平分线的一个猜想的证明》一文,深受启发。本文给出仅用初中知识的一种简捷证法。 设△ABC的三边a、b、c,其对应的角平     

tg(A/2)+tg(B/2)+tg(C/2)≥3~(1/2)新证

众所周知,在△ABC中,有不等式 tgA/2+tgB/2+tgc/2≥3~(1/2) (1) 当且仅当△ABC为正三角形时取等号。本文介绍不等式(1)的一种新证法。证明∵tgC/2=(1-tgA/2tgB/2)/tgA/2+tgB/2)     

构造辅助线解几何题两例

<正>在解几何题中,有时候恰当地构造辅助线,可以有效地打开思维,化繁为简,起到很好的解题效果.下面以两道题为例来进行说明.例1如图1,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E,且BD=EC.求证:AB=AC.证法1如图2,连接OD、OE.∵OB=OC,OD=OE且BD=CE,∴△OBD≌△OCE(SSS),∴∠B=∠C,∴AB=AC.证法2如图2,连接OD、OE.∵BD=EC,