任意五等分点组都不共球的空间闭曲线

Zindler于1918年发表了如下结果:设有可求长空间闭曲线,今将这曲线四等分,考虑这种分点的组,显然组中的一点可完全任意取,所以有无数个组存在.在这无数个组中至少存在这样的一组:它的四个等分点在同一平面上. 在文献[1]中,高桥进一又给了上述结果的简单证明,然后他提出这样一个问题“在可求长空间闭曲线的五等分点的组中,是否存在一组在同一球面上?”,并说“这个问题直至现在(1964)尚未解决”. 文献[1]还指出,不可能用[1]中论证四等分点组的方法解决五等分点组的问题. 本文的目的在于构造一条空间闭曲线,它的任意五等分点的组都不在同一球面上.于是从反面解决了上述问题. 在构造这条曲线之前,首先注意如下的两个简单事实. 命题A 设球O上有不共面的4点A、B、C、D,又设点E在球O内,则A、B、C、D、E五点不共球.     

求超越方程复根的圆等分点法

§1.问题的提出及基本定理 考虑下列超越方程: f(x)=0 (1)的求根问题。本文始终假定f(x)是p阶整函数,其中p是正整数。我们不要求x是实数时f(x)取实值,也不要求f(x)只有实零点。寻求方程(1)复根的问题,在理论上和应用上都是有意义的,因此引起了人们的兴趣。任给复数x_0,假定与x_0距离最近的根只有     

圆的等分

“数学教学”1953年第1期刊载了柯尔金斯基的一篇有趣的文章——“等分圆周法”(译文见数学通报1955年第5期).此文给出和论证了将圆任意等分的近似的几何方法.这个分法,正如该文作者指出的那样,在实践中被广泛地应用着.据我们所知,这篇文章第一次给出了这个作图的论证.过去阿哥诺莫夫在一篇名为“数学杂志介绍”的文章中,曾不加证明地提到了这个近似方法(见1914年第5期的“数学教育”——     

线段的多等分

用尺规作图法来将一段线段二等分,是一个相当简单的问题,但对于如何用尺规作图法三等分一段线段,甚至五等分、七等分,对于一个学生来说,是一个很陌生的问题,鉴此,我做了一些研究性的学习,并取得了一些成果。     

等分圆周法的改良

用尺规等分圆周,即作正多边形的问题,早已由高斯(Gauss)所解决了。由高斯公式p=2~2~k+1可知,当k通过扩大自然数集时,若p表一素数,则存在将单位圆p等分的尺规作图法。由公式可知在100以内的边数为素数的正多边形能用尺规作出的仅2、3、5、17四种正多边形而已。并且正十七边形尺规作图法虽有多种,但均较繁难,故在实际应用时仍多用近似作图法。其它的无法用尺规准确作出的正多边形(如正九、十一、十三等多边形)当然只好用近似作图法了。     

另类的四等分圆

<正>尺规作图已经有2000多年的历史,四等分圆是一个简单问题——只需作某直径的一条垂直平分线即可.今天笔者准备换一个角度,梳理梳理历史上有限制的、另类的四等分圆.一、拿破仑问题——限制只用圆规众所周知,拿破仑很喜欢数学,平面几何中有以拿破仑命名的定理.据说他曾经给欧洲数学家出过一道有趣的作图题——现在我们称之为拿破仑问题.     

借助等分圆周解题

借助等分圆周将“数”的问题转化为“形”的问题,这对于解决某些属于初等数论范畴的问题(包括数学竞赛题),简单、直观、奇妙,且富有成效。让我们先看一个比较简单而颇有启发性的例子。例1 求证:对任何自然数x,和数1+2+3     

等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

一类椭圆曲线的正整数点

本文研究了一类椭圆曲线的正整数点个数的问题.利用二元四次Diophantine方程的新近结果,给出了这类椭圆曲线的正整数点个数的上界,推广了文献[4]中的结果     

巧用点在曲线内

解析几何中涉及到动直线与二次曲线相交问题 ,若能利用点在曲线内部求解 ,常能使问题化繁为易 ,迎刃而解 .以下举几例说明 .例 1　已知圆Ｃ :ｘ2 + ｙ2 - 2ｘ - 4ｙ - 2 0=0 ,直线ｌ:( 2ｍ + 1 )ｘ + (ｍ + 1 ) ｙ - 7ｍ -4=0 ,求证 :无论ｍ取何实数 ,直线ｌ与圆Ｃ恒相交 .分析 :判断直线与圆的位置关系 ,通常运用判别式或比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 .这样运算量往往很大 ,若能确定动直线所过的定点在圆内 ,就能解 .证明　圆Ｃ :(ｘ - 1 ) 2 + ( ｙ - 2 ) 2 =2 5,易求直线ｌ过定点Ｐ( 3,1 ) ,且 ( 3- 1 ) 2 + ( 1- 2 ) 2 =5<2 5.即…     

n-单形的m阶等分点集与零多项式的判定

通过递归方法定义了N-单形的m阶等分点集.证明了n元m次多项式f为零多项式的充要条件是:f在任意n-单形的m阶等分点处的取值为0.然后将这一结果应用到插值方法的适定点问题和几何定理机器证明的数值并行法.     

一道面积等分题的变迁

东阳市2003年初二数学考试有这样一道题目:如图1,在五边形ABCDE中,∠B=∠E-90°,AB=CD=AE=BC DE=2. (1)求五边形的面积; (2)求证:CA平分∠BCD,DA平分∠CDE; (3)若ABCDE是菜地:你怎样平分给两户农民? 老师给出的参考答案是:     

不均匀等分平面坐标系

<正>在学习函数时,首先要学到自变量和函数用平面坐标系表示,一般平面直角坐标系横坐标轴为x轴,纵坐标轴为y轴.平面直角坐标系的坐标轴上均匀等分单位为1.平面极坐标系中极轴和极角都均匀等分,极轴均匀等分单位长度为1,极角均匀等分单位角度为1°.坐标轴上数值均匀等分特点是能够准确表达两个     

共轭曲线的奇异点和根切界限点

在齿轮加工和设计中常遇到齿轮的根切和干涉问题。目前在平面啮合理论中对根切(或干涉)的一般条件并未完全弄清楚,[1]中未加证明地认为共轭曲线的奇异点就是根切界限点,实际上并不完全是这样。本文分析了根切现象的几何本质,从而得出根切(或干涉)的一般条件,指出除了通常熟知的第一类根切界限点外,还存在第二类根切界限点,后者尚未见诸文献。此外,文中讨论了解析曲线上奇异点曲率半径的情况,找出共轭曲线     

用Cesàro方法计算等时摆及摆绳等分点的运动轨迹

基于等时性和利用微分几何中的Cesàro方法,解析地确定等时摆球的运动轨迹以及限制摆绳运动的曲线,同时还获得摆绳上不同等分点运动曲线的一般解析式.所得结果将有助于全面认识此等时摆系统的运动学规律.     

不可忽视点在曲线内部的作用

我们知道,下列不等式: 分别说明点(x0,y0)在圆、椭圆、双曲线、抛物线的内部.有关圆锥曲线的问题,我们常常是从定义和性质出发来考虑的,至于点在圆锥曲线的内部往往不被重视,其实点在圆锥曲线的内部有时在解题中有十分重要的作用.     

点集Bézier曲线

提出了点集Bézier曲线的概念,给出了点集Bézier曲线的性质及细分算法.按照点集算术的定义,当点集是长方形闭域或圆盘时,点集Bézier曲线就是区间Bézier曲线或圆盘Bézier曲线,因此,点集Bézier曲线是对区间Bézier曲线和圆盘Bézier曲线的推广.     

曲线y=x~3的切线与曲线公共点的个数

曲线y=x3是我们比较熟悉的一种曲线,它的切线与曲线的公共点个数很有意思,除原点外,它在其他任一点处的切线都有两个公共点,其中一个公共点是切点,另一个公共点的横坐标是切点横坐标的-2倍,下面给出这个结论并给予证明.结论1除原点外,曲线y=f(x)=x3在     

曲线y=x^3的切线与曲线公共点的个数

曲线y=x^3是我们比较熟悉的一种曲线,它的切线与曲线的公共点个数很有意思,除原点外,它在其他任一点处的切线都有两个公共点,其中一个公共点是切点,另一个公共点的横坐标是切点横坐标的-2倍,下面给出这个结论并给予证明．