三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...     

一个三角形几何不等式的推广

首先从第3届国际数学奥林匹克IMO竞赛命题中一个三角形几何不等式出发,将问题推广到对更一般的三角几何不等式及多边形几何不等式的研究.然后利用凸函数的Jensen不等式,得到更一般的三角形几何不等式及圆外切多边形几何不等式,推广了原命题.     

一个三角形不等式的指数推广

1994年，王振发表了关于三角形内角的如下不等式[1]其中自然数n≥2．本文将指数n的范围推广为：其中p、q是自然数．先建立下面的引理．引理设AZ90”，C＜30”，则（。）式成立．证明由0”MBM18O”一AM180”，知（。）式的证明情形（i）当A川班为锐角三角形时，由下＞1及幂平均的单调性，情形（h）当thABC为非锐角三角形时，不妨设AMB＞C．①若A＞120”，则由B＋C＜60”知，C＜30”，由引理知，（。）式成立．②若90”芍AM120”，由引理知，只需证c＞30”的情形．此时，由60“MB＋C＜90”知，30“MBM60”，30”MC＜45”，从而0…     

一个三角形面积不等式的推广

文献 [1]给出一个三角形面积不等式 :设面积为△的△ ABC的三边长为 a、b、c,令a1=(b c) ,b1=(c a) ,c1=(a b) ,则以 a1、b1、c1为边可作成△ A1B1C1,并设其面积为△ 1,则有　　　　　△≤△ 1. (1)本文将围绕上述定理进行推广 .1　预备知识引理 1[2 ] 　设△ ABC的三边长及     

一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

三角形内任意点的又一个新的不等式

第37届IMO有一道预选题,设O是△ABC的外心,连OA延长交△BOC的外接圆于A′,类似连OB,OC延长分别交△AOC与△AOB的外接圆于B′,C′,求证:OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·OC·(1)交[1]以△ABC内的内心、垂心、重心来代替不等式(1)中的外心O,证得不等式(1)仍归成立,本人也曾证得对三角形的费马点,勃罗卡点不等式(1)亦成立,此外本人曾企图对三角形另外的一些特殊来证明不等式(1),却屡屡不能得手,功夫不负有心人,近日本人却意外地证得不等式(1)对三角形内任意一点都成立,以下设O是△ABC内任意一点,其余条件不变来证明(1)式成立·…     

涉及四面体内点的一个不等式的推广

文L1j给出’F列命题: 设,为四面体A—BCD任一内点,以,、BI、CI、DI的延长线分别交对应面于A’、B’、C’、D’。,则 筹+为+吕+夥≥12 ① JA’ 。,B’ ‘JC’。,D’,/、… 经研究发现,该不等式还可以作更一般的推广,即 (砑AI)”+(面BI)。+(刀CI)”+(丽DI)“ ≥4·3“ (”∈N). 证明 由常用不等式 ∑z,如≥告(∑xr)(∑圳知(砑AI)“+(面BI)”+(万CI)一+(丽DI)“≥≯1牙AI+为+吕+器).[(等r’+(面BI)“+(万CI)…+(珂DI)一]≥[÷c篇+为+器+为圩·[(筹广z十(面BI广z+(万CI广z+(丽DI厂z]≥‘百1(砑AI+高+昌+器)]一·(砑AI+B…     

关于三角形与点的一个不等式

涉及三角形与一个动点的不等式是一类有趣的几何不等式.在文献[1]中作者曾运用重要的惯性极矩不等式证明了下述不等式:对△ABC与平面上任一点P有PA2sinA/2+PB2sinB/2+PC2sinC/2≥3r2,(1)其中r为△ABC的内切圆半径.……     

一个三角形不等式

定理设a、b、c为△ABC三边之长，则证明记s、R、r为△ABC的半周长、外接国半径与内切圆半径，由等及熟知径与内切圆半径，由等及熟知又由恒等式：所以①式等价于4Rs2（2R 2r）因为后一式为欧拉不等式．故由Gerretsen不等式所以①式成立．易知取等号的充要条件为△ABC是正三角形．一个三角形不等式@万锦文$湖北省咸宁鄂南高中!437100     

三角形的一个不等式

中国科技大学常庚哲同志在文[1]中用复数证明了以下问题: [问题1] 从△ABC的顶点A、B、C各作角的平分线分别交对边于D、E、F,则成立: △DEF的面积≤1/4·△ABC的面积,式中等号当且只当△ABC为等边三角形时     

一个对偶的Hardy-Hilbert不等式

建立一个对偶的Hardy-Hilbert不等式,它是Hilbert不等式的具有最佳常数因子的(p,q)-参数形式的推广.本文还考虑了它的更一般的推广形式及等价形式.     

三角形的一个性质及其推广

三角形是最基本的几何图形之一,本文拟介绍三角形的一个性质,并运用类比推理的方法将该性质进一步推广到平面多边形和空间多边形.     

关于三角形中线对偶的一个定理及其应用

符号说明：本文中a,b,c,ma,mb,mc,△,P分别表示△ABC的三边、三条中线、面积和半周长．     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

三角形中的一个不等式

定理①:设△ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为S,面积为△.     

一个不等式的加强及其推广

笔者在翻阅文[1]时,看到如下问题问题1已知x12 x22 … x2100=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[1]指出,可以构造多项式x2-2x 1=(x-1)2≥0进行证明.读完文[1],笔者就想,既然可以构造(x-1)2≥0和(x-3)2≥0来进行证明,那么用其他形如(x-a)2≥0的表达式进行证明行吗?经过试验可知,取a=12时达不到目的,只能得出i1∑=001xi≤325;而当取a=2时,得到了不等式∑100i=1xi≤7400<200,这不仅证明了问题1,而且还把所要证明的不等式∑100i=1xi≤200进一步加强为∑100i=1xi≤7400.因此,我们有理由猜想,在所有不等式1∑00i=1xi≤Bt中,只要选择适当的a,利用(x-…     

三角形内点到各边距离之积的一个不等式链

设△ABC的三条边长分别为a、b、c,内切圆半径、外接圆半径、半周长分别为r、R、s,本文在研究三角形内点到各边距离之积时,得到了一个新不等式.首先给出几个引理.引理1设△ABC外心O到三边的距离之积为DO,则DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2](∏表示循环积,下同).证明由文[1]知,外心O到三边的距离分别是R cosA、R cosB、R cosC,所以外心O到三边的距离之积DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2].引理2设△ABC重心G到三边的距离之积为DG,则DG=827R3∏sin2A=2p2r227R(2)证明由文[1]知,重心G到三边的距离分别是23R sinA sinB、23R sinB sinC、…