关于“三线八角”

两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,形成了8个小于平角的角,我们通常将这样的几何模型简称为三线八角,如图1所示.其中没有公共顶点的角可分为三类,即同位角(如∠1和∠5)、内错角(如∠3和∠5)和同旁内角(如∠4和∠5).它们是进一步学习平行线的一个重要基     

几何学概论(二)

(三)罗巴切夫斯基几何的诞生要知道罗巴切夫斯基几何是怎样诞生的,就应该回顾一下欧几里得第五公设的历史.罗巴切夫斯基几何的诞生,归根到底就是试证第五公设的结果.第五公设是这样叙述的:如果两条直线被第三条直线所截,在截线一侧的两个同侧内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一侧无止境地延长之后,一定会相交.     

《一道常见几何题的推广》的简证

<正>读了王敬如老师的《一道常见几何题的推广》(《中学生数学》2015,2(下),P14)很受启发.唯感觉推广1和推广2中的证明较为复杂,本文给出较简单的证明思路.原文大意已知:直线AB∥CD被直线EF所截.(1)如图1,∠BEF和∠EFD的角平分线交于点G.则∠G=90°;(2)推广1如图2,将(1)中∠BEF的角     

直线分三角形两部分面积之比问题的研究

三角形被直线所截得到一个小三角形和四边形,图形虽然简单,而它们面积之比与直线的关系如何?却大有学问.笔者通过研究得到如下具体结论.图11两个定理定理1如图1:若直线L与△ABC中边AB、AC分别相交于D、E,D分BA所成的比为λ(0≤λ≤1),四边形BDEC与△ADE的面积之比为k.则E分CA所     

简单数学模型的理解与应用

<正>1三线八角数学模型浙教版七年级下册第一章平行线第二节《同位角、内错角、同旁内角》中出现了本章节解题的一个模型——三线八角.如图1,三线指的是:两条被截线(直线b、直线c)和一条截线(直线a).此模型中,当两条被截线互相平行时,截线成为了连接两条平行线的一座桥梁,这个模型也是我们解题的重要依据.     

浅谈平行线知识的综合应用

平行线的知识在初一几何中所占地位和所起作用十分重要,是学习几何的基础.解决平行线的综合问题,要注意以下几个方面.首先要分清平行线的性质和判定:在“两条直线被第三条直线所截”的前提下,由同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可以得到     

几何积木——逐步分解图形,开拓解题思路,培养创新意识

一套儿童积木玩具 ,可以拼凑出不同形状的物体 ;由儿童积木拼凑的物体 ,又可拆成若干小块的积木 .几个简单的几何图形 ,可以拼凑出一个复杂的几何图形 ;一个复杂的几何图形 ,又可分解出几个简单的几何图形 .运用这种分解的原理 ,可以将一个图形所表示的复杂的封闭型几何命题 ,通过逐步分解创新出一连串简单的开放型几何命题 ,以此达到化难为易、化复杂为简单之目的 ,从而开拓解题思路 ,培养学生的创新意识 .现就此举例说明 .例 1　如图 1 ,直线 l:y =- 32 x 6分别与 x轴、y轴交于 A、B两点 ,半径为 5的⊙ O1过点 O(原点 )和点 A,交线段 …     

分图解题

分图解题７１３１００陕西兴平市南市中学吕建恒九年义务教育教学大纲中明确要求学生做到“能够由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；在基本的图形中找出基本元素及其关系．”为此，在解题教学中，应指导学生观察题目中图形的特征，分析图形的结构，将较复杂的图...     

构造特殊线在几何证明中的妙用

<正>在几何图形中,有一些常见的具有独立性质的线,如平行线,角的平分线,三角形的中线和中位线,圆的切线等等,它们在图形中有着重要地位,也常常是证明几何题的重要条件.如果在已知图形中没有这些特殊线,但解题时又需要借助于特殊线的性质,那么就构造适当的特殊线,从而摆脱困境.1构造平行线平行线的性质主要有:两条平行线被第三条直线所截,则内错角相等,同位角相等,同旁     

例谈逆命题的写法

我们知道,命题是由条件和结论两部分构成,通常表述为:如果A,那么B的形式,其中A是命题的条件,B是命题的结论.譬如:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行.其中内错角相等是条件,两条直线平行是结论.     

小小辅助线蕴含大奥妙

<正>在数学的几何世界中,有时辅助线是我们解决问题的关键,但许多人不会利用辅助线,在一些梯形中,我们可以将梯形的两条边延长,构成三角形去解题;在一些复杂图形中,我们也可以做辅助线,使得复杂图形变为基本图形后再解答,这使得精通基本图形的同学可以轻而易举地找出这道题的题眼,顺势作答.下面的这些范例很好地诠释了辅助线的用处之大!(1)如图1,过D(1,0)作直线分别交AB,BC于E,F两点,设E,F两点的横坐标分别     

关于“相似形”中有关教材两点处理意见

(一) 初中几何课本第二册“相似形”这一章的第四节写的是“三角形一边的平行线的判定”、它是在证明了“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例”这一命题的逆命题:“如果一条直线截三角形的两边,其中一边上截得的一条线段和这边与另一边上截得的一条对应线段和另一边成比例那么这条直线平行于第三边”。由于原命题的结论(比例线段)不只一种,从而其逆命题的条件(比例线段)也不只一种,即除上述一种形式外,还有如下形式。如图(1)在△ABC中。若AD/DB=AE/EC,则DE//BC由上述定理,根据比例性质易证后一种形式的逆命题为真。就得到了推论:若一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边。     

对教材中一道习题的思考

通用初中《几何》第二册第129页第5题: (1)已知00与00/外切于点A,经过A的直线BC和D乒,B尽交00于B、交00产于点C,·D百交OO于点D、交00产于点E.求证:BD// CE(见图1).129页题6 两圆相切是相交的特殊班,:.那么相切意义下的题(l)能否在相交意义下得以排广之?【口答兄肯定的只要把(l)中“过切点的两直线”视为“分别过两交点的直线”命题即(图1) 这是一道联系公切线、弦切角、圆周角等概念的几何证明题,图形结构简单,难度不大,学生习作不会感到困难.因此,教学中容易低估它的作用.如果对‘1)认真进行研究,从图形的结构、命题的逆及等圆意义…     

从几何图形中提取“A”形或“X”形解题

在学习三角形相似判定方法中,用的较多的一种便是两角对应相等得相似,由此衍生了"平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,则所构成的三角形与原三角形相似"这一性质.转化为图形即为图1通常称为"A"形,图2称为"X"形.解题时都是从较复杂的图形中提取出这两种图形,看似简单,但真正做起来并不容易.     

细数三线八角

精选妙题如图1所示,平行直线EF、MN被相交直线AB、CD所截,请问图中有多少对同旁内角?常规策略     

微话题研讨:寻找素材,追求和谐——以“平行线分线段成比例的基本事实”的探究为例

义务教育数学课程标准（2011年版）要求“掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.”在近期的课题组活动中,围绕这一基本事实的教学,我们进行了专题研讨,在研讨的基础上安排了研究课,收获非常多.在此笔者分享部分专题研讨内容、教学片断和几点反思,以期得到更多同行的指导.一、专题研讨话题一:教材如何处理?探究:（人教版九年级下册第29页）如图1,任意画两条直线l₁,l₂,再     

一个值得重视的几何定理

为了拓广几何的解题途径。我们对平面中有关三条直线共点而又被另一些直线相截这类问题进行了精浅的研究,由三角形的面积公式出发推得一个较有实用价值的几何定理。因为它揭示了三条共点射线被另外直线截割而产生的张角正弦值与截得线段之间的比例关系。为叙述方便起见,权且将它定名为“截割角边比定理”(是否妥当,尚需商榷)。运用截割角边比定理来证明几何中的有关截交一类的定理(如梅涅劳斯定理,蝴蝶定理等)以及线段相等,不等与成比例等问题,具有思路明朗,书写简捷,规律性强等点。因此,这一定理值得重视。一截割角边比定理共点三射线PM,PN,PK被直线EF相截,其交点分别为A,B,C(如图所示),设∠APC=a,∠BPC=β,则     

一道线段计数题的引伸

人教版《几何》第一册17页第6题是:在图1中的两条直线上,各有哪几条线段?像这样的计数题,如果先找出规律再数,就可避免重复和遗漏.这里以第二条直线为例来说明这个计数规律:以A为一个端点的线段     

探究正方体中的截面问题

用一平面去截一立体图形所得平面图形,实质上是对空间想象能力和平面基本定理的考查.对作截面的方法有如下两种:(1)利用平面的基本定理:一条直线上有两点在一平面内,则这条直线上所在的点都在这个平面内.两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线.(2)利用线面平行及面面平行的性质定理,去寻找线面平行及面面平行关系,然后根据性质作出交线.笔者将从以下     

图形运动变化中的沟通深化

以运动的观点发现数学定理间的联系, 在运动中观察几何元素之间的关系,分析过程,强化思维,这在运用多媒体的过程中,确实能起到化难为易,举一反三的功效. 例1 图1所示是相交弦定理的基本图形,两条直线的交点P在圆内.通过多媒体课件作如下展示:把交点P移到圆外,如图2