在平凡中创新——2008年江苏卷第18题评析

2008年高考江苏卷第18题:在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+t(x∈R )的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为C,求圆C的方程.……     

两道湖北省预赛题的另解

题1(2011年湖北省预赛第9题)已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且函数y=f(x-1/2)是偶函数.(1)求f(x)的解析式;     

一道高考试题的推广

2008年高考江苏卷第18题是一道有关二次函数与圆的解析几何题：在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x^2＋2x＋b（x∈R）与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C．     

2009北京大学自主招生不等式题的巧解与引申

题(2009年北大自主招生)已知对任意实数x,均有a cosx+b cos2x≥-1恒成立,求(a+b)_(max).文[1]给出了一种解法,先将恒成立问题转化为一个二次函数的最值问题,再分三种情况进行讨论,     

运用根与系数关系解二次函数有关问题

<正>一元二次方程中"根与系数的关系"是一个重要内容.那么在二次函数中又有哪些常见题用到根与系数关系呢?我们来看一看.例1抛物线y=2x2+6x+m与x轴交于A、B,且AB=2.求m值.解设A(x1,0),B(x2,0).当y=0时,对应一元二次方程为2x2+6x+m=0,∵x1、x2为方程的两不等实根,∴由根与系数的关系可得     

关于函数及其反函数交点问题的探讨——一道高考试题引发的思考

2007年重庆高考数学试题文科第(10)题,题目是这样的:设P(3,1)为二次函数f(x)=ax2-2ax+b(x≥1)的图像与其反函数y=f-1(x)的图像     

从一道题到一类题

文[1]利用整体置换解决了下面的题目:原题若实数a,b,c满足a相似文献   

闭区间上二次函数最值求法及应用

<正>在高中常遇到在区间[α,β]上讨论最值,解这类题常感困难或出错误,因而探讨这类题的解法无疑是十分必要的,那么怎样讨论这类题的解法呢?现介绍如下:一、求闭区[α,β]上二次函数最值的方法设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),结合二次函数的图像有:     

对一道竞赛题的解法的补注

20 0 2年全国高中数学联赛第一试 1 5题是这样的 :设二次函数 f ( x) =ax2 + bx +c　 ( a,b,c∈ R,a≠ 0 )满足条件 :( 1 )当 x∈ R时 ,f( x - 4) =f( 2 - x) ,且 f ( x)≥ x;( 2 )当 x∈ ( 0 ,2 )时 ,f ( x)≤ ( x + 12 ) 2 ;( 3) f ( x)在 R上的最小值为 0 .求最大的 m( m >1 ) ,使得存在 t∈ R,只要x∈ [1 ,m],就有 f ( x + t)≤ x.(原解详见本刊 2 0 0 2年第 1 2期 P38)今年的这道试题出得很好 ,原因在于 ,它能从陈题出发 ,改革陈题 ,推陈出新 ,分析原题的实质 ,提炼解法的关键 ,然后纵向延伸、横向拓广或触类旁通作移植与类比 ,从而…     

求二次函数解析式的题型归类及解法

2004年全国各地的中考数学试卷中几乎都考到了函数,特别是后面的大题中,不少是以求二次函数解析式为主的综合题,这些题主要有以下几种类型.一、借助二次方程根与系数的关系来确定二次函数的解析式例1(2004年上海市)在直角坐标系内,点O为坐标原点,二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图像交x轴于点A(x1,0),     

例谈探究题的变式

中考试卷中有很多试题非常典型,教师只要对试题恰当变式,引导学生对这些试题进行合理探究,就可以做一题,懂一类,会一片.从而脱离题海,轻松学习,使学生由学数学向研究数学转变,现举一例.题目(2010年湖北省荆门市中考试题第24题) 已知:如图1,一次函数y=1/2 x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=1/2 x2+bx+c的图象与一次函数y=1/2 x+1的图象交于B,C两点,与x轴交于D,E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.     

求二次函数解析式“三注意”

<正>二次函数解析式是函数一章的重点内容,求二次函数的解析式不仅用到二次函数的有关知识,而且还用到一些数学方法例如配方法、待定系数法,必须认真学好,并注意以下三个问题:一、注意掌握解析式的三种基本形式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),即二次函数的定义式.2.顶点式:y=a(x+m)2+n(a≠0),其中(-m,n)是抛物线的顶点,x=-m是对称轴.这种形式是由一般式经过配方得来,所以这种形式也叫配方式.3.双根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标或方程     

“解法辨析”之再辨析

文[1]分析了一类与二次函数有关的常见题型,并指出了文[2]解法的不足.我们分析后发现,文[1]题2、题3也存在严重疏漏,试分析如下:例1(文[1]题2)已知二次函数f(x)满足条件:(1)f(-1)=1;(2)对一切x∈R     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

一道中考题带给我的多种想法

<正>2014年济宁中考第8题"如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的根."请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m、n(m相似文献   

一道联赛题的两种解法

1999年全国高中数学联赛第三题是一道三角不等式问题 ,难度适中 ,能充分考查学生的基本素质 .题目　已知当x∈ [0 ,1]时 ,不等式x2 cosθ -x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .命题组提供的解答构思巧妙 ,方法独特 ,但技巧性较强 ,学生不易想到 .下面介绍两种学生容易接受和掌握的常规解法 .方法一　 (判别式法 )设　f(x) =x2 cosθ-x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ=( 1+sinθ+cosθ)x2 -( 2sinθ +1)x+sinθ ,易知二次函数 f(x)的对称轴x =2sinθ +1( 2sinθ+1) +( 2cosθ +1) .由x∈ [0 ,1] ,f(x)恒正可知f( 0 ) =sinθ>0 ,　f…     

对无理函数最值问题的多种解法的探讨

试题 已知函数y=√(3-x)+√x+1的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为A.1/4 B.1/2 C.√2/2 D.√3/2此题作为一道选择题,我们容易得出答案为C,但此题同时也是一道典型的形如y=√(ax+b)+√(cx+d)(ac＜0)的求函数最值的题.它是高中数学的一个热点同时也是一个难点.本文研究此题的多种解法,与大家共勉.1 利用二次函数的性质求最值解法1显然y≥0,两边平方的y2 =4+2√(3+2x-x2),移项得y2-4=2√(3+2x-x2).因为x∈[-1,3],所以3+2x-x2 ∈[0,4],.即2√(3+2x-x2)∈[0,4],所以ymax=2√2,ymin=2.解法2由上面变形得到的y2-4=2√(3+2x-x2),两边再平方整理得4x2 -8x+y4-8y2 +4=0.(*)记f(x)=4x2 -8x+y4-8y2 +4,方程(*)在x∈[-1,3]有解.     

用待定系数法求二次函数的解析式

二次函数的图象和性质这一节是初中生感到困难的内容之一,而用待定系数法求其解析式又更复杂一些,通常对一般二次函数有以下三种不同的表达形式: 一般式y=ax~2+bx+c(a≠0) 顶点式y=a(x+k)~2+k (a≠0) 交点式y=a(x-x_1)(x-x_2) (a≠0) 其中抛物线的顶点为(-k,h)x_1,x_2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标,每一种形式     

应用图象研究二次方程根的分布

二次方程的判别式只能判定根的虚实和异同,通过相应的二次函数的图象却能直观地确定根的分布情况,现举例说明如下.例1关于x的二次:亏程丫+2(k+3)x+Zk+4二0两个实根一个大于3,一个小于3,求k的范围. 二次函数f(x)二分+2(k+3)x+2庵+4的图象如图l所示,易见,城使x,<3(均,只要f(3)=     

综合题新编选登

题 91 　已知二次函数 y =ax2 +bx +c(a >0 )图象上存在一点P(x0 ,y0 ) ,满足 y0<0 ,证明 :函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) ,且x0 在x1,x2 之间 .证　∵ y0 =ax20 +bx0 +c =a(x0 +b2a) 2 + 4ac -b24a ,∴Δ =b2 - 4ac =4a2 (x0+ b2a) 2 - 4ay0 ,又a >0 ,y0 <0 ,∴Δ >0 ,故函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) .不妨设x1相似文献