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三、循环论证症病例6。在△ABC中,BC、AC边上的中线AD、BE交于I,求证:AB边上的中线也通过点I。证明:∵任何三角形的三中线交于一点,而AD与BE只有一个交点,所以点I就是△ABC的重心,因此AB边上的中线必通过点I。病理分析:命题所要证明的实质上就是“三角形的三条中线相交于一点”,命题中的提法只是“三角形的三条中线相交于一点”的另一表达形式,而证明过程中第一句话就以“三角形三中线交于一点”作为根据,这怎么可以呢? 相似文献
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惠润科老师在文[1]中给出圆锥曲线的如下性质:过圆锥曲线焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点,且F分AB所成比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.原证明采用传统解析几何的方法,但证明过程较繁琐.笔者利用圆锥曲线的第二定义,并采用数形结合的方法,给出该性质的一个简证.证明以椭圆为例,如图1,AD,BC为准线的垂线,BE垂直AD,F分AB所成比为λ(λ>0),设BF=x,AF=λx(x>0).由圆锥曲线第二定义:BBFC=e BC=1ex,同理AD=eλx,(1)λ>1时,AD>BC,AE=AD-BC,图1图2由图1得cos2α=sin2∠ABE=AABE2=ADA-BBC2=λ-1ex2(… 相似文献
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如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于 相似文献
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1在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE AP=PD.证设AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n.因为∠ACP ∠PCB=90°=∠PBC ∠PCB,所以∠ACP=∠PBC.图1题1图延长AD至Q,使得∠AQC=∠A 相似文献
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命题设P为△ABC内任意一点,直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F则(1)而PD/AD PE/BE PF/CF=1; (2)AP/AD BP/BE CP/CF =2.证明(1)如图1,分别过P、A作BC的 相似文献
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从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用 总被引:1,自引:0,他引:1
本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1 设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2 设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC… 相似文献
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问题 如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1 问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1 图 2 图 3 图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ … 相似文献
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A组一、填空题(每小题4分,共40分) 1、直角三角形斜边上的中线与斜边的比是. 2、已知a/b=c/d=e/f=2/3,则b+d+f/a+c+e的值是. 3、已知:如图,l1∥l2∥l3,AB/BC=4/5,则DE/DF=.(第3题) 4、等边三角形的角平分线与边长的比是. 5、如图,ED∥BC,DF∥AB,AE=1.8cm,BF=1.6cm,FC=1.2cm,则BE=. 6、如图,∠1=∠2,AD/DB=DE/DC,则图中能判定相似 相似文献
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题目已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,且使AE=BD,连结CE、DE.求证:CE=DE. 一、从构造全等三角形证明三角形全等来实现,有证法1~4: 1.延长BD到F,使CF=AE,则BC=DF,BA AE=BC CF,即BE=BF, 相似文献
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<正>问题1[1]P是△ABC内的一点,射线BP、CP分别交AC、AB于点E、D,AP交DE于点G,过D、G、E分别作BC的垂线且垂足分别为K、M、N.证明:1/DK+1/EN=2/GM.证明如图1,作AT⊥BC于点T,连结DN,设DN与EK交于点Q,连结GQ,则由面积关系及平行线性质可得 相似文献
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题目 如图1,已弧AB if cD?f oF,诛、一 1 . 1 1让:丽十面一面‘ 证明 因为AB∥CD印oF, 所以器=器,所以图l丝 丝:1BD。BD “ 故有志 南一壶· 这是相似三角形内容中的一道常见习题,它的结论用途很广.本文就用它来解决一道古典名题:用直尺任意等分平行于一条已知直线的线段. 首先我们给平行于一条直线的已知线段二等分.已知AB∥£,求:线段AB的二等分点P. 作法 如图2所示:1.在直线z上方取一点C,连结AC、BC,分别交z于F、E. 2.连结AE、BF‘交于点(),连结C0并延长交AB于P.P点就是AB的二等分点.图2 证明过O点作MJ\『∥AB交.AC于M… 相似文献
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文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题 设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明 如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A… 相似文献
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命题设I为△ABC的内心,则有不等式:AI BI CI≤3~(1/3)/3(AB BC CA).证明设内切圆I切BC,CA,AB于D,E,F.记AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,则BC=y z,CA=z x,AB=x y.由余弦定理得cos2A=1 2cosA=1 AB22 ABAC·2A-CBC22=(xx( xy )(yx z)z),故IA=sin∠AEAIE=cosx2A=x(xx y)y( xz z).同理I 相似文献
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图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则 相似文献
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1题目呈现
(2010年辽宁本溪市24题)如图1,∠EBF,=90°,请按下列要求准确画图:
(1)在射线BE,BF上分别取点A,C,使BC相似文献