用超级画板探索“余弦树”

几何问题一直以来都是很多数学爱好者的挚爱.近十多年来,计算机的普及和几何软件的出现又掀起了研究几何问题的新高潮.计算机的帮忙使得发现几何命题更加容易,但另一方面,几何学毕竟已经研究了上千年,真正的原创又谈何容易.勾股树是勾股定理教学中一个有趣的素材,其原理是利用勾股定理,不断地将一个正方形     

勾股树作图过程中的数学思考与技术手段

勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠,是中学数学中的一个重要内容.在勾股定理的教学中,弦图和勾股图是两类重要的图形,本文仅就勾股树图的制作说明如何利用几何画板软件中的迭代功能制作动态的勾股树,以及制作过程中的数学思考与技术手段.     

用勾股定理切拼正方形

切拼正方形是中考的一种题型,同学们在做这种题时,常常感到无从下手.为了帮助同学们做好这种题,下面介绍一种方法——勾股法来解这种题.勾股法就是利用勾股定理解题.勾股定理同学们都比较熟悉.在一个Rt△ABC中,a,b     

勾股定理一种证法及其在教学中的价值

勾股定理一种证法及其在教学中的价值哈家定（山东省济宁教育学院２７２１３７）我们知道，勾股定理的直观意义是：直角三角形中分别以直角边为一边的两个正方形面积合在一起恰好填满以斜边为一边的正方形．其直观性在于“填满”．但由于两个正方形难以合成一个正方形，因...     

一个奇妙的勾股数组构成规律

<正>1勾股定理的来历和常见的勾股数组构成规律勾股定理被称作"几何学的基石",在几何学乃至整个科学领域都有着重要意义.关于勾股定理的最早记载出现在中国古代的数学著作?周髀算经?中,里面提到了勾三股四弦五的说法.此外,在?九章算术?中也有勾股定理公式化的论述,但没有证明过程.三国时期,数学家赵爽作?周髀算经注?,列出了?勾股圆方图?和?勾股圆方图注?,对勾股定理给出了严格而又巧妙的证明.在西方,最早对勾股定理给出证明的是公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯,他用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和,为了纪念他的贡献,勾股定理又被称作"毕达哥拉斯定理".     

以勾股定理为背景的中考题

勾股定理,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．我国是最早了解勾股定理的国家之一．我国古代称直角三角形为勾股形,并且把较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,所以称勾股定理,也有人称其为商高定理．勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理．这条定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠,应用十分广泛,被誉为“几何学的基石．”     

第一次数学危机

一个正方形的边长是 1,对角线长就是2 .大家都明白 2是一个无理数 ,可在历史上古希腊著名数学家毕达哥拉斯却否认无理数的存在 ,从而引发了数学的第一次危机 .公元前 6世纪 ,古希腊有个毕达哥拉斯学派 ,为首的就是毕达哥拉斯 .他们认为世界上只存在着整数或整数之比 ,除此之外不会有别的数了 .后来毕老在铺地的花砖上发现了毕达哥拉斯定理 (勾股定理 ) ,为了摸清勾股弦数的底子 ,毕老把筛选三元数 (勾股弦数组 )的任务交给了他的学生希帕萨斯 .希帕萨斯先研究了正五边形 ,(发现其对角线l和边a之比是不能用整数之比来表示的 )接着他又研究了…     

趣谈北京ICM会标

2002年8月在北京召开的国际数学家(ICM)大会,至今已经三年了.然而,对于取材于我国古代数学家赵爽《勾股圆方图》中的大会会标构图,恐怕还留在不少数学爱好者的记忆之中.会标是由四个相同直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形,如图,看起来十分和谐、简明、完美、漂亮.当然,应用该会标构图可以证明勾股定理.此外,对于会标中的直角三角形,如果较     

勾股定理及其逆定理

勾股定理揭示的是直角三角形三边之间 的度量关系,其内容是 如图1,△ABC中, ∠C=90°,CB=a,AC =b,AB=c,则有 a2+b2=c2． 勾股定理最早的文 字记载见于欧几里得 (公元前三世纪)的《几何原本》第一卷命题 47,“直角三角形斜边上的正方形面积等于两 直角边上正方形面积之和．”     

勾股定理:它的历史、证明及思考

<正>一、史海钩沉1.商高定理及赵爽图在我国,勾股定理又称商高定理.我国最早的一部数学著作《周髀算经》(成书于约公元前1世纪,西汉时期)卷上记载西周(公元前11世纪—前8世纪)开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话,商高答周公问题提到"勾广三,股修四,径隅五".这就是勾股定理的一个特例:32+42=52.卷上又指出周公后人荣方与陈子(约公元前6世纪)的对话"勾股各自     

我发现了勾股数的规律

一、问题的提出勾股定理我很早就知道,不过只是很肤浅的,只能利用它求直角三角形的边而已．有一天上课,老师提到勾股数,我不清楚这是什么?老师说:符合勾股方程的一组整数解,称     

勾股定理古算题

勾股定理在西方文献中被称为毕达哥拉斯(Pythagoras,古希腊)定理.在我国《周髀算经》中记载,西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话,商高答周公问时提到“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五”,这是勾股定理的特例;另一处叙述周公后人荣方与陈子的对话中,则包含了勾股定理的一般     

转变视角 突破瓶颈——论勾股法在几何体表面两点间最短距离问题中的妙用

勾股定理是人教版八年级下册第十七章的内容，勾股法是日后解决诸多实际问题的重要方法.教材中勾股定理的应用主要体现在求几何体表面两点之间最短距离、求旗杆高度、求断裂树枝高度、池塘芦苇问题等方面，每种问题类型都非常经典.本文中主要研究了如何转变视角突破求几何体表面两点之间最短距离的思维瓶颈.     

用乘法公式求勾股数组

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考.     

直角三角形中的整数问题

古老的勾股定理与传统的整数结合在一起,会产生许多有趣的问题,现举几例加以说明.为方便起见,我们记直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c. 一、勾股三角形的问题三边长都是整数的直角三角形叫做勾股三角形. 例1 求证:勾股三角形中必有一条直     

求勾股弦数的几种方法

在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互     

一元二次方程的几何解法

我们熟知一元二次方程的代数解法,笔者尝试着从几何角度给出一元二次方程的另一种解法,即几何模型解法.对于一元二次方程,我国及其他国家的古代数学家都研究过几何解法.以x2 2x-35=0为例,三国时期的数学家赵爽(公元3-4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造如图所示的图形,图中大正方形的面积是(x x 2)2,另一方面,它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×35 22,     

以勾股图为模型的中考试题及其变式探究

勾股定理是刻画直角三角形三边关系的一条重要定理,它的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值.验证勾股定理的方法非常多,最常用的方法之一就是利用如图1所示的勾股图.在近几年的中考中,以勾股图为模型编拟的中考试题屡见不鲜.笔者从近几年的中考试题中选取     

初中数学教材编修中的几个具体问题

教材编修是落实数学核心素养教育的关键，在具体修订过程中存在许多有争议的问题，对这些问题在讨论、辩论过程中达成“共识”或者抛出问题，引起大家的进一步讨论，有助于教材的编修.无理数概念的名称问题与编排的“位置”问题，几何证明位置的编排问题，锐角三角形函数的“称谓”问题，以及勾股定理的优化与是否需要证明等问题是困惑我们编修人员的问题.     

勾股定理的逆定理的几种证法

勾股定理及其逆定理在数学科技等方面都有着广泛的应用.对勾股定理的证明!现行初中教材已编排应用赵爽的“勾股方圆图注”和应用“直角三角形中成比例线段定理”等多种证法,但这个定理的逆定理的证明却极少论述,而且有关参数资料也未对此作出补充.为了填补教材的不足,现根据个人的教学实践,给出以下几种证法供参考. 勾股定理的逆定理: