答读者问——猜想引路,变换立功

一个名叫武炳杰的初二学生(上海市闸北区中山北路805弄1号402室,200070),是本刊读者,也是数学爱好者,来信向笔者请教几个数学问题,其中之一是2004年12月上海市宇振杯数学竞赛的填空题: △ABC中,AB =AC,点P、Q分别在AC、AB边上,且AP=PQ=QB=BC,则     

类比·猜想·证明

平面几何中有一个结论: 在Rt△ABC中,两直角边AC=b,BC= a,斜边AB上的高为h,则1/h2=1/a2 1/b2. 该结论的证明很简单．类比它,在立体几何中有何发现? 我们猜想,在立体几何中,也有类似的一个公式: 在三棱锥V-ABC中,若三条侧棱VA、 VB、VC两两垂直,且长度分别为a、b、C,顶点V到底面ABC的距离VH=h,则1/h2=1/a2 1/b2 1/c2. 注意这只是由类比得到的一个猜想,是否成立还须证明．     

解题·观察·猜想·证明·应用

初中《代数》第三册P119,习题七第6题:利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的根分别是方程2x~2十3x-1=0的各根的①相反数;②倒数;③k倍(为本文之需要,将原题中的“平方”改为“k倍”)。这类题目,同学们一定做了很多。但做完后可曾观察过所求方程和原方程在系数上有何联系,即有无规律可循。下面让我们一起来剖析探讨这个问题: ①、相反数解题按常规解法所求得的新方程为: 2x~2-3x-1==0 (解法略) 现察比较2x~2+3x-1=0和2x~2-3x-1=0。猜想若所求作的方程的两根分别是原方程两根的相反数时,则所求作的方程就是把原方程的一次项系数变号后所得的方程。证明设原方程为ax~2+bx+c=0(a≠0),且两     

观察——猜想——证明

从近年来高考中探索性问题逐年攀升的 趋势,特别是2003年和2004年连续两年加大 结论开放型探索性问题的力度,可预测探索性 问题仍将是高考命题追求的目标.下面例谈解 决探索性问题的一种常用方法:观察-猜想- 证明. 例1 由下列各式:     

用最小数原理答读者问

1.读者提问大连市第36中学高二(2)班黄明同学来信,向笔者请教如下集合问题:设S1、S2、S3是三个非空的整数集,对于1、2、3的任一个排列i、j、是,若x∈Si,y∈Sj则x-y∈Sk.证明:S1、S2、S3中必有两个集合相等.为解决这个问题,先介绍“最小数原理”.     

证明·猜想·反驳——对一个数学问题的探索

在文献[1]中第100页有这样一个问题: 若复数z_1,z_2,z_3满足z_1 z_2 z-3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。作者给出了一种证法。我们学习数学,在解决了一个数学问题之后,如果我们能继续对该问题的方方面面作进一步的探索,那么,我们就有可能得出更多、更漂亮的结果。从复数的三角表示着手,我们可得证法:依题意可     

观察·猜想·证明·引申—兼谈一类三角恒等式的证明

在三角习题中,常可遇到一些系列题。系列题(A):~~     

答Samur猜想

本文证明了Samur在文[1]中提出的猜想:设x_(nj)(j=1,2,…,j_n;n=1,2,…)是取值Banaoh空间的和平稳,ψ混合随机元三角列,则     

Moran猜想的证明

在研究有关绝对矩的一些典型不等式时,澳大利亚著名数学家Moran指出:若x₁,x₂,x₃,…为相互独立随机变数序列,且有相同的分布那末对任何实数a₁≥a₂≥…≥a_n≥0,n≥1,可能成立不等式 本文完全证明了上述猜想,并说明了只有当a₁=a₂,a₃=…=a_n=0时,上式中等号成立。     

Safta猜想的证明

Ｓａｆｔａ猜想的证明山东省济宁市实验中学苗相军１９８１年，Ｓａｆｔａ猜测：设ＡＡ１，ＢＢ１，ＣＣ１是△ＡＢＣ的三条任意Ｃｅｖｉａｎ线，若ＡＡ１∩Ｂ１Ｃ１＝Ｐ，ＢＢ∩Ａ１Ｃ１＝［１］将此问题列为《１００个未解决的问颗》大一本寸证明Ｓａｆｔａ清根成立．证...     

抓住本质 证明猜想

在本刊2008年第3期,张老师在《对一道习题的联想与拓展》中提出这样一个猜想：如果x＋1/x=2,,则n√x＋1/n√x=2（n≥2的正整数）．下面我们来证明此猜想成立．     

SCHNEIDER猜想的证明

本文利用[1]中的密度公式，得到新的几何概率公式，进而证明了SCHNEIDER假设成立．     

一个猜想的证明

文[1]给出了:在任意△ABC中,A、B、C表示其三内角,则cos3A cos3B cos3C≥38.(当且仅当△ABC为正三角形时等号成立)并给出了如下猜想:cosnA cosnB cosnC≥32n.(n≥2,n∈N*)　(*)本文将利用著名的Jacobsthal不等式[2]:“设x≥0,y≥0,对任意正整数n,有xn (n-1)yn≥nxyn-1”的变形:“当x≥0,y>0时,有xnyn-1≥nx-(n-1)y”,以及相关的函数性质给出猜想的如下证明.证明　(1)若n=2k(k∈N*)时,　cosnA cosnB cosnC=cos2kA cos2kB cos2kC=(14)k-1[(cos2A)k(14)k-1 (cos2B)k(14)k-1 (cos2C)k(14)k-1]≥(14)k-1{[kcos2A-14(k-1)] [kcos2B-14…     

一个猜想的证明

贵刊文 [1 ]中提出如下猜想 :猜想 2　已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )不在二次曲线Γ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0上 ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线分别交Γ于Ｓ ,Ｍ和Ｔ ,Ｎ ,则直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补 .笔者经过探讨认为 ,以上猜想是成立的 ,不过结论“直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补 .”应修正为“直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补或倾斜角都为0°.”即有定理　已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )不在二次曲线Γ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0上 ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线分别交Γ于Ｓ ,Ｍ和Ｔ ,Ｎ ,则直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补或都为 0°.为证明此…     

一个猜想的证明

贵刊文[1]提出如下 猜想设|k|≤√13 16√2,x,y,z∈R ,则x kz/y z y kx/z x z ky/x y≥3(1 k)/2 (1) 此猜想是正确的,下面给出证明.     

一个猜想的证明

文 [1 ]提出了一个对称不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x+y+z=1 ,则( 1x -x) ( 1y -y) ( 1z -z) ≥ ( 83) 3 ( 1 )并在文末提出一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2…n ,且 ni=1 xi=1 ,n≥ 3,则Πni=1 ( 1xi-xi) ≥ (n- 1n) n ( 3)本文将利用文 [2 ]中的结论 ,即下述引理 (审者注 :此引理由 [1 ]中定理 3,定理 4结合得出 )去证明这个猜想 .引理　设a 相似文献   

一个猜想的证明

文[1 ]利用均值不等式对一类最小值问题进行了研究 ,但限于所推导的不等式 ,未能完全解决这一类问题 ,文末提出了如下猜想 :(以下简记∑ｎｉ =1为∑)设ａｉ,ｂｉ,∈Ｒ+,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ .α >0 ,则有 :∑ ｂｉα+1ａｉα ≥(∑ｂｉ) α+1(∑ａｉ) α ,当且仅当 ａｉｂｉ =∑ａｉ∑ｂｉ时等号成立 .本文利用凸函数定理证明了上述猜想 ,从而使这一类最小值问题得到了比较圆满的解决 .证明　首先介绍凸函数定理 [2 ]:设函数ｆ(ｘ)在区间Ｉ为下凸函数 ,λｉ∈Ｒ+,且 ∑λｉ=1 ,则对任意ｘｉ ∈Ｉ,有 :ｆ(∑λｉｘｉ) ≤ ∑λｉｆ(ｘｉ)现取ｆ(ｘ…     

Slater猜想的证明

本文完全证明了Slater猜想:当2k>n时,完全图K_n+1是唯一的k临界n连通图。     

张黄羿的猜想证明

本刊2007年1月(下)期发表了湖南长沙市雅礼中学初中二年级65班张黄羿同学写的《关于m个9组成的数的几次方的猜测》.文中张黄羿同学猜想:m个9组成的数的n(1～5的整数)次方,等于在9~n的得数的每一数字前面交替地写上(m-1)个9和(m-1)个0的数,即若9~n=ABCD……N(n=1～5)则■文中张黄羿同学还猜想:9~n的得数是n位数.上述猜想对吗?请看