Die Entwicklung der Symbolik in der Logik und ihr philosophischer Hintergrund

Zusammenfassung. Die Entwicklung angemessener Symboliken ist für die Entwicklung der Mathematik und ihrer Teildisziplinen zu jeder Zeit eine wichtige Bedingung gewesen. Ein langer und schwieriger Weg führte zu den heute in der Logik gebr?uchlichen Symbolsystemen. Er begann mit Buchstaben als Abkürzungen für S?tze und Eigenschaften bei Aristoteles und für kategorische S?tze in der mittelalterlichen Syllogistik. In seiner „characteristica universalis” formulierte Leibniz Grunds?tze für eine exakte Zeichensprache, die er mit der Idee einer Algebra dieser Zeichen verband („mathesis universalis”). Erst Boole, der die Unabh?ngigkeit logischer Beziehungen von der Bedeutung der Symbole erkannte, begann mit der Verwirklichung dieser Idee. Frege schlie?lich gelang 1879 die Analyse des Satzes. Er schuf die erste umfassende formale Sprache. Ihre schwierige zweidimensionale Symbolik jedoch entsprach nur wenig der allgemeinen Intuition logischer Beziehungen und verdeckte für lange Zeit die epochale Bedeutung der Arbeiten Freges. Die heute verwendeten Symbolsysteme gehen zurück auf Arbeiten Peanos. In seinem Projekt „Formulario”, alle S?tze der Mathematik zu symbolisieren, sah Peano die Idee der „characteristica universalis” verwirklicht. Eingegangen am 9.10.1992, angenommen am 9.6.1993     

Ein Beweis der qualitativen Aussage der Campbell-Hausdorff-Formel für analytische Gruppen

Ohne Zusammenfassung     

Zur Entwicklung exakter Modelle in der psychologischen Lerntheorie

Zusammenfassung Die Entwicklung der psychologischen Lerntheorien wird dargestellt. Mathematische Formulierungen von der Art des "empirischen Kurvenanpassens" werden neuerdings abgelöst durch ein "rationales" Vorgehen: aus wenigen Grundpostulaten werden die funktionalen Beziehungen zwischen beobachtbaren Variablen abgeleitet. Ein stochastisches Modell dieser Art wird kurz dargestellt.

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Summary The development of psychological theories of learning is summarized. Mathematical formulations of the "empirical curve-fitting" type have recently been replaced by a "rational" procedure: from a small number of basic postulates the functional relationships between observable variables are deduced. A stochastic model of this kind is quoted.

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Résumé Le développement des théories psychologiques d'apprentisage est résumé. Les méthodes mathématiques du type de "l'ajustement empirique de courbes d'acquisition" ont été remplacées récemment par une procédure "rationnelle." On part d'un petit nombre de postulats fondamentaux pour déduire les relations fonctionelles entre les variables à observer. L'article cite un modèle stochastique qu'illustre cette méthode.

     

Eine parameterfreie Theorie der ungünstigsten Verteilungen für das Testen von Hypothesen

Summary The paper concerns sufficient conditions for the existence of least favorable distributions. In sections 2 and 3 some partially known results will be noted about the weak topology and convex hulls in the space of bounded additive set functions (contents). By a suitable dualization of the linear program for maximin tests it is shown in section 5 that for positive level the convex hull of the hypothesis (alternative) contains a content which is least favorable. This result is used in section 6 for deriving e.g. the following theorem: If there are tests of arbitrarily high power and of arbitrarily small level on a part of the hypothesis such that the complementary part of the hypothesis is uniformly dominated by a finite measure, then the least favorable hypothesis is not even a content but a measure.