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题求证:对任意两两不等的三个数a,b,c,(a+b-c)2(a-c)(b-c)+(b+c-a)2(b-a)(c-a)+(c+a-b)2(c-b)(a-b)是常数.这是2012年北京市中学生数学竞赛初二年级试题之一.贵刊2012年8月下P.31给出了一个运算量要求较高的证明,一般的学生不易掌握.本文给出一个一般学生易掌握,且运算量要求不高的换元证法,供学习与欣赏.证明设a=y+z,b=z+x,c=x+y.则原式=4z2(z-x)(z-y)+4y2(y-z)(y-x)2 相似文献
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<正>在2007年女子数学奥林匹克竞赛试题中,有这样一道不等式赛题:题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证: 相似文献
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如图1,△ABC内接于⊙O,AC〉BC,点D为ACB的中点,求证:AD^2=AC·BC+CD^2. 相似文献
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题 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数a >1,b >1,有不等式 a2b - 1 b2a - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ai>0 (i=1,2 ,… ,n) ,则(a1 1) 2a2 (a2 1) 2a3 … (an - 1 1) 2an (an 1) 2a1≥ 4n (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ai(i=1,2 ,… ,n)∈R ,m≥ 2 ,m∈N ,则(a1 1) ma2 (a2 1) ma3 … (an - 1 1) man (an 1) ma1≥n·mm· 1(m - 1) m - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )… 相似文献
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<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+(x2+1)1/2)(y+(y2+1)1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+(x2—1)1/2)(y+(y2—1)1/2)=1,那么x=y. 相似文献
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2003年保加利亚国家数学奥林匹克(决赛)的第2题是:设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点,直线AH、BH分别交BC、AC于点M、N.(1)证明:∠NPC=∠MPC.(2)设O是MN与CP的交点,一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D、E两点.证明:∠EPC=∠DPC.此题的证明可见文[1],给出的是一种三角证法,本文这里再给出该题的另一种解析证法,供赏析参考. 相似文献
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<正>2003年保加利亚国家数学奥林匹克(决赛)的第2题是:设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点,直线AH、BH分别交BC、AC于点M、N.(1)证明:∠NPC=∠MPC.(2)设O是MN与CP的交点,一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D、E两点.证明:∠EPC=∠DPC.此题的证明可见文[1],给出的是一种三角证法,本文这里再给出该题的另一种解析证法,供赏析参考.证明如图,建立平面直角坐标系,不妨 相似文献
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由递推关系F_(n+2)=F_(n+1)+F_n(n∈N)和F_0=1, F_1=1所确定的数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…叫做裴波那契数列。裴波那契数列有很多性质,在这里只介绍两个下面要用到的(也是常用的)性质: (1)F_nF_(n+2)-F_(n+1)~2=(-1)~n; (2)F_(m+n)=F_mF_n+F_(m-1)F_(n-1)(m≥1,n≥1)。在现实生活中,很多现象与裴波那契数列有关;在数学竞赛中,考裴波那契数列的题目也不少,但对 相似文献
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来看两道竞赛题.第一道:设a,b,c〉0,试证。a^ab^c^c≥(abc)a+b+c/3.(第三届美国数学奥林匹克试题) 相似文献
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<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2, 相似文献
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