一个不等式的另一简证

定理 设a1，a2,…，an∈R^＋且a1＋a2＋…＋an=S，k≤0，则有a1^k/S-a1＋a2^k/S-a2＋…an^k/S-an≥Sn^k-1/（n-1）n^k-2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号．     

构造正方形巧证不等式

例1设a、b、c∈(0,1),求证,abc(1-a)(1-b)(1-c)≤(1/4)^3.     

利用概率分布巧证不等式

文[1]巧妙地建立一维离散型随机变量X的概率分布,并利用其方差的非负性(D(X)=E(X2)-(E(X))2≥0,当且仅当X服从退化分布时等号成立)给出了柯西不等式的一种构造证法,笔者读后颇受启发,也尝试用该法证明了一些不等式,写在这里与读者分享.     

浅谈柯西不等式的证明及应用

柯西(Cauchy)不等式(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)(ai,bi∈R,i=1,2…,n),当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.现将它的证明介绍如下:证明1(构造法):构设二次函数f(x)=(a1x b1)2 (a2x b2)2 … (anx bn)2=(a12 a22 … an2)x2 2(a1b1 a2b2 …anbn)x (b12 b22 … bn2),∵a12 a22 … an2>0,f(x)≥0恒成立,∴△=4(a1b1 a2b2 … anbn)2-4(a12 a22 … an2).(b12 b22 … bn2)≤0,即(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当aix bi=0(i=1,2,…,n),即a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.证明2(数学归纳…     

巧用构造法证不等式

在证明不等式时，根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想，构造出函数、数列、复数、方程、命题、图形等某个数学模型，并将所证的不等式问题转化为研究该数学模型的特征，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法．     

两个简单不等式问题的多证与推广

本文主要介绍两个大家所熟知的不等式问题的多种证法及其推广,其中涉及均值不等式的“配凑”、柯西不等式与Jensen不等式的运用和一些变换,请读者细心体会．     

构造函数模型 巧证不等式

函数是贯穿中学数学的一条主线,不等式是中学数学的重要内容之一.对于一些不等式的证明问题,通过类比、联想、转化,合理地构造函数模型,利用函数的单调性可以得到巧妙的解决.本文结合具体实例谈一谈怎样构造函数模型来证明不等式问题.     

直来直去证明不等式

文[1]通过构造长方体,利用代换方法证明了一些代数和三角不等式,读后很受启发,构造与变更,实现了问题的转化,获得证明不等式的一种有效途径.笔者的持续思考是,对于这些不等式,能不能直来直去的给出更加简明的证明方法呢?经探究是可简化的,这只要进行适度的代数变形,利用均值不等式、柯西不等式以及放缩技巧,笔者从高中教材基础知识出发给出直接证法,作为一份课程资源,供读者学习时参考.     

构造长方体解题

长方体是同学们比较熟悉的几何体,根据长方体的棱、对角线、面之间的特殊位置关系,把符合长方体特征的命题通过构造长方体来解决,能起到事半功倍的效果．下面以2008年高考题说明构造长方体解题的妙用,以供参考．     

构造等差数列证明不等式

在证明条件不等式时。我们可以对题设的条件进行观察和分析．构造相应的等差数列进行解题，下面举例说明．     

课本无理不等式的巧证及推广

高中《数学》第二册 (上 )第六章不等式中涉及到一类无理不等式的证明 ,本文先给出它们的一种巧证 ,然后将其作统一推广 .1　巧证引理　如果x≥ 0 ,那么x =x2 .例 1　 (P15例 1)求证 :3+ 7<2 5.证明　 3+ 7=( 3+ 7) 2=10 + 2 2 1<10 + 2 2 5=2 5.例 2　 (P16题 1)求证 :6 + 7>2 2 + 5.证明　 6 + 7=( 6 + 7) 2=13+ 2 4 2>13+ 2 4 0=( 8+ 5) 2 =2 2 + 5.例 3　 (P17题 4 )求证 :1) 3+ 5<4 ;2 ) 13+ 2 >5- 2 .证明　 1) 3+ 5=( 3+ 5) 2=8+ 2 15<8+ 2 16 =4 .2 ) 13+ 2 =2 - 3=( 2 - 3) 2=7- 43>7- 45=( 5- 2 ) 2 =5- 2 .说明　不等式 1)与 2…     

以解代证 巧证不等式

解不等式与证明不等式是不等式的两大主干题型，它们之间似乎有一道天堑，无法互相沟通，本文将介绍一种通过解不等式来证明不等式的方法，以实现两者之间的沟通，使天堑变通途。     

构造单调数列证明不等式

数列{an}中,如果对任意的n∈N^＊,都有n＋1〉an（或an＋1〈an）,则称{an}为增（或减）数列．本文探求通过构造单调数列来证明与正整数有关的不等式问题．     

利用柯西不等式解等式问题

柯西不等式在不等式证明中的强大功能已众所周知,本文则通过几个例子,说明利用柯西不等式中等号成立的条件可有效解决一些等式问题。     

通过“构造”求解不等式

我们的高中数学选修教材引进柯西不等式,并通过构造一元二次方程给出一个经典的证明,作为高中生,我们也要学会通过“构造”方程、不等式或函数等辅助手段来解决问题．当然此处所说“构造”是依据数学问题的条件和结论的特征,以问题中的数学关系为“框架”,数学元素为“元件”,构造出新的数学对象或数学模型,从而使问题转化并得到解决的方法．     

和《用构造法证明不等式》唱唱对台戏

《数学通报》2003年第12期刊登了《用构造法证明不等式》一文（以下简称文[1]），笔者反复阅读，总觉对文[1]有几点不同的看法，今借贵刊提出，以就教于钟焕清老师和广大同仁，从而从学术争论中促进笔者自身业务素质的提高．     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

活用均值不等式等号成立条件证难题

怎样证明不等式,大家常将关注落脚点放在不等式使用的技巧上,而对不等式的等号成立条件有所忽略．其实,如果注意合理使用不等式的等号成立条件,常常能帮助我们迅速找到一扇证明不等式难题的思路之门．