Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Based on the assumption of a smallest nucleation radius of a droplet being able to exist, an equation is developed which describes the thickness of a characteristic layer with variable subcooling on a condenser surface. In a somewhat simplified manner the condenser surface consists of a part of an area being free of droplets and another one being occupied by droplets. At the non-occupied spots heat is transported to the condenser surface and droplets are formed. At the spots which are occupied by droplets, heat is taken away due to the rolling down movement of the droplets.Using the energy balance between added and deduced heat, a differential equation can be formulated which describes the temporal change of this part of the area, which is occupied by non-active large droplets. For steady state conditions one gets an equation for the heat transfer at the condenser surface as a function of the subcooling and of the saturation temperature. The differential equation is also solved for the non-steady case, the start up of the process. Equations are presented describing the heat transfer with droplet condensation at saturation temperaturesT _s= 296K up toT _s=413 K, corresponding to saturation pressures from 0.03 bar to 4.0 bar. The maximum subcooling is T=15K.

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Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Zusammenfassung In Anlehnung an den kleinstmöglichen existenzfähigen Keimradius eines Tröpfchens in der Dampfphase wird eine Gleichung für eine charakteristische Schichtstärke bei einer variablen Unterkühlung an der Kühloberfläche angesetzt. Die Kühloberfläche besteht vereinfacht aus einem Flächenanteil, der frei von Tropfen ist und einen von Tropfen besetzten Flächenanteil. An den freien Stellen wird Wärme an die Kühloberfläche zugeführt, wobei sich Kondensat bildet. An den von Tropfen besetzten Stellen wird Wärme durch die abrollenden Tropfen abgeführt.Durch Aufstellen einer Bilanz zwischen zu- und abgeführte Wärmemenge kommt man zu einer Differentialgleichung, die die zeitliche Veränderung des Flächenanteils beschreibt, der mit inaktiven, großen Tropfen besetzt ist.Für den stationären Fall erhält man eine Gleichung für den Wärmeübergang an der Kühloberfläche als Funktion der Unterkühlung und der Sattdampftemperatur. Die Differentialgleichung wird auch für den instationären Fall, den Anfahrzuständen gelöst. Gleichungen für den Wärmeübergang bei Tropfenkondensation werden angegeben bei SattdampftemperaturenT _s=296 K bisT _s=413 K das entspricht Sattdampfdrücken von 0, 03 bar bis 4, 0 bar, die Unterkühlung Tist max. 15 K

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Formelzeichen Bi Biotzahl,h _i R _max/_L - Nu Nußelt'sche Zahl - Pr Prandtlzahl - Re _x Reynoldszahl - _k Thermokapillare Kräfte/Viskosität, _L T/ _L v _L ² Lateinische Bezeichnungen C=CT _s Funktion der Sattdampftemperatur - c Konstante - C _p spezifische Wärme des Kondensates - f zeitlicher Mittelwert des Anteiles der Kühloberfläche, der mit aktiven Tropfen besetzt ist (wird in erster Annäherung zur freien Fläche gezählt) - g Erdbeschleunigung - h Wärmeübergangszahl bei Tropfenkondensation bezogen auf die Gesamtfläche - h _fg Verdampfungswärme - h _i Grenzflächen-Wärmeübergangszahl - h _L lokale Wärmeübergangszahl aus den neu freiwerdenden Flächenteilen - k Konstante - K Proportionalitätsfaktor - n Koeffizient, 1n > - q Wärmefluß - q _L lokaler Wärmefluß an den freiwerdenden Flächenteilen - R Gaskonstante - R _max Tropfengröße bei Abrollen - ₁=2 _L/h _i Tropfen kleiner alsr ₁ sind für den Wärmeübergang aktiv (Grenzwert bis zu dem in erster Annäherung die Fläche noch als frei betrachtet werden kann) - S neu freiwerdende Fläche - t Zeit - T _s Sattdampftemperatur des Dampfes - T Unterkühlung, Temperaturdifferenz zwischen Sattdampfund Kühloberflächentemperatur - V Volumen des Kondensates aufS - v _g spezifisches Volumen des Dampfes - v _L spezifisches Volumen des Kondensates Griechische Bezeichungen wirklicher Kondensationskoeffizient - Temperaturkoeffizient der Oberflächenspannung - _L Wärmeleitzahl des Kondensates - v _L kinematische Zähigkeit des Kondensates - _L charakteristische Schichtstärke - _L Dichte des Kondensates - Oberflächenspannung der Tropfen - Anteil der Flächeneinheit, der mit Tropfen mit dem Radius größer alsr ₁ besetzt ist (in erster Näherung gilt nur dieser Flächenanteil mit Tropfen besetzt) = 1—f     

Mixed convection on vertical plate for fluids of any prandtl number

A mixed convection parameter=(Ra) ^1/4/(Re)^1/2, with=Pr/(1+Pr) and=Pr/(1 +Pr)^1/2, is proposed to replace the conventional Richardson number, Gr/Re², for combined forced and free convection flow on an isothermal vertical plate. This parameter can readily be reduced to the controlling parameters for the relative importance of the forced and the free convection,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) forPr 1, and (RaPr)^1/2/(RePr ^1/2 forPr 1. Furthermore, new coordinates and dependent variables are properly defined in terms of, so that the transformed nonsimilar boundary-layer equations give numerical solutions that are uniformly valid over the entire range of mixed convection intensity from forced convection limit to free convection limit for fluids of any Prandtl number from 0.001 to 10,000. The effects of mixed convection intensity and the Prandtl number on the velocity profiles, the temperature profiles, the wall friction, and the heat transfer rate are illustrated for both cases of buoyancy assisting and opposing flow conditions.

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Mischkonvektion an einer vertikalen Platte für Fluide beliebiger Prandtl-Zahl

Zusammenfassung Für die kombinierte Zwangs- und freie Konvektion an einer isothermen senkrechten Platte wird ein Mischkonvektions-Parameter=( Ra) ^1/4 (Re)^1/2, mit=Pr/(1 +Pr) und=Pr/(1 +Pr)^1/2 vorgeschlagen, den die gebräuchliche Richardson-Zahl, Gr/Re², ersetzen soll. Dieser Parameter kann ohne weiteres auf die maßgebenden Kennzahlen für den relativen Einfluß der erzwungenen und der freien Konvektion reduziert werden,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) fürPr 1 und (RaPr)^1/4/(RePr)^1/2 fürPr 1. Weiterhin werden neue Koordinaten und abhängige Variablen als Funktion von definiert, so daß für die transformierten Grenzschichtgleichungen numerische Lösungen erstellt werden können, die über den gesamten Bereich der Mischkonvektion, von der freien Konvektion bis zur Zwangskonvektion, für Fluide jeglicher Prandtl-Zahl von 0.001 bis 10.000 gleichmäßig gültig sind. Der Einfluß der Intensität der Mischkonvektion und der Prandtl-Zahl auf die Geschwindigkeitsprofile, die Temperaturprofile, die Wandreibung und den Wärmeübergangskoeffizienten werden für die beiden Fälle der Strömung in und entgegengesetzt zur Schwerkraftrichtung dargestellt.

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Nomenclature C _f local friction coefficient - C _p specific heat capacity - f reduced stream function - g gravitational acceleration - Gr local Grashoff number,g T _w –T )x³/v² - Nu local Nusselt number - Pr Prandtl number,v/ - Ra local Rayleigh number,g T _w –T x ³/( v) - Re local Reynolds number,u x/v - Ri Richardson number,Gr/Re ² - T fluid temperature - T _w wall temperature - T free stream temperature - u velocity component in thex direction - u free stream velocity - v velocity component in they direction - x vertical coordinate measuring from the leading edge - y horizontal coordinate Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - mixed convection parameter (Ra)1/4/Re)^1/2 - pseudo-similarity variable,(y/x) - ₀ conventional similarity variable,(y/x)Re ^1/2 - dimensionless temperature, (T–T T _W –T - unified mixed-flow parameter, [(Re) ^1/2 + (Ra)^1/4] - dynamic viscosity - kinematic viscosity - stretched streamwise coordinate or mixed convection parameter, [1 + (Re)^1/2/(Ra) ^1/4]^–1=/(1 +) - density - Pr/(1 + Pr) _w wall shear stress - stream function - Pr/(l+Pr)^1/3 This research was supported by a grand from the National Science Council of ROC     

Convective heat transfer in the thermal entrance region of parallel-flow noncircular duct heat exchanger arrays

Convective heat transfer properties of a hydrodynamically fully developed flow, thermally developing flow in a parallel-flow, and noncircular duct heat exchanger passage subject to an insulated boundary condition are analyzed. In fact, due to the complexity of the geometry, this paper investigates in detail heat transfer in a parallel-flow heat exchanger of equilateral-triangular and semicircular ducts. The developing temperature field in each passage in these geometries is obtained seminumerically from solving the energy equation employing the method of lines (MOL). According to this method, the energy equation is reformulated by a system of a first-order differential equation controlling the temperature along each line.Temperature distribution in the thermal entrance region is obtained utilizing sixteen lines or less, in the cross-stream direction of the duct. The grid pattern chosen provides drastic savings in computing time. The representative curves illustrating the isotherms, the variation of the bulk temperature for each passage, and the total Nusselt number with pertinent parameters in the entire thermal entry region are plotted. It is found that the log mean temperature difference (T _LM), the heat exchanger effectiveness, and the number of transfer units (NTU) are 0.247, 0.490, and 1.985 for semicircular ducts, and 0.346, 0.466, and 1.345 for equilateral-triangular ducts.

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Konvektiver Wärmeübergang im thermischen Einlaufgebiet von Gleichstromwärmetauschern mit nichtkreisförmigen Strömungskanälen

Zusammenfassung Die Untersuchung bezieht sich auf das konvektive Wärmeübertragungsverhalten eines Gleichstromwärmetauschers mit nichtkreisförmigen Strömungskanälen bei hydraulisch ausgebildetet, thermisch einlaufender Strömung unter Aufprägung einer adiabaten Randbedingung. Zwei Fälle komplizierter Geometrie, nämlich Kanäle mit gleichseitig dreieckigen und halbkreisförmigen Querschnitten, werden bezüglich des Wärmeübergangsverhaltens bei Gleichstromführung eingehend analysiert. Das sich entwickelnde Temperaturfeld in jedem Kanal von der eben spezifizierten Querschnittsform wird halbnumerisch durch Lösung der Energiegleichung unter Einsatz der Linienmethode (MOL) erhalten. Dieser Methode entsprechend erfolgt eine Umformung der Energiegleichung in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, welches die Temperaturverteilung auf jeder Linie bestimmt.Die Temperaturverteilung im Einlaufgebiet wird unter Vorgabe von 16 oder weniger Linien über dem Kanalquerschnitt erhalten, wobei die gewählte Gitteranordnung drastische Einsparung an Rechenzeit ergibt. Repräsentative Kurven für das Isothermalfeld, den Verlauf der Mischtemperatur für jeden Kanal und die Gesamt-Nusseltzahl als Funktion relevanter Parameter im gesamten Einlaufgebiet sind in Diagrammform dargestellt. Es zeigt sich, daß die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz (T _LM), der Wärmetauscherwirkungsgrad und die Anzahl der Übertragungseinheiten (NTU) folgende Werte annehmen: 0,247, 0,490 und 1,985 für halbkreisförmige Kanäle sowie 0,346, 0,466 und 1,345 für gleichseitig dreieckige Kanäle.

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Nomenclature A cross sectional area [m²] - a characteristic length [m] - C _c specific heat of cold fluid [J kg^–1 K^–1] - C _h specific heat of hot fluid [J kg^–1 K^–1] - C _p specific heat [J kg^–1 K^–1] - C _r specific heat ratio,C _r=C _c/C_h - D _h hydraulic diameter of duct [m] - f friction factor - k thermal conductivity of fluid [Wm^–1 K^–1] - L length of duct [m] - m mass flow rate of fluid [kg s^–1] - N factor defined by Eq. (20) - NTU number of transfer units - Nu _{x, T} local Nusselt number, Eq. (19) - P perimeter [m] - p pressure [KN m^–2] - Pe Peclet number,RePr - Pr Prandtl number,/ - Q _T total heat transfer [W], Eq. (13) - Q ideal heat transfer [W], Eq. (14) - Re Reynolds number,D _h/ - T temperature [K] - T _b bulk temperature [K] - T _e entrance temperature [K] - T _w circumferential duct wall temperature [K] - u, U dimensional and dimensionless velocity of fluid,U=u/u - , dimensional and dimensionless mean velocity of fluid - w generalized dependent variable - X dimensionless axial coordinates,X=D _h ² /a ² x* - x, x* dimensional and dimensionless axial coordinate,x*=x/D _hPe - y, Y dimensional and dimensionless transversal coordinates,Y=y/a - z, Z dimensional and dimensionless transversal coordinates,Z=z/a Greek symbols thermal diffusivity of fluid [m² s^–1] - * right triangular angle, Fig. 2 - independent variable - T _LM log mean temperature difference of heat exchanger - effectiveness of heat exchanger - generalized independent variable - dimensionless temperature - _b dimensionless bulk temperature - dynamic viscosity of fluid [kg m^–1 s^–1] - kinematic viscosity of fluid [m² s^–1] - density of fluid [kg m^–3] - heat transfer efficiency, Eq. (14) - generalized dependent variable     

Numerische Berechnung und Simulation des instationären Stofftransports bei wandernden Phasengrenzflächen in Zweistoffsystemen

Zusammenfassung Der instationäre Stofftransport vor wandernden Phasengrenzflächen flüssig/fest wurde für Zweistoffsysteme unter Berücksichtigung allgemeiner Kristallisationsbedingungen und einfacher Körpergeometrien abgeleitet. Dies ermöglichen spezielle Transformationsbeziehungen sowie die Randwertbestimmung für die Aufschmelzfront. Ein neuartiges, für Hybridrechenanlagen entwickeltes Zerlegungsverfahren lieferte die analytischen Hilfsmittel für numerisch außerordentlich stabile und konvergente Lösungen des allgemeinen, linearen Randwertproblems. Damit ließ sich ein Rechenprogramm erstellen, welches die Simulation weitgehend beliebiger Kristallisationsprozesse erlaubt. Am Beispiel des Zonenschmelzens und der Normalkristallisation werden einige, derart simulierte Kristallisationsprozesse diskutiert.

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Numeric calculation and simulation of nonsteady masstransfer by moving phaseboundaries in binary alloys

Non-Steady mass transfer in front of moving phase boundaries liquid/solid in binary alloys was derived. This was allowed by means of transformation relations and boundary-values for the melting-front. A newly analyzing-method primarily developed for serial hybrid computer integration made it possible to obtain very steady and convergent solutions of the general linear boundary-value-problem. These solutions allow to create computer-programs for the simulation of arbitrary processes of crystallization. For example processes of non-steady zone melting and normal freezing were simulated and discussed.

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Bezeichnungen f_e Erstarrungsfrontgeschwindigkeit - f_a Aufschmelzfrontgeschwindigkeit - s Schmelzzonenlänge - s zeitliche Änderung der Schmelzzonenlänge - K₀ Gleichgewicht-Verteilungskoeffizient - K_eff effektiver Verteilungskoeffizient - k Konzentration - k₀ Ausgangskonzentration in flüssiger Phase - k_0B Ausgangskonzentration in fester Phase - ¯k₀ Konzentration in fester Phase vor der Aufschmelzfront - ¯k_B Konzentration in fester Phase nach der Kristallisation - D Diffusionskoeffizient - m Masse - m Massenstromdichte - t Zeit - T absolute Temperatur - vektorielle Strömungsgeschwindigkeit der Legierungskomponente - v_x,v_r axiale und radiale Strömungsgeschwindigkeit (z.B. durch Schwerkraftseigerung) - x,r Ortskoordinaten - L Stablänge - L_F vorwärtsstabiler Operator - L_B rückwärtsstabiler Operator - S Speicherfunktion - R Anfangsradius - , mitwandernde Ortskoordinaten - Länge des kristallisierten Volumens - Gewichtsfaktor - Wurzel der charakteristischen Gleichung - a,b,c, d,e,,, } Hilfsfunktionen - Grenzschichtdicke Auszug aus der vom Fachbereich für Maschinenwesen der Technischen Universität München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs genehmigten Dissertation Instationärer und quasistationärer Stoffransport in binär legierten Schmelzen vor wandernden Phasengrenzflächen des Dipl.-Ing. Richard Bung. Berichterstatter Privatdozent Dr.-Ing. H.M. Tensi undProf. Dr.-Ing. F. Fischer; Tag der Einreichung 2.2.1976, Tag der Annahme 20.2.1976, Tag der Promotion 2.3.1976.     

Unsteady convective diffusion in a rotating parallel plate channel

The paper presents an exact analysis of the dispersion of a passive contaminant in a viscous fluid flowing in a parallel plate channel driven by a uniform pressure gradient. The channel rotates about an axis perpendicular to its walls with a uniform angular velocity resulting in a secondary flow. Using a generalized dispersion model which is valid for all time, we evaluate the longitudinal dispersion coefficientsK _i (i=1, 2, ...) as functions of time. It is shown thatK ₁=0 andK ₃,K ₄, ... decay rapidly in comparison withK ₂. ButK ₂ decreases with increasing (the dimensionless rotation parameter) for values of upto approximately =2.2. ThereafterK ₂ increases with further increase in and its value gets saturated for large values of (say, 500) and does not change any further with increase in . A physical explanation of this anomalous behaviour ofK ₂ is given.

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Instationäre konvektive Diffusion in einem rotierenden Parallelplattenkanal

Zusammenfassung In dieser Untersuchung wird eine exakte Analyse der Ausbreitung eines passiven Kontaminierungsstoffes in einer zähen Flüssigkeit gegeben, die, befördert durch einen gleichförmigen Druckgradienten, in einem Parallelplattenkanal strömt. Der Kanal rotiert mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine zu seinen Wänden senkrechte Achse, wodurch sich eine Sekundärströmung ausbildet. Unter Verwendung eines generalisierten, für alle Zeiten gültigen Dispersionsmodells werden die longitudinalen DispersionskoeffizientenK _i (i=1, 2, ...) als Funktionen der Zeit ermittelt. Es wird gezeigt, daßK ₁=0 gilt und dieK ₃,K ₄, ... gegenüberK ₂ schnell abnehmen.K ₂ nimmt ab, wenn , der dimensionslose Rotationsparameter, bis etwa zum Wert 2,2 ansteigt. Danach wächstK ₂ mit bis auf einem Endwert an, der etwa ab =500 erreicht wird. Dieses anomale Verhalten vonK ₂ findet eine physikalische Erklärung.

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List of symbols C solute concentration - D molecular diffusivity - K _i longitudinal dispersion coefficients - 2L depth of the channel - P ₀ dimensionless pressure gradient along main flow - Pe Péclet number - q velocity vector - Q _x,Q _y mass flux along the main flow and the secondary flow directions - dimensionless average velocity along the main flow direction - (x, y, z) Cartesian co-ordinates Greek symbols dimensionless rotation parameter - the inclination of side walls withx-axis - kinematic viscosity - fluid density - dimensionless time - angular velocity of the channel - dimensionless distance along the main flow direction - dimensionless distance along the vertical direction - dimensionless solute concentration - integral of the dispersion coefficientK ₂() over a time interval     

Perturbation analysis for periodic heat transfer in radiating fins

A perturbation analysis is presented for periodic heat transfer in radiating fins of uniform thickness. The base temperature is assumed to oscillate around a mean value. The perturbation expansion is carried out in terms of dimensionless amplitude of the base temperature oscillation. The zero-order problem which is nonlinear, and corresponds to the steady state fin behaviour, is solved by quasilinearization. A method of complex combination is used to reduce both the first and the second order problems to two, coupled linear boundary value problems which are subsequently solved by a noniterative numerical scheme. The second-order term is composed of an oscillatory component with twice the frequency of base temperature oscillation and a time-independent term which causes a net change in the steady state values of temperature and heat transfer rate. Within the range of parameters used, the net effect is to decrease the mean temperature and increase the mean heat transfer rate. This is in constrast to the linear case of convecting fins where the mean values are unaffected by base temperature oscillations. Detailed numerical results are presented illustrating the effects of fin parameter N and dimensionless frequency B on temperature distribution, heat transfer rate, and time-average fin efficiency. The time-average fin efficiency is found to reduce significantly at low N and high B.

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Störungsanalyse für periodische Wärmeübertragung an Strahlungsrippen

Zusammenfassung Eine Störungsanalyse wird für periodische Wärmeübertragung in Strahlungsrippen gleicher Dicke vorgelegt. Die Fußtemperatur wird als um einen Mittelwert schwingend angenommen. Die Störungsentwicklung wird in Termen einer dimensionslosen Amplitude e dieser Schwingung angesetzt. Das Problem nullter Ordnung, das nichtlinear ist und dem stationären Verhalten der Rippe entspricht, wird durch Quasilinearisierung gelöst. Eine Methode der komplexen Kombination wird angewandt, um die Probleme erster und zweiter Ordnung auf zwei gekoppelte Grenzwertprobleme zu reduzieren, die nacheinander nach einem nichtiterativen Schema gelöst werden. Der Term zweiter Ordnung besteht aus einer Schwingungskomponente mit der doppelten Frequenz der Schwingung der Fußtemperatur und einem zeitunabhängigen Term, der eine Nettoänderung der stationären Werte der Temperatur und der Wärmeübertragung verursacht. Im verwendeten Bereich der Parameter tritt eine Abnahme der mittleren Temperatur und eine Zunahme der mittleren Wärmeübertragung auf. Das steht im Gegensatz zum linearen Fall der Konvektionsrippe, bei dem die Mittelwerte durch Schwingungen der Fußtemperatur nicht beeinflußt werden. Detaillierte numerische Ergebnisse zeigen die Einflüsse des Rippenparameters N und der dimensionslosen Frequenz B auf Temperatur Verteilung, Wärmeübertragung und zeitliches Mittel des Rippengütegrades. Dieses zeitliche Mittel nimmt merklich ab bei kleinem N und hohem B.

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Nomenclature b fin thickness - B dimensionless frequency, L²/ - E emissivity - f₀, f₁ functions of X - g₀, g₁, g₂ functions of X - h₀, h₁, h₂ functions of X - k thermal conductivity - L fin Length - N fin parameter, 2EL²T_bm/bk - q heat transfer rate - Q dimensionless heat transfer rate, qL/kbT_bm - t time - T temperature - T_b fin base temperature - T_S effective sink temperature - T_bm mean fin base temperature - x axial distance - X dimensionless axial distance, x/L - dimensionless amplitude of base temperature (s. Eq.2) - thermal diffusivity - instantaneous fin efficiency - time-average fin efficiency - _ss steady state fin efficiency - dimensionless temperature, T/T_bm - ₀ zero-order approximation - ₁ first-order approximation - ₂ second-order approximation - _2s steady component of ₂ - , ₁, ₂ constants - complex function of X - ₁ real part of - ₂ imaginary part of - complex function of X - ₁ real part of Y - ₂ imaginary part of - dimensionless time, t/L² - frequency of base temperature oscillation     

Wärmeübertragung und Druckverlust in glatten und gebeulten Rohren

Zusammenfassung Es werden Messungen von Wärmeübergang und Druckverlust an einem Glattrohr und zwei unterschiedlichen Beulrohren beschrieben.Ein spezielles Verfahren zur Versuchsauswertung ermöglicht die Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten sowohl im Rohr als auch im Ringspalt ohne Messung der Rohrwandtemperaturen.Für die Wärmeübergangskoeffizienten und Druckverluste im Rohr werden Näherungsgleichungen angegeben.

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Heat transfer and pressure drop in smooth and buckled tubes

Measurements of heat transfer and pressure drop in a smooth and two different buckled tubes are described.A special evaluation method permits the determination of heat transfer coefficients as well in the tube as in the annulus without measuring tube wall temperatures.Approximation equations are presented for in tube heat transfer coefficients and pressure drop.

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Formelzeichen

Symbol Einheit Bedeutung A m² Fläche - B Konstante - c_p kj/kj K isobare spezifische Wärmekapazität - C Konstante - d m Durchmesser - D m Innendurchmesser des Mantelrohres - E Konstante - k W/m ² K Wärmedurchgangskoeffizient - K Korrekturfaktor, Gl. (42) - l m Länge - m kg/s Massenstrom - n Konstante, Exponent - N Anzahl der Messungen - p bar Druck - q Konstante, Exponent - Q W Wärmestrom - V m³/s Volumenstrom - w m/s Geschwindigkeit - W K/W Wärmewiderstand - W/m² K Wärmeübergangskoeffizient - m Wanddicke - endliche Differenz von . - Widerstandsbeiwert - kg/ms dynamische Viskosität - °C Temperatur - W/mK Wärmeleitfähigkeit - v m²s kinematische Viskosität - kg/m³ Dichte - Funktion Indizes a außen - B1 Beulrohr 1 - B2 Beulrohr 2 - fm bei der mittleren Fluidtemperatur - i innen - Lm logarithmischer Mittelwert bei Wand- und mittlerer Fluidtemperatur - m Mittel - m mit der Bezugslänge - m/ gebildet - w bei Wandtemperatur - 0 für Glattrohr - 1 Warmwasserseite - 2 Kaltwasserseite - am Eintritt - am Austritt - * unkorrigierte Werte Dimensionslose Kennzahlen FZ Formkennzahl - Nu Nusselt-ZahlNu= · d/gl - Pr Prandtl-ZahlPr= c_p/ - Re Reynolds-ZahlRe=w · d /v - SK Strömungskennzahl Gl. (12)     

Dynamics of two-phase bubble-droplets in immiscible liquids

This paper describes an experimental study of two-phase bubble-droplets of butane in distilled water. In the process of direct-contact heat transfer between two immiscible liquids, and with change of phase, evaporation occurs within a liquid droplet to form an interior bubble which ultimately may expand to absorb the entire droplet. The so-called stopped-evaporation two-phase bubble-droplets were formed by such evaporating droplets of butane rising in a column of water by application of pressure on the surface of the water to stop the evaporation. The configurations of such bubble-droplets, which depend on the ratio of mass of the vapor to mass of the liquid, are discussed. Results are also given for the rise velocity, and comparisons are made between the rise velocity of stopped-evaporation droplets and those of evaporating droplets.

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Dynamik zweiphasiger Blasen-Tropfen in unmischbaren Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die experimentelle Untersuchung von zweiphasigen Blasen-Tropfen aus Butan in destilliertem Wasser wird beschrieben. Bei direktem Wärmeaustausch mit Phasenänderung zwischen zwei unmischbaren Flüssigkeiten beginnt die Verdampfung innerhalb eines Flüssigkeitstropfens und bildet eine innere Blase, die sich schließlich ausdehnt und den Tropfen absorbiert. Ein Ende der Verdampfung konnte beim Aufsteigen von Butantropfen in eine Wassersäule durch Anlegen von Druck an der Wasseroberfläche erreicht werden. Die Struktur dieser Blasen-Tropfen, die abhängt vom Verhältnis der Massen des Dampfes und der Flüssigkeit, wird diskutiert. Außerdem werden Ergebnisse für die Aufstiegsgeschwindigkeit gegeben und die Aufstiegsgeschwindigkeiten der verdampfenden Tropfen mit denen bei beendeter Verdampfung verglichen.

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Nomenclature d Equivalent spherical diameter of initial droplet (mm) - D Equivalent spherical diameter of bubble-droplet (mm) - m₀₀ Initial mass of droplet (kg) - m _v Mass of vapour (kg) - Re _c Reynolds number based on water properties (Re_c=UD/) - t Time (s) - T _c Temperature of water (°C) - U Rise velocity (m/s) - Z Position of bubble-droplet (mm) - t ₀ Overall temperature difference (C deg) - Density (kg/m³) - Viscosity (kg/m s)     

Natural convection in partially heated vertical channels

A numerical analysis has been performed on laminar natural convection of air in open vertical channels partially heated at uniform wall temperature (UWT) or at uniform heat flux (UHF). The governing equations have been solved by means of a finite difference technique. Results showing axial velocity and temperature developments as well as heat transfer performances and correlations between non-dimensional groups, are presented.

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Natürliche Konvektion in teilweise erwärmten vertikalen Kanälen

Zusammenfassung Eine numerische Analyse wurde über die natürliche Luftkonvektion in vertikalen, mit gleichmäßiger Wandtemperatur (UWT) oder mit gleichmäßigem Wärmestrom (UHF) teilweise erwärmten Kanälen durchgeführt. Die analytischen Gleichungen des Problems wurden mit der Finit-Differenzen-Technik gelöst, und es werden Ergebnisse hinsichtlich der Geschwindigkeits- und Temperaturverteilungen im Inneren des Kanals sowie der thermischen Leistung des Systems aufgeführt.

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Nomenclature a thermal diffusivity of the fluid - c _p specific heat (at constant pressure) of the fluid - g acceleration due to gravity - Gr =[·g·S ³ ·(T₁-T₀)]/v²,Grashof number (UWT case) - Gr =[-g-S ⁴ -q ₁]/(v ²·k), Grashof number (UHF case) - Gr ^* =(S/H) Gr, modified Grashof number - H overall channel height - I, J X andY coordinate indexes - k thermal conductivity of the fluid - Nu mean Nusselt number of the channel - p difference between pressure inside the channel and pressureoutside, at the same heightx - P dimensionless difference pressure - Pr Prandtl number - q specific heat flux - q ₁ specific heat flux from heated plates (UHF case) - Q heat flux (per unit length in thez-direction) from walls - S channel width - T temperature - T _w reference wall temperature - T _o fluid temperature at the inlet section - T ₁ heated plates temperature (UWT case) - u, axial and transverse velocity of the fluid - u _o axial velocity of the fluid at the inlet section - U, V dimensionless axial and transverse velocity - U _o dimensionless axial velocity at the inlet section - x, y axial and transverse coordinate - X, Y dimensionless axial and transverse coordinate - X =H/(S·Gr), dimensionless overall channel height - thermal expansion coefficient of the fluid - dimensionless temperature - v kinematic viscosity of the fluid - density of the fluid     

Transient laminar free convection in horizontal cylinders

A numerical study of laminar natural convection inside uniformly heated, partially or fully filled horizontal cylinders is made. A coordinate transformation which simplifies the discretization of the equations of motion and energy is utilized. The resulting system of partial differential equations with their boundary conditions is solved using central differences for various Prandtl and Grashof numbers for two different grid sizes. The flow in completely filled cylinders for which experimental data are available is predicted. Close agreement between steady-state predictions and experiments is obtained for temperature and velocity profiles as well as for the streamline contours and isotherms. The technique is further demonstrated by solving the transient natural convection flow inside a partially filled horizontal cylinder with an adiabatic free surface and subjected to uniform wall heating.

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Laminare freie Konvektion in horizontalen Zylindern

Zusammenfassung Es wurde eine numerische Berechnung der laminaren, freien Konvektion in gleichmäßig beheizten, teilweise oder ganz gefüllten, horizontalen Zylindern durchgeführt. Dabei wird eine Koordinatentransformation benützt, welche die Diskretisierung der Bewegungs- und der Energiegleichung vereinfacht. Das so resultierende System von partiellen Differentialgleichungen wird, zusammen mit seinen Randbedingungen, unter Verwendung einer Differenzenmethode für verschiedene Prandtl und Grashof-Zahlen sowie für zwei verschiedene Gittergrößen gelöst. Für den vollständig gefüllten Zylinder, für den experimentelle Daten verfügbar sind, wird die Strömung vorhergesagt. Dabei wird für stationäre Zustände gute Übereinstimmung zwischen Rechnung und Experiment erzielt. Dies gilt sowohl für den Verlauf der Stromlinien als auch für den der Isothermen. Das Verfahren wird weiterhin am Beispiel der Berechnung instationärer, freier Konvektion in einem partiell gefüllten, horizontalen Zylinder demonstriert, wobei eine adiabate, freie Oberfläche und gleichmäßige Beheizung der Wand angenommen sind.

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Nomenclature g acceleration due to gravity, m/s² - Gr _R ^* modified Grashof number =gqR⁴/kv² - Gr _R Grashof number =gTR³/v² - H heat function vector, dimensionless - k thermal conductivity, W/mK - L(Y) cord length associated with coordinateY, dimensionless - Pr Prandtl number=v/ - q wall heat flux, W/m² - R radius, m - r(X, Y,Z) distance of a boundary point from the reference axis, dimensionless - S vector derived from the flow field solution, dimensionless - T temperature, K - T _w wall temperature, K - T reference temperature, K - t time, s - u, v velocity components inx, y directions, m/s - U, V dimensionless velocity components inX- and Y-direction normalized withU - U reference velocity=gqR²/k or gTR, m/s - V velocity vector, dimensionless - W vorticity vector, dimensionless - W vorticity, dimensionless - x, y, z cartesian coordinates, m - X, Y, Z cartesian coordinates normalized with a reference length, dimensionless Greek letters thermal diffusivity, m²/s - coefficient of thermal expansion, K^–1 - ,,, non-dimensional coordinates in the transformed domain - non-dimensional temperature =(T–T)_k/q^R or T–T/T_w–T - v kinematic viscosity, m²/s - non-dimensional time=v/R² Gr_Rt or v/R² G _R ^* t - angle measured from the bottom of the cylinder, rads - ^* angle measured from the axis on (– ) plane, rads - heat potential, dimensionless - angle of incidence of the heat flux vector, rads - non-dimensional stream function - vector potential, dimensionless - grid size, dimensionless - ² Laplacian operator - gradient vector     

Der Einfluß variabler Stoffwerte auf natürliche laminare Konvektionsströmungen

Zusammenfassung Es wird zunächst die laminare natürliche Konvektionsströmung in der Nähe eines ebenen Staupunktes und für die senkrechte Platte betrachtet. Die Stoffgesetze werden in der Umgebung des Bezugszustandes T (Umgebungstemperatur) in Taylor-Reihen entwickelt, deren Koeffizienten dimensionslose Stoffkennzahlen — wie die Prandtl-Zahl — sind, die als freie Parameter in die Rechnung eingehen. Wandschubspannung und Wärmeübergang lassen sich für beliebige Stoffgesetze als Potenzreihe eines Parameters universell angeben. Der Entwicklungsparameter ist dabei ein Maß für die Stärke der Wärmeübertragung. Ein Vergleich mit der Methode der Stoffwertverhältnisse ermöglicht die Bestimmung der dort vorkommenden Exponenten für alle Stoffe, ohne daß auf empirische Daten zurückgegriffen werden muß. Aus den Ergebnissen wird dann eine nicht-rationale Näherungsbeziehung für beliebige zylindrische Körper gewonnen.

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The influence of variable fluid properties to free convection laminar flows

First the free convection laminar flow near a plane stagnation point and at the vertical flat plate is investigated. The functions describing the temperature dependence of the fluid properties are expanded as Taylor series at the reference state T (ambient temperature) whose coefficients are dimensionless fluid properties like the Prandtl number, but are not specified for particular fluids. Shear stress and heat flux at the wall are given for arbitrary temperature dependence of the fluid properties as universal power series of a parameter. This perturbation parameter describes the strength of heat transfer. Comparison with the property-ratio method shows how the exponents in that method depend on the fluid properties without any need of empirical information. From these results a non-rational approximation for arbitrary cylindrical bodies is developed.

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Formelzeichen c _a integrierter Reibungsbeiwert, Gl. (64) - c _f Reibungsbeiwert, Gl. (49) - c _p spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck - d Transformationsparameter, Gl. (6) - e Exponent bei der Verteilung der Wandtemperatur, Kap. 2 - f( _s ) dimensionslose Stromfunktion, Gl. (7) - f ₀ f(_s) für konstante Stoffwerte - f _1i dimensionslose Stromfunktionen, Gl. (25) i=1,2, 3, 4 - g Erdbeschleunigung - Gr Grashof-Zahl, Kap. 4 - K _a Kombination aus dimensionslosen Stoffwerten, Gl. (24) - k _ij dimensionslose Stoffwerte, Gln. (13) bis (17) i=1, 2; j=,,,c - k _ij dimensionslose Stoffwerte, Gln. (20) bis (23) i=1,2; j=, - L Bezugslänge, Tabelle 1 - L _i Linear-Operatoren, Gln. (37) bis (40) i=1,2,3,4 - m _i Exponenten, Gl. (59), i=1, 2, 3, 4 - Hilfsfunktionen, Gl. (53), i=1,2, 3, 4 - n _i Exponenten, Gl. (60), i=1,2,3,4 - Hilfsfunktionen, Gl. (55), i=1, 2, 3, 4 - N _u Nusselt-Zahl, Kap. 6 - Pr ^*,Pr Prandtl-Zahl, Tabelle 1 - q _w Wärmefluß an der Wand, Gl. (50) - Q _w Gesamt-Wärmefluß an der Wand, Gl. (63) - T absolute Temperatur - u _b Bezugsgeschwindigkeit, Kap. 4 - u, v Geschwindigkeitskomponenten - x, y kartesische Koordinaten - Kontur-Neigungswinkel, Bild 1 - Volumenausdehnungskoeffizient, Gl. (13) - Entwicklungsparameter, Gl. (15) - Viskosität - _s Ähnlichkeitsvariable, Gl. (6) - ( _S ) dimensionslose Temperatur, Tabelle 1 - ₀ (_S) dimensionslose Temperatur bei konstanten Stoffwerten - _1i imensionslose Temperaturen, Gl. (26) i=1,2, 3, 4 - Wärmeleitfähigkeit - kinematische Viskosität - Dichte _W Wandschubspannung - Stromfunktion - _i Exponenten, Gl. (69) i=,,,c_p Indizes c.p. konstante Stoffwerte - L an der StelleL ^* - m mittlerer Wert - W Wand - mgebungszustand     

Viscoelastic swirling flow with free surface in cylindrical chambers

The flow of a viscoelastic liquid driven by the steadily rotating bottom cover of a cylindrical cup is investigated. The flow field and the shape of the free surface are determined at the lowest significant orders of the regular domain perturbation in terms of the angular velocity of the bottom cap. The meridional field superposed on a primary azimuthal field shows a structure of multiple cells. The velocity field and the shape of the free surface are strongly effected by the cylinder aspect ratio and the elasticity of the liquid. The use of this flow configuration as a free surface rheometer to determine the first two Rivlin-Ericksen constants is shown to be promising.Nomenclature R, ,Z Coordinates in the physical domain D - , , Coordinates in the rest stateD ₀ - r, ,z Dimensionless coordinates in the rest stateD ₀ - Angular velocity - Zero shear viscosity - Surface tension coefficient - Density - Dimensionless surface tension parameter - ₁, ₂ The first two Rivlin-Ericksen constants - Stream function - Dimensionless second order meridional stream function - ^* Dimensionless second normal stress function - 2 Dimensionless sum of the first and second normal stress functions - N ₁,N ₂ The first and second normal stress functions - n Unit normal vector - D Stretching tensor - A _n nth order Rivlin-Ericksen tensor - S Extra-stress - u Velocity field - U Dimensionless second order meridional velocity field - V Dimensionless first order azimuthal velocity field - p Pressure - Modified pressure field - P Dimensionless second order pressure field - J Mean curvature - a Cylinder radius - d Liquid depth at rest - D Dimensionless liquid depth at rest - h Free surface height - H Dimensionless free surface height at the second order     

Polypropylene and polyethylene blends

Summary The flow behaviour of blends of an isotactic polypropylene (PP) and a high density polyethylene (PE) in the molten state was studied as a function of composition, temperature and shear rate to examine the degree of compatibility under shear. PP and PE were melt blended in a laboratory single screw mixing extruder at the compositions 0, 25, 50, 75 and 100 percentage of PE by weight and shear stress versus shear rate data were obtained using an Instron capillary viscometer at different temperatures. Viscosity-shear rate data of PP-PE blends at different temperatures constitute master curves at constant blend composition, when plotted as /₀ versus ₀/T. This type of behaviour is commenly observed for homopolymer systems. Therefore these experimental findings indicate that the PP-PE system forms either a compatible blend in the molten state under shear flow conditions or a morphology which is independent of temperature.

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Zusammenfassung Es wurde das Fließverhalten von Mischungen eines isotaktischen Polypropylens (PP) und eines Polyäthylens mit hoher Dichte (PE) im Schmelzzustand untersucht in Abhängigkeit von der Zusammensetzung, der Temperatur und der Schergeschwindigkeit. Damit sollte der Grad der Kompatibilität unter Scherbeanspruchung geprüft werden. PP und PE wurden in einem Labor-Einschnecken-Misch-Extruder mit Anteilen von 0, 25, 50, 75 und 100 Gewichts-Prozent PE zusammengemischt. Die Fließkurven wurden bei verschiedenen Temperaturen in einem Instron-Kapillar-Rheometer gemessen. Die Viskositätsverläufe als Funktion der Schergeschwindigkeit bei verschiedenen Temperaturen lassen sich bei konstantem Mischungsverhältnis zu Masterkurven zusammenfassen, wenn man /₀ gegen ₀/T aufträgt. Dieses Verhalten findet man gewöhnlich nur für Homopolymerisate. Daher zeigen diese experimentellen Ergebnisse an, daß die PP-PE-Systeme im Schmelzzustand unter der Bedingung des Scherfließens entweder eine kompatible Mischung bilden oder aber eine temperaturunabhängige Morphologie aufweisen.

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In partial fulfilment of the Teknisk Licentiate degree (Ph.D.).

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With 11 figures and 3 tables     

Prediction of stagnation point heat transfer for a slot jet impinging on a concave semicylindrical surface

A systematic procedure has been laid out for assessment of fluid flow and heat transfer parameters for a slot jet impinging on a concave semicylindrical surface. Based on Walz's modifications of the Karman-Pohlhausen integral method, expressions have been derived for evaluation of the momentum thickness, boundary layer thickness and the displacement thickness at the stagnation point. The work then has been extended for the estimation of thermal boundary layer thickness and local heat transfer coefficients. A correlation has been presented for the Nusselt number at the stagnation point as a function of the Reynolds number for different non-dimensional distances from the exit plane of the jet to the impingement surface.

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Berechnung des Wärmeübergangs im Staupunkt eines Strahles, der aus einer rechteckigen öffnung auf eine konkave halbzylindrische Fläche auftrifft

Zusammenfassung Es wurde eine systematische Prozedur für die Abschätzung von Strömungs- und Wärmeübergangsparametern für einen Strahl, der auf eine konkave halbzylindrische Fläche auftrifft, aufgestellt. Basierend auf Walz's Modifikationen der Karman-Pohlhausen Integral-Methode, wurden Ausdrücke für die Berechnung der Impulsdicke, der Grenzschichtdicke und die Versetzungsdicke am Staupunkt abgeleitet. Die Arbeit wurde dann auf die Abschätzung der thermischen Grenzschichtdicke und der lokalen Wärmeübertragungskoeffizienten ausgedehnt. Es wird eine Beziehung für die Nusselt-Zahl am Staupunkt als eine Funktion der Reynolds-Zahl für verschiedene dimensionslose Abstände von der Austrittsfläche des Schlitzes bis zur Aufprallfläche aufgestellt.

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Nomenclature c _p specific heat at constant pressure - h ₀ heat transfer coefficient at the stagnation point - H distance from the exit plane of the jet to the impingement surface - k thermal conductivity - Nu _.5 Nusselt number based on impinging jet quantities =h _0.50/k - Nu _.5,0 stagnation point Nusselt number =h _{0 0.50}/k - p pressure - p _a ambient pressure - p ₀ maximum pressure or stagnation pressure - p(x) static pressure at a distancex from the stagnation point - p(x*) static pressure at nondimensional distancex* from the stagnation point - Re _J jet Reynolds number =U _J W/ - Re _0.5 Reynolds number based on impinging jet quantities =u _{m0 0.50}/ - T temperature - T* nondimensional temperature =(T–T _W)/(T _J–T _W) - T _a room temperature - T _J jet temperature - T _W wall temperature - u velocity component inx andx directions - u _m jet centerline (or maximum) free jet velocity: external (or maximum) boundary layer velocity aty = _m - u _m0 arrival velocity defined as the maximum velocity the free jet would have at the plane of impingement if the plane were not there - U _J jet exit velocity - W jet nozzle width - x* nondimensional coordinate starting at the stagnation point =x/2 _0.50 - x, y rectangular cartesian coordinates - y coordinate normal to the wall and starting at the wall - ratio of thermal to velocity boundary layer thickness = _T/ _m - ₀ ratio of thermal to velocity boundary layer thickness at the stagnation point - * inner layer displacement thickness - _.50 jet half width at the plane of impingement if the plate were not there - d_.5 free jet (half width) thickness whereu=u _m/2 - _m inner boundary layer thickness atu =u _m - _T thermal boundary layer thickness - nondimensional coordinate normal to wall =y/ _m - _T nondimensional coordinate normal to wall =y/ _T - Pohlhausen's form parameter - dynamic viscosity - kinematic viscosity = / - fluid density - momentum thickness - ₀ momentum thickness at the stagnation point     

On the closure problem for Darcy's law

In a previous derivation of Darcy's law, the closure problem was presented in terms of an integro-differential equation for a second-order tensor. In this paper, we show that the closure problem can be transformed to a set of Stokes-like equations and we compare solutions of these equations with experimental data. The computational advantages of the transformed closure problem are considerable.Roman Letters A interfacial area of the- interface contained within the macroscopic system, m² - A _e area of entrances and exits for the-phase contained within the macroscopic system, m² - A interfacial area of the- interface contained within the averaging volume, m² - A _e area of entrances and exits for the-phase contained within the averaging volume, m² - B second-order tensor used to respresent the velocity deviation - b vector used to represent the pressure deviation, m^–1 - C second-order tensor related to the permeability tensor, m^–2 - D second-order tensor used to represent the velocity deviation, m² - d vector used to represent the pressure deviation, m - g gravity vector, m/s² - I unit tensor - K C ^–1,–D, Darcy's law permeability tensor, m² - L characteristic length scale for volume averaged quantities, m - characteristic length scale for the-phase, m - l _i i=1, 2, 3, lattice vectors, m - n unit normal vector pointing from the-phase toward the-phase - n _e outwardly directed unit normal vector at the entrances and exits of the-phase - p pressure in the-phase, N/m ² - p intrinsic phase average pressure, N/m² - p –p , spatial deviation of the pressure in the-phase, N/m² - r position vector locating points in the-phase, m - r ₀ radius of the averaging volume, m - t time, s - v velocity vector in the-phase, m/s - v intrinsic phase average velocity in the-phase, m/s - v phase average or Darcy velocity in the \-phase, m/s - v –v , spatial deviation of the velocity in the-phase m/s - V averaging volume, m³ - V volume of the-phase contained in the averaging volume, m³ Greek Letters V /V volume fraction of the-phase - mass density of the-phase, kg/m³ - viscosity of the-phase, Nt/m²     

Vergleich von Korrelationen zum Wärmeübergang beim unterkühlten Sieden

Zusammenfassung Es werden Experimente zum Wärmeübergang beim unterkühlten Sieden von R12 (CCl₂F₂) in einem senkrechten Kupferrohr bei Aufwärts- und Abwärtsströmung vorgestellt. Die Wärmeübergangskoeffizienten werden mit Korrelationen aus der Literatur verglichen. Für einige Korrelationen werden Änderungen in den Konstanten vorgeschlagen, um eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Daten zu erreichen. Ein deutlicher Einfluß der Strömungsrichtung — aufwärts oder abwärts — auf den Wärmeübergangskoeffizienten konnte für Flüssigkeitsgeschwindigkeiten von 0,5 bis 1,75 m/s nicht festgestellt werden.

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Comparison of heat transfer correlations in subcooled boiling

Experimental results of subcooled boiling heat transfer of refrigerant R12 (CCl₂F₂) in a vertical copper tube in upflow and downflow are reported. The results are compared with different correlations given in literature. The constants of some correlations are adjusted to yield better agreement with the experimental data of R12. A clear effect of flow direction — upwards or downwards — cannot be observed for liquid flow velocities of 0.5 to 1.75 m/s.

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Formelzeichen A _C Querschnittsfläche des Strömungskanals - c _p spezifische Wärmekapazität - C ₁...C ₄ Konstanten - D Durchmesser - Massenstromdichte - p Druck - Wärmestromdichte - R _p Rauhigkeit - T _S Sättigungstemperatur - T _F Fluidtemperatur - T _W Wandtemperatur - v spezifisches Volumen - Volumenstrom - w Geschwindigkeit - Wärmeübergangskoeffizient - dynamische Viskosität - Wärmeleitfähigkeit - Dichte - Oberflächenspannung - h _V spezifische Verdampfungsenthalpie - T _U Unterkühlung - Siedekennzahl - Ja =c _p T _U /h _V modifizierte Jakobzahl - Nu = D/ Nusseltzahl - Pr = c _p / Prandtlzahl - Reynoldszahl - St=/(wc _p ) Stantonzahl Indizes B Sieden (boiling) - f Flüssigkeit - g Dampf - K Konvektion - pb Behältersieden (pool boiling) - S Sättigung - W Wand     

Wandeffekte bei dispers-plastischen Materialien

Zusammenfassung Die Wandgleitgeschwindigkeit von dispers-plastischen Gemischen aus Kaolinpulver und Paraffinöl wird nach der Drei-Spalte-Methode für die Couette-Strömung mit einem Searle-Rheometer ermittelt. Sie steigt zunächst mit zunehmender Schubspannung an, erreicht ein Maximum, fällt mit weiter steigender Schubspannung wieder ab und wird schließlich sogar negativ. Eine negative Wandgleitgeschwindigkeit ist natürlich physikalisch unmöglich. Dispersplastische Gemische aus Kaolinpulver und Paraffinöl zeigen also ein komplizierteres Wandverhalten als reines Wandgleiten.Zur Deutung dieses komplizierten Wandeffektes wird eine Modellvorstellung entwickelt. Wichtig ist hierbei, daß eine zunehmende Wandgleitgeschwindigkeit auftritt, bevor eine starke Scherströmung im Innern des Strömungsfeldes einsetzt. Mit beginnender Scherströmung führen die plättchenförmigen dispersen Teilchen auf Grund von Zusammenstößen seitliche Schwankungsbewegungen um die makroskopisch wahrnehmbaren Bahnkurven aus.Diese Teilchenbewegungen führen zur Zerstörung der zunächst beim Wandgleiten sich ausbildenden Mikrostrukturen an der Wand. Daher kann die Wandgleitgeschwindigkeit trotz steigender Wandschubspannung abnehmen. Die Behinderung der seitlichen Partikelbewegungen an der Wand — die dispersen Teilchen können sich auf der Wand abstützen — führt bei weiter steigender Schergeschwindigkeit im Innern des Strömungsfeldes makroskopisch zu einer Versteifung des Materials in Wandnähe. Damit können negative Werte der sog. Wandgleitgeschwindigkeit — man spricht besser von einer integralen Wandfunktion — sowie bestimmte experimentelle Befunde bei der Druckabhängigkeit und bei der Temperaturabhängigkeit der rheologischen Eigenschaften und des Wandeffektes erklärt werden.Die experimentellen Untersuchungen beschränken sich im wesentlichen auf den Wandeffekt an schwach gekrümmten Wänden in Couette-Spalten, an denen ein Krümmungseinfluß auf den Wandeffekt mit großer Wahrscheinlichkeit vernachlässigbar ist. Die Auswirkung eines Krümmungseinflusses auf die rheometrischen Meßergebnisse wird jedoch diskutiert. Die aus rheometrischen Messungen bestimmbare integrale Wandfunktion liefert im Fall des komplizierten Wandeffektes noch keine vollständige Information über das Wandverhalten.

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The wall slip velocity of disperse plastic mixtures of kaolin powder and paraffin oil is determined by the so-called three-gap method for Couette flow with a Searle rheometer. At the start it grows with increasing shear stress, reaches a maximum, then decreases with further increases in shear stress and finally becomes negative. From a physical point of view, negative wall-slip-velocities are impossible. Thus it is concluded that disperse plastic mixtures of kaolin powder and paraffin oil show a more complicated wall effect than pure wall slip.In order to explain this complicated wall effect a model of the microstructure near the wall is developed: It is essential that increasing wall slip velocity occurs before the start of shear flow in the interior of the flow field. With shear flow the slab-like disperse particles perform lateral fluctuations around their macroscopically perceptible flow paths. These are caused by collisions between the particles. These lateral particle movements destroy the microstructure at the wall which was built up by pure wall slip. Therefore the wall slip velocity may decrease inspite of increasing wall shear stress. One may then assume a suppression of lateral particle movement at the wall with further increases in the shear in the interior of the flow field which will cause some kind of stiffening of the material near the wall. This assumption can explain the negative values of the so-called slip velocity (which is better termed an integral wall function) as well as some effects in connection with the pressure and temperature dependence of the flow function and integral wall function.The experimental investigations are confined to slowly curved walls in Couette gaps, where an influence of wall curvature on the wall effect may be neglected, but the influence of wall curvature on the wall effect is discussed theoretically. The integral wall function which can be determined from rheometric measurements does not yield complete information on the complicated wall effect.

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f() Schubspannungsfunktion - Schubspannungsfunktion in Wandnähe - h axiale Erstreckung eines Couette-Spaltes - M _d übertragenes Drehmoment in der Couette-Strömung - R kleinster Krümmungsradius einer Wand an einer Stelle - R _w Radius einer zylindrischen Wand - R _a, R_i Radien von Außen- und Innenzylinder eines Couette-Spaltes - R ₁, R₂, R₃ Radien eines Drei-Spalte-Couette-Systems - R _w1, R_w2 Radien von zwei Rohren - Volumenstrom in einer Rohrströmung - Volumenströme durch zwei verschiedene Rohre bei gleicher Wandschubspannung - v _w (_w) Wandgleitgeschwindigkeit - Winkel zwischen Wandschubspannung und der Richtung, in der die Wand am schwächsten gekrümmt ist - =(R_a/R_i)² quadratisches Radienverhältnis - (_w) Dicke der vom komplizierteren Wandeffekt beeinflußten Wandschicht - Dicke eines Gleitfilms bei Wandgleiten - _w Schubspannungsänderung in der Wandschicht (_w) - f(_w, ) Wandfunktion - Wandabstand - ø _w (_w) integrale Wandfunktion bei vernachlässigbarer Wandkrümmung und vernachlässigbarer Schubspannungsänderung in der Wandschicht (_w) - ø _Couette ( _w, ₂) integrale Wandfunktion der Couette-Strömung - ø _Rohr ( _w, R_w) integrale Wandfunktion der Rohrströmung - ø _Couette ^* ( _w, R₂) experimentell ermittelte Wandfunktion der Couette-Strömung - ø _Rohr ^* ( _w, R_w, R_w2) experimentell ermittelte Wandfunktion der Rohrströmung - ₁, ₂ größter bzw. kleinster Krümmungsradius einer Wand - _w Wandschubspannung - _a, _i Wandschubspannung am Außen- bzw. Innenzylinder eines Couette-Spaltes - ₂ Wandschubspannung in einem Drei-Spalte-Couette-System am mittleren RadiusR ₂ - Schubspannung - Winkelgeschwindigkeitsdifferenz zwischen Außen- und Innenzylinder eines Couette-Spaltes - _I (M_d), _II (M_d), _III(M_d) Winkelgeschwindigkeitsdifferenzen an einem Drei-Spalte-Couette-System als Funktionen des übertragenen Momentes     

Temperature in heat generating solids with memory

The present paper is concerned with time dependent heat transport by wave propagation in an homogeneous isotropic elastic solid with memory. The energy generated in the material for electrical heating or chemical or nuclear reactions is propagated with a finite speed.The effect of this thermal wave speed is noticeable in many practical applications involving short time and high heat flux situations. The one dimensional, time dependent temperature distribution in a heat generating solid is analytically determined resorting to the Maxwell-Cattaneo-Vernotte equation, following the theory of complex functions of complex variables. Some results are reported and shortly discussed; a comparison with the classical Fourier theory is made.

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Temperaturverteilung in einem festen Körper mit Wärmeerzeugung und thermischer Nachwirkung

Zusammenfassung Die Arbeit behandelt den zeitabhängigen Wärmetransport durch eine fortschreitende Welle in einem homogenen isotropen elastischen Festkörper mit Gedächtnis. Die im Material durch elektrische Heizung oder durch chemische oder nukleare Reaktionen erzeugte Wärme wird mit endlicher Geschwindigkeit fortgeleitet. Die Wirkung dieser thermischen Wellengeschwindigkeit ist für manche praktische Anwendungen von Bedeutung, soweit kurze Zeiten und hohe Wärmeflüsse eine Rolle spielen. Die eindimensionale zeitabhängige Temperaturverteilung in einem wärmeerzeugenden Körper ist analytisch bestimmt unter Benutzung der Maxwell-Cattaneo-Vernotte-Gleichung nach der Theorie komplexer Funktionen komplexer Variablen. Einige Ergebnisse werden mitgeteilt, kurz diskutiert und mit der klassischen Fourier-Theorie verglichen.

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Nomenclature a heat flux relaxation function - b _n constant defined in (25) - b _n constant defined in (30) - c specific heat at constant pressure - E elasticity modulus - Fo Fourier number defined in (8) - i imaginary unity - K thermal conductivity - L slab half thickness - N integer number defined in (28) - p integration variable for the inverse Laplace transform - q heat flux vector - Q power produced in the unit volume - Q temperature defined in (8) - R _m residue associated to them-th pole - s time - S sound speed - t time - T temperature defined in (8) - T⁺ dimensionless temperature defined in (33) - u function defined in (11) - inverse Laplace transform of the functionu - U unit Heaviside step function - x dimensionless coordinate defined in (8) - thermal diffusivity - vector differential operator - ² Laplace operator - constant defined in (26) - cartesian coordinate - mass density - gq temperature - dimensionless material thermal relaxation time defined in (8) - _R material thermal relaxation time     

Einfluß der Beheizungsart auf den Wärmeübergang im horizontalen Verdampferrohr

Zusammenfassung Durch die Phasenverteilung von Flüssigkeit und Dampf ergeben sich im horizontalen Verdampferrohr i.a. unterschiedliche lokale Wärmeübergangskoeffizienten (WÜK) am Rohrumfang. Die beiden technisch vorkommenden Randbedingungen — konstante Wärmestromdichte und konstante WandemperaturT _W am Rohrinnendurchmesser — können unterschiedliche Auswirkungen auf umfangsgemittelte WÜK haben. Während bei konstanter aufgeprägter Wärmestromdichte ein interner Transport der zu übertragenden Wärmemenge durch die Wärmeleitung der Wand erfolgen kann, ist dies beiT _W =konst. nicht möglich. Die Ergebnisse zeigen, daß sich der umfangsgemittelte WÜK bei konstanter Wärmestromdichte gegenüber dem Wert bei konstanter Wandtemperatur verringert. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn der Rohrumfang unvollständig benetzt ist. Dabei hängt die Verminderung des umfangsgemittelten WÜK stark vom Wärmeleitvermögen der Wand, s, ab ( Wärmeleitfähigkeit,s Wandstärke). Es wurde festgestellt, daß die Verminderung sowohol aus der höheren Wandtemperatur am Rohrscheitel als auch aus der Änderung des benetzten Umfangs resultiert, da dann der Anteil des Rohrumfangs mit schlechtem Wärmeübergang vergrößert wird.

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Effect of thermal boundary conditions on heat transfer in a horizontal evaporator tube

As a result of the non uniform phase distribution of liquid and vapour local heat transfer coefficients vary considerably along the circumference in a horizontal evaporator tube. It was expected that both modes of heating, uniform heat flux ( = const) and uniform inside wall temperature (T _W =const), lead to different circumferential averaged heat transfer coefficients (HTC). The experiments show that the circumferential averaged HTC is lower in the case of uniform heat flux compared to the value of uniform wall temperature if the perimeter of the tube is only partly wetted. However, the reduction is affected by circumferential heat conduction. This reduction is a result of both, the higher wall temperature on the top of the tube and the reduction of the wetted perimeter.

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Formelzeichen a Verhältnis von -Werten - c _p spezifische Wärmekapazität - C _F Faktor - d Innendurchmesser - g Fallbeschleunigung - h _v spezifische Verdampfungsenthalpie - Massenstromdichte - M Rippenkenngröße - n Exponent der Wärmestromdichte - Nu Nusselt-Zahl - p Druck - p _k Kritischer Druck - p* reduzierter Druck (p/p _k ) - Pr _L Prandtl-Zahl Flüssigkeit ( c _p /) - Pr _G Prandtl-Zahl Dampf ( c _p /) - Wärmestromdichte - r Radius - Re Reynolds-Zahl - R _p Glättungstiefe nach DIN 4762 - s Wandstärke - T Temperatur - Strömungsdampfgehalt - z Koordinate in Strömungsrichtung - Wärmeübergangskoeffizient - Differenz - Dampfvolumenanteil - dynamische Viskosität - Faktor - Wärmeleitfähigkeit - Druckverlustbeiwert - Dichte - Oberflächenspannung - normierter unbenetzter Bogen - Zentriwinkel - unbenetzter Bogen - Funktion - Faktor Indizes B Blasensieden - G Dampf - G0 gesamte Massenstromdichte als Dampf - k konvektives Strömungssieden - kr kritische Größe - L Flüssigkeit - Lb mit Flüssigkeit benetzt - L0 gesamte Massenstromdichte als Flüssigkeit - s Siedezustand - W Wand - gesättigte Flüssigkeit - gesättigter Dampf - – Mittelwert Herrn Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c./INPL E.-U. Schlünder zum 60. Geburtstag gewidmet     

Heat conduction in a plane wall subject to periodic temperature changes

Analytical solutions for the heat conduction in a plane wall with periodic temperature variations at the wall surface are presented. Series and asymptotic developments of these solutions are deduced. The results are important for the calculation of the heat transfer in rotary kilns or other rotaring units.

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Die Wärmeleitung in einer ebenen Wand mit periodischen Temperaturänderungen

Zusammenfassung Es werden analytische Lösungen für die Wärmeleitung in einer ebenen Wand mit periodischen Temperaturänderungen an ihrer Oberfläche mitgeteilt. Reihen- und asymptotische Entwicklungen dieser Lösungen werden abgeleitet. Die Ergebnisse sind wichtig für die Berechnung des Wärmetransportes in Drehrohröfen oder ähnlichen Maschinen.

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Nomenclature a ² =/ C m²/s thermal diffusivity, Eq. (1) - C J/kg K specific heat - F K initial temperature of the wall, Eq. (4) - F m² surface of the wall - G Green's function, Eq. (10) - G₁ Green's function, Eq. (12) - h m thickness of the wall - H Heaviside function, Eq. (5) - k constant, Eq. (25) - k _x constant, Eq. (25) - Q J total energy, Eq. (17) - Q ^u J total energy from temperatureU, Eq. (18) - Q ^v J total energy from temperatureV, Eq. (19) - s s^–1 Laplace variable - t s time - t ₁ s heating time, Eq. (5) - t ₂ s period, Eq. (5) - T K temperature of the wall - T _i K surface temperature of the wall - T ₁ K surface temperature of the wall during the heating time - T ₂ K surface temperature of the wall during the cooling time - U K temperature of the wall defined in problem 1 - V, K temperature of the wall defined in problem 2 - x m coordinate - ₀ W/m²K overall heat transfer coefficient, Eq. (31) - ₁₀ W/m² K overall heat transfer coefficient, Eq. (32) - ₂₀ W/m² K overall heat transfer coefficient, Eq. (33) - Dirac Delta function - s^–1/2 parameter, Eq. (6) - W/mK thermal conductivity - kg/m³ specific mass - dimensionless time, Eq. (34) - Riemann Zeta function surfix Laplace transformed variable