“十字相乘法分解因式”解析

<正>同学们都知道,x~2+(p+q)x+pq型的二次三项式是分解因式中的常见题型,那么此类多项式该如何分解呢?观察(x+p)(x+q)=x~2+(p+q)x+pq,可知x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).这就是说,对于二次三项式x~2+ax+b,如果常数项b可以分解为p、q的积,并且有p+q=a,那么x~2+ax+b=(x+p)(x+q).这就是分解因式的十字相乘法.下面举例具体说明怎样进行分解因式.     

活的“ax~2+bx+c”—“双基”教学点滴

ax~2+bx+c是一个x的二次三项式(a、b、c为常数,且a≠0)。若ax~2+bx+c=0(a≠0)则表示一个x的二次方程。本人在数学复习的教学实践中,把二次三项式、二次方程的一些常用结论与因式分解,不等式的证明,解三角问题以及处理一些解几问题结合起来,引导学生学活ax~2+bx+c,启发学生注重“双基”训练,收到了较好的效果。一因式分解对于含几个字母的多项式的因式分解,往往需要通过恰当的分组。而如何分得恰当又无一般规律,因而学生较难把握。我选了以下三个例题     

记一次歪打正着的研究性学习

<正>在因式分解的公式法中,有两种公式.一是平方差公式,二是完全平方公式.但当我们遇到一些二次三项式,它们既不能提取公因式,又不能套用公式时,就可以尝试用十字相乘法来分解因式.所谓十字相乘法就是把二次三项式分解因式如下:x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),在这一过程中往往需要多次试验才能成     

求代数式的值

<正>1.与代数式有关的求值问题例1若关于x的多项式(a-4)x3+x b+x-b是二次三项式,求a-b的值.解析既然这个多项式是二次三项式,其中就不应有三次项,并且最高次项是二次,因此a-4=0,b=2,解得a=4,b=2.所以a-b=4-2=2.例2若关于x的代数式-3x2+mx     

谈谈双二次多项式的因式分解

形如 f(z)=x~4+px~2+q 的多项式称为双二次多项式。我们知道,在复数域上 f(x)总可按固定的方法分解为四个一次因式之积,此不赘述。本文打算分别谈谈 f(x)在实数和有理数域上的因式分解问题。在实数域上,当 p~2-4q≥0时,我们可以用     

有限域上的二次本原多项式

本文证明了对任给定的 a∈GF(q)~*,均存在 GF(q)上的形为 x~2+ax+b的二次本原多项式.从而证明了 Golomb 猜想(D).     

对初中代数中整式一章教学的几点体会

初中代数里“整式”这一章是整个代数学的基础,它对学生以后的学习,关系是异常重大的。因此在教学中,必須要求学生要理解透彻,記忆牢固,运用正确,計算熟练。如所周知,在这一章的教学中,教师讲起来,学生多不感到难懂,但一当学生自己动手作起題来,有时就会感到似是而非,沒有把握,乃至錯誤百出。例如,开头时有的学生就不承认a 2a 5b=3a 5b已經算完了;有的认为a~0应等于0,而不应等于1;有的則算出:3x-2(x-5y)=3x-2x-5y,3x-2(x-5y)=3x-6x 30y,x~3·x~2=x~6,x~3y~2 x~2y~3=x~5y~5以及5ab 3ab=Sa2b,5a~2b 3a~2b==8a~4b~2等等錯誤的結果来;甚至有的还长期地把3a~2和(3a)~2,-a~2和(-a)~2,(a b)~2和a~2 b~2混淆不清;或者在教师强調了(a b)~2≠a~2 b~2之后,却連(ab)~2=a~2b~2又不敢承认了。笔者有鑑于此,深     

一类三参数四次Thue方程的一个注记

给出一类三参数的四次Thue方程x~4-4sx~3y-(2ab+4(a+b)s)x~2y~2-4absxy~3+a~2b~2y~4=1,s≥1,当a=2,b=1时的所有整数解(x,y).     

多元二次多项式可分解的判别法

众所周知 ,多项式的因式分解是数学研究的重要内容之一 ,到目前我们还没有一般的方法把一个多项式分解成不可约因式的积 .本文利用二次型的理论给出了多元二次多项式是否可以分解成两个一次因式的积的判别法 ,并且对于可分解的二次多项式给出了分解的方法 ,彻底解决了二次多项式分解的理论问题 .定义　设　 f( x1 ,x2 ,… ,xn)= a1 1 x21 2 a1 2 x1 x2 … 2 a1 nx1 xn 2 a1 ,n 1 x1 a2 2 x22 … 2 a2 nx2 xn 2 a2 ,n 1 x2 … annx2n 2 an,n 1 xn an 1 ,n 1 ( 1)为一个实二次多项式 ,令A=a1 1 a1 2 … a1 n a1 ,n 1 a2 1 a2 2…     

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题及参考解答

试题 一、选择题（满分40分,每小题8分） 1．二次三项式x^2＋ax＋b的根是实数,其中a、b是自然数,且ab=2^2011,则这样的二次三项式共有____个。     

定积分不等式的一些常用证法举例

即关于λ的二次三项式的判别式满足 λ~2integral from n=a to b(ψ~2(x)dx) λ[-2integral from n=a to b(ψ(x)ψ(x)dx)] integral from n=a to b(ψ~2(x)dx)≥0     

构造一元二次方程巧解竞赛题

对于实数a,b,若满足:a+b=p且ab=q,则a,b是关于x的一元二次方程:x2-px+q =0的两个实数根,于是△≥0,即:(-p)2 -4q≥0,则p2≥4q.利用上述构造一元二次方程的方法,通过建立不等式,我们可简洁、有效地解答数学竞赛题,本文举例介绍其应用.     

有理真分式 P(x)/Q(x)展开成部分分式定理一种证法及启示

<正> 引理1 C(x)为m 次实多项式m<2k 则(C(x))/((x~2+px+q)~k)=(Ax+B)/((x~2+px+q)~k)+(N(x))/((x~2+px+q)~(k-1))(式中p~2-4q<0)A,B 为唯一确定的实数;N(x)为次数小于2(k-1)的实多项式.证假定引理成立,则有     

化繁就简是因式分解的关键

虽然对因式分解的学习 ,课本循序渐进地介绍三种方法 ,利于学生理解 .但是在学习过程中 ,因式分解往往包含多种方法 ,需要同时展开 .下面举例说明之 .例 1　将多项式a2 -b2 +4a +4b因式分解 .原式 =(a2 -b2 ) +( 4a +4b)=(a +b) (a -b) +4 (a+b)=(a +b) (a -b+4 ) .第一步先分组 ,第二步运用公式法展开 ,第三步才提取出公因式 .从此例可知 ,学生在复习本章节的过程中务必充分运用三种因式分解方法 ,在复杂的题目中寻找可能相关的部分 ,使用更合适的方法进行 .如果发现其蛛丝马迹 ,再抽茧剥皮 ,就会豁然开朗 .例 2　将 (x +y) 2 +4 (x+y) +4…     

因式分解教学的体会

因式分解是在学习了有理数、整式四则运算的基础上进行的,教学的好坏对今后的学习有着直接的影响。一、讲清概念教材中把因式分解描述为:“把一个多项式化为几个整式的积的形式”。为了使学生理解和正确建立这一概念,对比自然容易被学生接受和掌握。例如:在算术里已经学过7×5=35是乘法运算,而35=7×5则是因数分解,在代数里(a b)(a-b)=a~2-b~2是乘法运法,而a~2-b~2=(a b)(a-b)则是因式分解。这样,既能使学生明确乘法运算与因式分解的联系和区别,又能明确因式分解的意义。还能使学生明确所学的新知识是建立在旧有知识基础之上的。在学生初步建立了因式分解的概念之后,可能会出现以下两种错误:一种是结果仍旧是一个多项式。如:c(c-b) b(b-c)=c(c-b)     

一个乘法公式的应用

初中代数第二册第116页介绍r可化为巧十农叶b)二+。b型的二次三项式的因式分解,给出r如下公式 了+(a+b),+ab=(J一+u)(:,十方) 此公式的实质在于找出两个数,使它们的和为a+b,积为ab即可. 公式中的,可肴着是个特殊宇f:f,’‘1然也可以是·个解析式(包括数字),‘节握r这·点有时会给解题带来很多方便.例1化简l一‘z(l.十‘“·厂一(“十‘功解:原式二 1一丫〔l+aJ十(a+z今〕(l+‘一、,一(‘,+、,)〕 (l+‘:)(1一‘幻(l+a)(l击二了)(l一a)(l一J) l一(l+沈,)(l一‘,)· .例2解方程5.’“+J一‘r板不巧一2二(). 解:原方程可化为 (屹于丁面)”一…     

运用数学思想巧做因式分解问题

学习数学不仅是学习知识和提高能力,更是让学生真正理解数学知识与技能、思想和方法,用数学思想指导知识的应用和能力的提升.掌握数学思想,就能很好地解决因式分解,快捷地解题计算. 一、类比思想,触类旁通 如果把整数120进行因数分解就是4×5×6,与之相类似的是a2-b2就足((a+b)和(a-b)的相乘的结果.因此,多项式a2-b2就可以分解为(a+b)(a-b),由此可知(a+b)和(a-b)皆为a2-b2的因式.如此进行类比,不仅很容易就让学生理解因式分解的意义,而且为因式分解的方法提供了思路,真正是由此及彼,类比晓理.     

剖析一道习题解法错误

在我们平时教学中,学生做错练习题是常见的,但主动寻找错误原因的同学还很不多。在解题过程中,对错误解法进行分析,找出病因,对巩固基础知识,提高解题能力是非常必要的。下面仅就一道习题几种常见错误解法进行剖析,并提出正确的解法,供参考。题目设x、y为正变数,a、b为正常数,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值。错解一∵a、b、x,y为正数,∴a/x及b/y均为正数,∴a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)),而a/x+b/y=1.∴(ab/xy)~(1/2)≤1/2.∴(xy/ab)~(1/2)≥2∴xy~(1/2)≥2((ab)~(1/2)),又∵x+y≥2((xy)~(1/2))∴x+y≥4((ab)~(1/2)),∴x+y的最小值为4(ab)~(1/2)     

数学竞赛之窗

第三届中国东南地区数学奥林匹克试题与解答希望联盟2006年度赛第一天(2006年7月27日,8:00—12:00,南昌)1.设a>b>0,f(x)=2(a b)x 2ab4x a b.证明:存在唯一的正数x,使得f(x)=(a13 b132)3.(李胜宏供题)解令t=(a13 b132)3,由t=2(a b)x 2ab4x a b,得[2(a b)-4t]x=t(a b)-2ab(1)为证     

判别式的应用

一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,不仅可以判定方程实根(实解)情况,还可以用它判别二次三项式ax2 bx c因式分解的方法与范围、求抛物线y