31 与圆有关的比例线段

３１　与圆有关的比例线段７３００５０兰州石化机器总厂中学曾志刚在数学发现中归纳推理与类比推理起着主要作用．这两种推理都是合情推理的特殊情况．我想，对视野广阔的哲学家来说，所有聪明才智的获得往往是通过猜想游戏的．在科学中，同在日常生活中一样，当面临新情...     

证明“有关比例线段”的几种技巧

有关比例线段的几何证明,是证明相似三角形的常见问题,也是初中几何证明的难点.有相当的学生对这方面的几何证明往往是无从下笔.在此,笔者根据多年的教学经验谈谈有关比例线段的几种证明技巧.     

圆有关的线段数量关系问题探究

<正>圆有关的线段数量关系探究问题在近年来中考中屡见不鲜.解答它们,除了灵活利用圆的有关性质外,有时还要注意考虑借三角形全等之力,或借勾股定理之力,或借三角形相似之力.现举例如下:例1(2015年山东省德州市)如图1,A、P、B、C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.     

谈谈线段和的证明

证明一条线段是另外两条线段的和是初中几何中经常会遇到的一类题目,解(证)题的方法也多种多样。努力把基本方法掌握好,就可以达到功到渠成、举一反三的目的,大大提高我们分析和解决问题的能力。下面通过几个例题加以说明。     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

谈谈求线段和的最小值

<正>求线段和的最小值问题,是初中数学中较为常见且令很多同学感到困难的一类问题.不少同学遇到这一类问题时常不知所措,究其原因,其实就是对这一类问题用到的数学知识理解不透彻所致.只要同学们在平时的学习过程中熟谙解决这类问题的数学基础知识与基本模型,遇到这一类问题时自然就会得心应手了.     

三角形比例线段和定理及其应用

三角形比例线段和定理及其应用郭清波（黑龙江省教育学院１５００８０）本文介绍一个平面几何定理—我们称之为“三角形比例线段和定理”，它在证明与计算某类几何问题时很奏效，掌握它能给我们带来一定方便之处．由于它的叙述很简捷，掌握它是很容易的．利用它又可较简单...     

用“归一法”证有关线段的问题

引例如图１,过△ＡＢＣ内一点Ｏ作各边的平行线ＨＦ、ＤＥ、ＧＫ．求证：ＤＨＡＢ＋ＧＥＢＣ＋ＫＦＣＡ＝１．因为题设中平行线较多,图中出现的相似形很多,如果证题目标不明确,极易走弯路,甚至难于走出“迷宫”．注意待证式左边为线段比的和,右边为常数图１１,因此...     

类比学习线段和角

<正>线段和角是两个基本的几何图形,在几何入门学习中的作用和地位不言而喻,它们之间联系密切,但又有区别,这里类比如下,以供参考.1.概念不同计数类似直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;或者看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.     

谈谈“切线的判定和性质”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各地中招考试必考查的重要知识点 .尤其是“切线的判定和性质”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .而且题型多 ,从出题方式看 ,有填空题 ,判断题 ,选择题 ,证明题 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要予以高度重视 .以下谈谈“切线的判定和性质”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者参考 .一、熟练掌握切线的判定方法判定切线方法主要有如下三种 :( 1 )定义 :直线和圆有唯一公共点时 ,这条直线是圆的切线 .( 2 )定理 :到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 .( 3 )判定定理 :经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .例 1　 (甘肃 ,1 999年中招考试题 )如图 ,已知AB是⊙O的直径 ,BC是⊙O的切线 ,切点为B ,OC平行于弦AD ,求证DC是⊙O的切线 .分析 :直线DC与⊙O有公共点D ,故应用方法 ( 3 )进行证明 ,所以应连结OD ,再证明OD⊥CD .证明 :连结OD .∵OC∥AD ,∴∠ 3 =∠ 1 ,∠ 4=∠ 2 .∵OD =OA ,∴∠ 1 =∠ 2 ,∴∠ 4=∠ 3 .∵OD =OB ,,OC =O...     

对“与三角形有关的线段”教学的新尝试

“与三角形有关的线段”是人教版教材七年级第二学期第七章“三角形”的第一节第1课时,本节课的内容为三角形的定义、三边的大小关系.在学习了平行线判定之后,学生已有了论证几何的基础,因此本节课的设计中可增加一些内容的理性和抽象性,就教材的几处进行再处理,笔者将新尝试的教学实录记录如下,从中得到一些启示.     

一个线段间比例关系的应用

一个线段间比例关系的应用叶挺彪（浙江瑞安市任岩松中学３２５２０２）我们知道，平面ａ的斜线ＡＢ与ａ交于点Ｏ，若点Ａ，Ｂ到ａ的距离分别为ａ，ｂ，则ＯＡ。ＯＢ＝ａ：ｂ（简称为斜线段的比）．在解决有关立体几何问题时，若能注意到这一事实，可使问题获得巧妙解答．...     

基于“问题发现”的类比学习——再认识线段和角

《义务教育数学课程标准(2011年版)》从强调“分析问题、解决问题”到“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”,特别增加了“发现问题、提出问题”.在课堂上如何引导学生发现问题、提出问题,对于学生自身的发展和创新意识的培养很重要.在学习完线段与角的相关知识后,基于线段与角的相似之处,利用学习的通性套路让学生领悟学习的路径与方法,从而能自主学习.通过类比学习,让学生体会数学课堂注重以“问题”为中心,以“问题”促思考,以“问题”促探究,以“问题”促创新.本文借助线段与角的通性,借助类比思想诱导学生发现问题、提出问题,进而解决问题.     

关于“圆的有关性质”的教学体会

“圆”是平面几何中最后一个也是最重要的内容,圆这一章的教学目的是,使学生理解圆的概念,掌握圆的重要性质,并能运用这些知识进行论证和计算,以及对正多边形与圆。命题的四种形式之间的关系,六种基本轨迹等有一个初步的认识。这一部分内容知识面广,综合性强,定理结构复杂,推理论证要求高,因此怎样搞好这一章的教学成为一个重要课题,而第一单元圆的基本性质又是本章的关键,这一单元的教学成败直接影响到后面的教学。下面谈谈自己几年来的肤浅认识和教学体会,供     

两台母机与比例线段的证明

在学习中同学们是否体会到了这样的规律:平行线和相似形是制造比例线段的两台母机.而比例线段的形式多种多样,如a/b=c/d,ab =cd,a~2=bc,a/b c/d=e/f,a/b e/d=1,1/a 1/b =1/c,ab cd=ef,a/b·e/f=1,a/b=     

三角形中三线间比例线段的关系式

１ 问题的提出 例 １ 如图 １,在△ＡＢＣ中,ＡＤ是 ＢＣ边上的中线,过Ｂ作射线ＢＥ交ＡＤ于Ｆ,交 这道题并不难,只需过 Ｄ作 ＤＧ ／／ ＢＥ交 ＡＣ于 Ｇ,则Ｇ为 ＥＣ中点, 但这道题却先后被陕西省、河北省、天津市选用作为中考试题,其采用率之高并不多见,与之类似的考题几乎在每年各地的中考试题中常能见到． 例２ 过八ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和,求证： 这是现行九年义务教育初二《几何》相似形一章的复习题中的一道习题,教材中给出了添加辅助线的提示,有的教学辅导刊物上给出了８种添加辅…     

线段比例式的“功效”

<正>同学们知道,若线段a:b=c:d,则称线段a、b、c、d为成比例线段.两个三角形相似可以得到线段的比例式,反之,若证两个三角形相似,常需证明线段成比例.除此之外,线段的比例式还有哪些"功效"呢?同学们往往疏于整理、思考和总结,本文结合具体的题目和同学们谈一谈.     

谈谈“垂径定理”的学习

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的...     

与三角形主要线段有关的命题

初中《九义》教材，几何第二册第三章一开始，介绍了三角形的角平分线，三角形的中线及三角形的高。本文例说与三角形的这些主要线段有关的命题，供同行在几何复习教学时参考。命题１若Ｉ为△ＡＢＣ的内角平分线的交点，ＡＩ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，则：①ＤＩ...