一个不等式的证明及引伸推广

贵刊 2 0 0 2年第 2期数学问题第 3题是 :设a、b、c ∈R ,且abc =1,求证 :a3(c b) (a c) b3(b c) (b a) c3(c a) (a b) ≥ 34( 1)一、关于不等式 ( 1)的证明原证明是在假定a≥b≥c的前提下运用排序不等式给出的 ,但由于不等式 ( 1)的左端不是关于a、b、c的对称式 ,故原证明有不妥之处 ,下面我们给出不等式 ( 1)的一个证明 .证明 :记不等式 ( 1)的左端为M ,由平均值不等式得a3(c b) (a c) c b8 a c8≥ 33 a364 =3a4,即 a3(c b) (a c) ≥ 5a -b-2c8.同理 ,b3(b c) (b a) ≥ 5b -c-2a8,c3(c a) (a b) ≥ 5c-2a -b8,以上三个不等式…     

设计活动转变角色启发潜能--由一道不等式证明题引出的数学活动课

设计活动 (ProjectApproach)是近年来备受教育界关注的一种学习模式 .设计数学活动能让学生更自然 ,更直接地获得“数学过程”的体验 ;更深入、更广泛地去探求一些数学问题 .并且在学习的过程中 ,学生的兴趣差异及能力差异都将得到个别的照顾 ,从而激发出更大的学习潜能 .笔者在授完高中《代数》下册 (必修 )“不等式证明”这节内容后 ,在学生基本掌握不等式的常见证法的基础上 ,试就课本中的一道不等式证明习题为线索 ,启发、引导学生进行了一次联想 ,引伸、探求的数学活动课 .1　活动内容原题 :已知a、b、c是不全相等的正数 ,求证(a+b) (…     

一道征解题的推广

《数学通讯》（上半月）2013年第9期问题征解150是一道不等式问题： 已知a,b,c∈R＋,试证：b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c≥2（a2＋b2＋c2）＋3[（b-c）2＋（c-a）2＋（a-b）2].这道题的证明方法很多,下面我们先给出它的一种解答,然后用同样的证明方法证明此不等式的推广不等式.证明作差变形,并由三元均值不等式得（b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c）-2（a2＋b2＋c2）     

两个不等式的统一推广与应用

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1]的内容为证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2 2)(b2 2)(c2 2)≥9(ab bc ca)(1)而2004年美国第33届数学奥林匹克试题第5题[2]的证明包含下列不等式(a3 2)(b3 2)(c3 2)≥(a b c)3(2)其中a,b,c∈R .本文对此类不等式进行了统一推广,构造了一个含有三个参数的不等式,并且给出了一些重要应用(推论).定理对于a,b,c∈R ,λ,μ,γ∈R ,n∈R ,则有(1λa3 2n)(1μb3 2n)(1γc3 2n)≥3n2(a b c)3λ μ γ(3)为证明定理需要引用两个引理.引理1对于a,b,c∈R ,n∈R ,有(a3 2n)(b3 2n)(c3 2n)≥3n2(a3/2 b3/2 …     

一个加强不等式的简证

《数学通报》2 0 0 3年第5期《一个不等式的加强》一文将法国MohammedAassila教授提出的不等式1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥31 +abc ( 1 )(其中a ,b ,c为正数)加强为1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc( 1 + 3 abc) ,( 2 )并将加强不等式( 2 )转化为以下形式:a1 a2 +ka3+ a2a3+ka1 + a3a1 +ka2 ≥31 +k( 3)其中a1 ,a2 ,a3,k为正数.然后对( 3)给出了一个“高级”的证明方法.之所以说其证明方法“高级”,是因为其中用到了线性代数的一些知识.本文给出( 3)中一种简单证法.证　由柯西不等式知( x21 y1 + x22y2 + x23y3) (y1 …     

不等式的证明方法与技巧

不等式是数学的重要组成部分 ,它遍及数学的每一个分支学科 ,正如D .S密特利诺维奇在《解析不等式》一书中所说的 :“今天 ,不等式在数学的所有领域里起着重要的作用 ,并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域 .”由于其证明的困难性和方法的多样性 ,不等式已成为各类数学竞赛的热门题型 .本讲通过一些具体的例子 ,讲授一些典型的不等式的证明方法与技巧 .例 1　设a ,b ,c为正实数 ,求证 :　 a +3ca +2b +c+4ba +b +2c- 8ca +b +3c≥ - 17+12 2 .分析　本题的难点是分母较复杂 ,可以尝试用代换的办法化简分母 .证　令x =a +2b +c,y =…     

从一道经典的外国数学竞赛题到两个优美的三角不等式

1963年,一道经典的不等式题在莫斯科数学竞赛中应运而生.原题如下:设a,b,c∈R ,求证:a b c bc a ca b≥32(*)这个不等式的证法很多,下面本人给出一个简单的证明过程.证明由对称性,不妨设:a≥b≥c>0,则1b c≥1c a≥1a b,所以(顺序和)ab c bc a ca b≥bb c cc a aa b(乱序和),(顺     

也解一道竞赛题

2008年全国高中数学联赛吉林省预赛最后一题：正数a．b,c满足2a＋4b＋7c≤2abc,求a＋b＋c的最小值． 正如文[1]所言,此题的难度非常大．笔者也有同感．所谓“难度非常大”可以理解为这个不等式证明的“技巧性相当的大、灵感要求也相当的高”．这就是不等式的特点,特别是数学竞赛的不等式试题．     

用“互叠法”证明分式不等式

对于一类分式不等式的证明题,如果大胆将左、右两边“互相叠加”,兴许产生意料不到的奇迹! 定理1 欲证明不等式：P＞Q, 只须证明不等式：P Q＞2Q。这个定理1太浅显了。例1 设a＞b＞c,求证：a~2/(a-b) b~2/(b-c)＞a 2b c。(第32届乌克兰数学竞赛试题) 证明设P=a~2/(a-b) b~2/(b-c),Q=a 2b c；考察新不等式：P Q=(a~2/(a-b) a-b) (b~2/(b-c) b-c) (2b 2c)＞2a 2b (2b 2c)=2(a 2b c)=2Q,显然,P Q＞2Q,依定理1,知P＞Q,故原不等式获证。 (注：此处不能取“=”,因为a~2/(a-b) a-b≥2a,b~2/(b-c) b-c≥2b等号不能同时成立)     

也谈一个数学命题的拓广

在本刊 2 0 0 4年第 1 3期 ,杜玲玲老师[1 ]研究了如下不等式命题的多种拓广 :原命题　已知 :a,b,c∈ R ,且 a1 a b1 b c1 c=1 ,求证 :a b c≥ 32 .受杜老师的启迪 ,本文拟对该不等式作进一步研究 ,对杜老师的拓广命题进行结构的重新调整和结论的统一推广 .1　命题结构的重新调整数学命题的叙述应简洁优美 ,数学命题的条件还应易于检验 .在数学解题的教学与研究中 ,应善于转化命题的叙述 ,以使数学命题更加简洁优美 ,使形似不同的问题的本质联系更加易于发现 .同时 ,通过对命题的转化“美容”,培养数学审美能力和发散创新思维能力…     

数学问题1885的解后再思考

《数学通报》2010年第12期问题1885为:已知a,b,c为正数,求证: 9a/(b+c)+16b/(c+a)+25c/(a+b)≥22,笔者先给出此不等式的几种证明方法,然后通过对方法的解析,给出不等式的几种推广.     

不等式证明的几种方法

不等式是初等数学的重要内容 ,是研究方程和函数的重要工具 .不等式的证明题型多变 ,方法多样 ,技巧性强 ,无固定程序可循 .常用的不等式证明方法有比较法、综合法、分析法、函数法、放缩法、代换法、反证法、数学归纳法等等 .一、比较法 :比较法主要有作差比较法和作商比较法两种 .1.作差比较法 (简称比差法 ) :a、b、c≥ 0 ,求证 :a3 +b3 +c3 ≥ 3abc .证明 :a3 +b3 +c3 - 3abc=(a +b) 3 - 3ab(a +b) +c3 - 3abc=(a +b +c) 3 - 3(a +b)·c (a +b) +c -3ab(a +b +c)=(a +b +c) (a2 +b2 +c2 -ab -bc -ca)=12 (a +b +c)· (a -b) 2 + (b -c) …     

为什么根号5是无理数：七年级学生的证明

1 引言 实数的概念是沪教版初中数学七上第12章第1节的内容,在这一节,学生第一次遇到无理数这一全新的概念.以往的教学实践表明,许多学生初学无理数概念之后,对有理数与无理数的本质区别依然不甚了解,甚至有学生将22/7看作无理数,√3/2看作有理数.要让学生真正接受无理数,深刻理解无理数与有理数的区别,就需要让学生看到一个无理数不是有理数的理由,而有关实证研究表明,“无限不循环小数”这一定义无助于学生对无理数的理解.对于“为什么√2不是有理数”,教科书在阅读材料中给出了证明,而教师在课堂上却很少运用这则材料.原因有三:一是因为与考试关系不大,教师和学生并不重视阅读材料;二是很多教师认为课堂上没有足够的时间;三是教师担心学生在证明的理解上存在困难. 上海延安初级中学七年级数学组在实施“培养学生数感”的教学活动中,专门设计了“√2的认识”一节课,教师在引入√2之后,用反证法对√2的无理性给予了证明:假设√2=詈,其中a、b为正整数,a≠0,且a与b互素,则有2=a2/b2,即a2=2b2.故a为2的倍数.设a=2m,且m为正整数,则有(2m)2=2b2,即b2=2m2.故b也是2的倍数.于是,a和b有公因数2,与a、b互素矛盾.因此,√2不能表示成詈的形式,即√2不是有理数.从历史上看,这个证明很可能是无理数的发现者西帕索斯本人给出的,也是数学史上反证法的第一个应用之例.     

一组优美的不等式

俄罗斯杂志《中学数学》每期都有“新题”的专栏.笔者从2004年和2005年《中学数学》杂志中选择了若干有关不等式的新题,并给出了解法.这些新题大多具有优美的结构,并能用巧妙的方法进行解答,在数学教学中有较大的参考价值.题后括号内注明了该题的命题者.1设a,b,c>0,证明不等式(a b)(a c)>abc(a b c).(贝·伊·卡斯开维奇)证(a b)(a c)=a2 ab ac bc>ab ac bc=(ab ac bc)2=a2b2 a2c2 b2c2 2abc(a b c)>abc(a b c).2设a,b,c,d>0,证明不等式(ab cd)(ad bc)(a c)(b d)≥abcd.(阿·贝·斯米尔诺夫)证不影响结论的一般性,可认为ab cd≥ad bc,而此时…     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

解决不等式问题的一种重要思想

我们知道,对于实数a、b,必有a>b a-b>0.将这个关系稍加改动,即可得到应用价值较大的一种重要思想方法——松驰量方法,即对于实数a、b:a>b必定存在实数c∈R+,使a=b+c.在这里,实数c也可以叫做松驰量.它往往可以将刻画大小关系的不等式a>b等价地化归为等量关系a=b+c.用它可轻松地化解相当多的问题,教材中的“不等式”一章中的不少问题都可以利用这种思想方法加以解决.例1已知a>b>c,求证1a-b+1b-c+1c-a>0.(全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上),人教版P30第8题)证明由a>b>c,存在正实数α、β,使得a=b+,αb=c+β,于是,a-b=,αb-c=,βc-…     

一个不等式的加强

近年来,许多数学书刊中出现了这样一个不等式.设 a、b、c 为正数,则此不等式的证明散见于许多中等数学书刊,这里不再证明。本文的目的是要把(1)加强为设 a、b、c 为正数.则     

柯西不等式一个推论的应用

对实数ai,bi(i=1,2,…,n),有下面的不等式:(∑ni=1aibi)2≤(∑ni=1ai2)(∑ni=1bi2),这就是著名的柯西不等式.若令ai=xiyi,bi=yi(i=1,2,…,n),yi>0,代入得到以下推论:x12y1 xy222 … xynn2≥(xy11 xy22 …… xynn)2.这个推论在处理分式之和问题时很有用,下面举例说明.例1设a>0,b>0,求证:ab ba≥a b.证明∵a>0,b>0,由柯西不等式的推论得,ab ba≥(aa bb)2=a b.例2(1998年江苏省数学夏令营)设a>0,b>0,c>0,求证:a2b c cb 2a ac 2b≥21(a b c).证明∵a>0,b>0,c>0,由柯西不等式的推论得:a2b c cb 2a ac 2b≥2((aa bb c)c)2=21(a b c).例3(第2…     

一类优美代数不等式的加强

法国路易·巴斯德大学的Mohammed Aassila教授,在1998年9月的Crux Mathematicorum With Mathematical Mayhem杂志P304上提出了如下代数不等式: 问题1设a,b,c＞0,求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1/c(1+a)≥3/1+abc(1) 该不等式曾作为2006年巴尔干数学奥林匹克试题,应用6元均值不等式,有如下简单的证明方法.     

四类平均数的几何模型

新教材中关于两个数的算术平均数与几何平均数的几何解释 ,显示了数与形的完美结合 .在新教材数学第二册 (上 )习题 6 2中 ,有这样一个习题 :已知a、b都是正数 ,求证 :21a + 1b≤ab≤ a+b2 ≤ a2 +b22 ,当且仅当a=b时等号成立 .不等式中的四个式子分别称为两个数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数 .此题描述了这四个平均数之间的关系 ,本文再给出它们的几何模型 .数形结合不仅揭示了数学的内在联系 ,给人以美的享受 ,更能开发学生智力 ,培养学生能力 ,发散学生思维 .1　ab≤ a+b2 的几何模型 .　　如图 1 ,以a+b为直径 (记…