一道联赛题的两种解法

1999年全国高中数学联赛第三题是一道三角不等式问题 ,难度适中 ,能充分考查学生的基本素质 .题目　已知当x∈ [0 ,1]时 ,不等式x2 cosθ -x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .命题组提供的解答构思巧妙 ,方法独特 ,但技巧性较强 ,学生不易想到 .下面介绍两种学生容易接受和掌握的常规解法 .方法一　 (判别式法 )设　f(x) =x2 cosθ-x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ=( 1+sinθ+cosθ)x2 -( 2sinθ +1)x+sinθ ,易知二次函数 f(x)的对称轴x =2sinθ +1( 2sinθ+1) +( 2cosθ +1) .由x∈ [0 ,1] ,f(x)恒正可知f( 0 ) =sinθ>0 ,　f…     

一道旋转题的两种解法

数学解题中往往是知识越多,认识越深,解题方法越简单、巧妙.一题多解更能展示解题思路的灵活,并且具有很强的选择性.     

一道联赛题的两种解法

2003年全国高中数学联赛13题是一道无理不等式的证明问题,难度适中,能较好地考查学生构造、变形、转化等能力.     

一道高考几何题的两种解法

2004年高考全国卷数学(理)第(20)题是:如图已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD是边长为2的正三角形,底面为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.(Ⅰ)求点P到平面ABCD的距离;(Ⅱ)求面APB与面BPC所成二面角的大小.     

一道联赛题的两种新解法

题目必的最大值.若:井0,求解1(1992年全国初中数学联赛题)要使原式有最大值,必须:)0.(配偶法)令 力不尹泣石而一丫万下尹材:二二——一——,召互干乎不石万+了丁浮石飞矛,二二二则(、万不王丁平户)“拄矛、‘二一——一-一一—兰-心三鱼一i一1,一在不二+存石一价令一)2十3+在事藕当一圣一云二O,即x~l时砂.小~ 故当林.大--了了+抓牙.1时, l沂百十丫-百~丫万~一汀. 附:上述解法受本刊1991年第7期《配偶·运算·解题》一文启发而得.更值得一提的是,该文的例16:“设:>0,试求;~了下十介一沂再二。。大值一,与这道联赛题类似. 解2(解析法)但 一扛…     

一道立体几何题的两个拓展结果

题目:设α-l-β是锐二面角,点A∈α,点B∈β,直线AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,点A,B到棱l的距离分别是d1和d2,则d1:d2,等于()(A)cosθ1/cosθ2(B)cosθ2/cosθ1(C)sinθ1/sinθ2(D)sinθ2/sinθ1重新审视这道题会得到以下结论命题1设二面角α—l—β的平面角是θ,点A∈α,点B∈β,AB=a,直线AB与α、β所成的角分别是θ2和θ1,点A、B到棱l的距离分别     

一道联赛题的两种换元解法

<正>~~     

一道无理函数最值题的两个数学解法

文[1]作者对此题多方探索未得到数学解法,最后借助于物理知识求解,文[2]则利用一引理给出其纯数学解法,本文从不同的新角度给出此题的两个纯数学解法．     

一道概率题的三种解法

概率论在生活中应用广泛,概率论这门课程从定量和理性的层次上深入地研究偶然性和必然性的本质.从不同的角度和概念审视概率问题可帮助学生更深刻地了解和认识相关概念、定理、公式.看下面的例题:……     

一道联赛题的几种解法

题目(1998年全国初中数学联赛试题)如图1,在Rt△ABC中,两条直角边AB和AC的长分别为1和2,求△ABC的角平分线AD的长度．通过对这道题目的探讨,我们利用面积、相似比、重心和余弦定理等方法,给出了它的     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

一道三角题的几种解法

题目若 且求tanθ的值.三角模型解1 由已知可得cosθ≠0,因此将等式两边同除以cosθ得3tanθ 4=5secθ. 两边平方整理得(4tanθ-3)2=0,三角模型解2 由3sinθ 4cosθ=5,可得则 ,即.     

一道向量题的四种解法

沙，度雌 题目在△ABC中 AB~一了，且万·万一石‘· △ABC是什么三角 形? 解法一设<万， 了)一8，，(下，了)一氏， 作BH土AC，H 为垂足(图1). 万‘·石’一石’ ·下，l万’.半。， ，BC一了，CA一万， 了一了·万，那么 八， 召一下尹~—.岔- 崖… 0，+/C一0。十匕A~二， 1了!。ose=1万’}cosA 即HC一HA. BC一AB.同理BC一CA. 故△ABC为正三角形. 解法二由正弦定理知 l万‘l_l万1 sinC sinA ① ② 多 图1 I万1 eoso:=I下‘1 eos82. 将解法一中的①式乘以②式并整理得 eotC=eotA， 匕C一乙A.同理匕C~乙B. 故△ABC为正…     

一道概率题的三种解法

通过求和运算、条件概率、解方程三种方法求解一道概率习题.     

一道赛题的三种解法

<正>~~     

一道向量题的三种解法

题目过三角形ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E,若AD=xAB,AE=yAC,其中xy≠0,则1/x+1/y的值为().(A)4(B)3(C)2(D)1(苏州、无锡、常州、镇江四市2004年高考模拟试题)     

一道高考题的两种解法

<正>数学学习强调经历学习过程,注重学习的探究与合作.一题多解、一题多证能够很好地体现学生在学习过程中的自主探究,有利于培养学生思维的广阔性.现对2015年高考全国新课标2理科第20题给出两种不同于参考答案的解法,供大家参考.原题已知椭圆C:9x²+y2+y²=m2=m²(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A、B,线段AB的中点为M.     

一道竞赛题的两种解法

本文介绍2005年全国高中数学联赛江西赛区预赛试题第15题的两种解法，供读者欣赏． 2005年全国高中数学联赛江西赛区面赛第15题为： 试求最小的正整数n，使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和为7的倍数．