Second-order boundary-layer effects for the unsteady laminar incompressible three-dimensional stagnation-point flow

All the second-order boundary-layer effects on the unsteady laminar incompressible flow at the stagnation-point of a three-dimensional body for both nodal and saddle point regions have been studied. It has been assumed that the free-stream velocity, wall temperature and mass transfer vary arbitrarily with time. The effect of the Prandtl number has been taken into account. The partial differential equations governing the flow have been derived for the first time and then solved numerically unsteady free-stream velocity distributions, the nature of the using an implicit finite-difference scheme. It is found that the stagnation point and the mass transfer strongly affect the skin friction and heat transfer whereas the effects of the Prandtl number and the variation of the wall temperature with time are only on the heat transfer. The skin friction due to the combined effects of first- and second-order boundary layers is less than the skin friction due to, the first-order boundary layers whereas the heat transfer has the opposite behaviour. Suction increases the skin friction and heat transfer but injection does the opposite.

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Grenzschichteffekte zweiter Ordnung für laminare inkompressible dreidimensionale Staupunktströmung

Zusammenfassung Es wurden Grenzschichteffekte zweiter Ordnung bei instationärer laminarer inkompressibler Strömung am Staupunkt eines dreidimensionalen Körpers, sowohl für knotenartige als auch für sattelförmige Bereiche studiert. Dabei wurde angenommen, daß die Freistrahlgeschwindigkeit, die Wandtemperatur und der Stoffübergang beliebig mit der Zeit variieren. Der Einfluß Prandtlzahl wurde mit in Betracht gezogen. Die partiellen Differentialgleichungen welche die Strömung beschreiben, wurden zum ersten Mal abgeleitet und dann numerisch gelöst, wobei ein implizites finites Differenzverfahren verwendet wurde.Es wurde gefunden, daß die Verteilung der instationären Freistrahlgeschwindigkeit die Natur des Staupunktes und der Stofftransport die Wandreibung und den Wärmeübergang stark beeinflussen, während die Prandtl-Zahl und zeitlich veränderliche Wandtemperaturen sich nur auf den Wärmeübergang auswirken. Die Wandreibung infolge der kombinierten Einflüsse von Grenzschichten erster und zweiter Ordnung ist kleiner als diejenige infolge der Grenzschichten erster Ordnung, während der Wärmetransport umgekehrtes Verhalten zeigt. Eine Absaugung erhöht die Wandreibung und den Wärmeübergang Zublasen hat umgekehrte Wirkung.

     

On a class of constitutive models for highly deforming compressible materials

Summary The physical admissibility of a constitutive model for highly deforming hyperelastic compressible materials, introduced in [1], is examined in the light of the classical Backer-Ericksen, ordered forces and strengthened tension-extension inequalities. A generalization of this material model is also given, and the conditions for its physical adminissibility are discussed.

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Über eine Klasse von konstitutiven Modellen für hoch formveränderliche, kompressible Materialien

Übersicht Die physikalische Zulässigkeit eines konstitutiven Modells für hoch formveränderliche, hyperelastische, kompressible Materialien, die in [1] dargestellt sind, wird anhand der Backer-Ericksen-Ungleichungen, der Ungleichungen der Folge der Spannungsgrößenordnungen und anhand der Ungleichungen des positiven Tangentenmoduls geprüft. Es wird auch eine Verallgemeinerung dieses Materialmodells dargestellt. Die Bedingungen für seine physikalische Zulässigkeit werden erörtert.

     

Die freien Massenkräfte des Sternmotors

Zusammenfassung Bei den bisherigen Untersuchungen über die Massenkräfte von Sternmotoren mit mittelbarer Nebenpleuelanlenkung, die sich auf die Kräfte erster und zweiter Ordnung beschränkten, ergaben sich für ausgeführte Motoren, besonders bei großen Zylinderzahlen, noch beträchtliche Kräfte zweiter Ordnung. Durch eine erweiterte Untersuchung, die auch die Glieder höherer Ordnung umfaßt, konnte für den praktisch wichtigen Fall der regelmäßigen Nebenpleuelanlenkung, wobei sämtliche Anlenkhalbmesser einander gleich und die Anlenkwinkel jeweils gleich den zugehörigen Zylinderwinkeln sind, allgemein gezeigt werden, daß nur Kräfte erster, zweiter und höherer gerader Ordnung auitreten, während samtliche Kräfte ungerader Ordnung verschwinden. Die noch explizit angegebenen Kräfte vierter Ordnung werden in der Regel sehr klein.     

Effects of large suction in natural convection boundary layer on a horizontal plate

The natural convection boundary layer on a horizontal plate with suction is investigated. The similar solutions of the boundary layer equations require suction to vary as a power law. The similarity equations have been integrated for various values of suction parameter and Prandtl number =0.72 and 6.8. For non-similar flow situation, a large suction approximation has been developed using the asymptotic approach. It is shown that large suction approximation is surprisingly good even for moderate values of suction parameter.

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Einflüsse großer Wirkung auf die Grenzschicht bei freier Konvektion an einer horizontalen Platte

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht bei freier Konvektion auf einer horizontalen Platte unter Saugwirkung untersucht. Die Ähnlichkeitslösungen der Grenzschichtgleichungen machen es erforderlich, die Saugwirkung in Form eines Exponentialansatzes zu variieren. Die Ähnlichkeitsgleichungen wurden für verschiedene Werte des Saugparameters und für Prandtl-Zahlen zwischen 0,72 und 6,8 integriert. Für nicht-ähnliche Strömungszustände wurde eine Lösung für die Saugwirkung auf der Basis der asymptotischen Näherung entwickelt. Es wird gezeigt, daß die Näherungslösung für große Saugwirkung auch erstaunlich gute Ergebnisse für geringe Werte von Saug-Parametern liefert.

     

Geschwindigkeitsprofile,Temperaturprofile und halbempirische Gesetze in kompressiblen turbulenten Grenzschichten bei konstantem Druck

Übersicht Der Einfluß von Dichteänderung und Wärmeübergang auf kompressible turbulente Grenzschichten mit konstantem Druck wird untersucht, um Gesetzmäßigkeiten für Geschwindigkeitsverteilungen, Wandreibungsbeiwert und Dissipationsintegral zu finden, die nur noch von Stoffbeiwerten, vorgegebenen Randbedingungen (Mach-Zahl und Wärmeübergangsparameter) und der Reynolds-Zahl abhängen. Dazu wird die Grenzschicht in Unterschicht, Innenschicht und Außenschicht unterteilt, und die zugehörigen Geschwindigkeitsverteilungen werden aus dem Prandtlschen Mischungswegansatz und der Dichteverteilung nach van Driest bestimmt. Die freie Integrationskonstante für die Innenschicht und die beiden Konstanten für das Gesetz der Außenschicht erhält man durch Vergleich mit Experimenten. Aus den Gesetzen für die Geschwindigkeitsverteiluugen in der Innen- und Außenschicht und der Forderung eines stetigen Verlaufs der Geschwindigkeit läßt sich ein Gesetz für die Wandreibung ableiten. Dieses Gesetz ermöglicht es, eine einfache Beziehung für den Wärmeübergang und das Dissipationsintegral anzugeben. Die theoretisch ermittelten und die gemessenen Werte der Wandreibung stimmen gut überein. Messungen der Dissipation und des Wärmeübergangs standen für einen Vergleich nicht zur Verfügung.

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Summary The influence of density changes and heat transfer on compressible turbulent boundary layers is investigated in order to find laws for velocity distribution, skin friction, and dissipation integral depending only on transport properties, Mach number, Reynolds number, and a heat transfer parameter. For this investigation the boundary layer is divided into a sublayer, an inner layer and an outer layer whose velocity distributions can be determined by applying Prandtl's mixing length hypothesis, and a density distribution derived by van Driest. The integration constant for the inner layer and the two constants in the law of the outer layer are found from experiments. Knowing the velocity distributions in the two layers and assuming a continuous transition between them a skin friction law can be derived. By use of this skin friction law it is possible to obtain simple relationships for the rate of heat transfer and the dissipation integral. Theoretical and measured skin friction values are in good agreement. Measurements of the dissipation integral and the rate of heat transfer were not yet available.

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Herrn Professor Dr. phil. Henry Görtler zum 60. Geburtstag gewidmet.     

Zur Stabilität von Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Das Zustandekommen von Instabilitäten des Zellularströmungstyps in der ebenen und kreisförmigen Couette-Strömung aufgrund von Trägheit und Viskoelastizität wird anschaulich gemacht, und es werden die Störungsgleichungen für eine sog. Theorie 2. Ordnung aufgestellt und diskutiert. Diese Gleichungen werden für die ebene Couette-Strömung in vollständiger Form und anschließend für die nicht-ebene Couette-Strömung unter Vernachlässigung der Trägheit gelöst. Man findet, daß in beiden Fällen die sog. zweite Normalspannungs-differenz eine entscheidende Rolle spielt. Weiter wird gezeigt, daß die gefundenen Kriterien auch über den Anwendungsbereich der Theorie 2. Ordnung hinaus als Näherung gültig bleiben, wenn man die darin vorkommenden Materialkonstanten durch die entsprechenden Materialfunktionen ersetzt. Zum Abschluß werden orientierende Versuche mit einer Couette-Apparatur an viskoelastischen Flüssigkeiten beschrieben. In einer Polyisobutylenlösung treten Instabilitäten des diskutierten Typs bereits unter Bedingungen auf, bei denen die Drehzahl etwa 600 mal kleiner ist, als sie für die Erzeugung derartiger Störungen in einer vergleichbaren Newtonschen Flüssigkeit benötigt würde. In einer Al-Naphthenat-Lösung wird außerdem das Einsetzen elastischer Turbulenz beobachtet, wobei die Drehzahl ca. 30 mal kleiner ist, als sie zur Erzeugung von Trägheitsturbulenz sein müßte.

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Summary Instabilities of the cellular type in straight and circular Couette flow as generated by inertia and visco-elasticity are elucidated, and perturbation equations are derived and discussed for a second-order theory. For straight Couette flow these equations are solved in full generality, but for circular Couette flow with neglect of inertia only. It is found that in both cases the so-called second normal-stress difference is of decisive importance. It is shown further, that stability criteria may also be used as a good approximation outside the range of applicability of the second-order theory, if the material constants are substituted by the respective material functions. Finally, some makeshift experiments with viscoelastic fluids in a Couette apparatus are briefly described. A solution of polyisobutylene shows instabilities of the discussed type under conditions in which the rotational speed is about 600 times lower than it should be for generating such disturbances in comparable Newtonian fluids. In a solution of Al-naphthenate, in addition the transition to elastic turbulent flow was observed. Here, the speed was about 30 times lower than it should be to generate inertial turbulence.

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Herrn Dr. phil. W. Meskat zum 60. Geburtstag gewidmet

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Über die Ergebnisse dieser Untersuchung wurde auf der Jahrestagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik in Darmstadt am 13. April 1966 berichtet, vgl. (12).

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Herrn Dr.G. Kaufhold und Herrn Stud.-ReferendarH. Schmittmann sei für die Vorbereitung und Durchführung der numerischen Rechnungen, sowie Herrn Dr.J. Pawlowski für die Bestimmung der Fließkurven herzlich gedankt. Den Herren cand. phys.E. Schultes undH. Pickelin gebührt Dank für die sorgfältige Durchführung der Experimente.     

Three-dimensional periodic boundary layers

Summary Three-dimensional periodic boundary layers on an arbitrary surface are considered assuming that the outer flow is a known periodic potential flow. It is shown that, if the Strouhal number and the Reynolds number are of the same order and if both are large, the interaction between the curvature of the surface and viscosity induces a harmonic part in the secondary motion inside the boundary layer in addition to steady and subharmonic parts.

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Übersicht Es werden dreidimensionale periodische Grenzschichten an einer beliebigen Oberfläche betrachtet unter der Annahme, daß die Außenströmung eine bekannte periodische Potentialströmung ist. Es wird gezeigt, daß unter der Vorsausetzung, daß Strouhalzahl und Reynoldszahl groß und von gleicher Größenordnung sind, durch das Zusammenwirken von Oberflächenkrümmung und Zähigkeit innerhalb der Grenzschicht ein harmonischer Anteil für die sekundäre Strömung innerhalb der Grenzschicht entsteht, der sich den stationären und den subharmonischen Anteilen überlagert.

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The author thanks Prof. S. D. Nigam for his comments on the first draft of the paper.     

Mixed convection similarity solutions of a non-Newtonian fluid on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer flow on a horizontal stationary or moving plate to a power-law non-Newtonian fluid is analyzed. An exact similarity solution is given for the case of a wall temperature that is inversely proportional to the power-law of the distance from the leading edge of the plate. It is shown that such a solution does not exist if the boundary parameter is smaller than a certain critical value. The effects of the flow index, buoyancy parameter and modified Prandtl number on the velocity and temperature profiles as well as on the global heat transfer and displacement thickness are discussed.

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Ähnlichkeitslösungen für die Mischkonvektion von einem Nicht-Newton'schen Fluid auf einer horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Hier ist die Mischkonvektion von Grenzschichtströmungen auf einer horizontal stillstehenden oder beweglichen Platte für einen Potenzansatz der Nicht-Newton'schen Fluide analysiert worden. Eine genaue Änlichkeitslösung ist für den Fall, daß die Wandtemperatur entgegengesetzt proportional zum Potenzansatz des Abstandes von der Vorderkante der Platte ist, gegeben worden. Es ist gezeigt worden, daß eine solche Lösung nicht existiert, wenn der Grenzparameter kleiner als ein bestimmter kritischer Wert ist. Die Einwirkungen des Strömungsindex, Auftriebsparameter und modifizierter Prantlzahl auf die Geschwindigkeitsund Temperaturprofile sind genauso intensiv besprochen worden, wie die globale Wärmeübertragung und die Verdrängungsdickte.

     

Higher order effects in natural convection flow over a uniform flux horizontal surface

Higher order boundary layer effects for natural convection flow over a horizontal plate prescribed with uniform heat flux is presented. Using the method of matched asymptotic expansions the three terms in inner and outer expansions have been obtained. It is shown that the contribution of the eigen functions to the three term inner expansions is identically zero.

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Einflüsse höherer Ordnung bei freier Konvektion über einer gleichmäßig beheizten horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Es werden Grenzschichteinflüsse höherer Ordnung auf die freie Konvektionsströmung über einer horizontalen Platte bei gleichmäßigem Wärmestrom dargestellt. Mit Hilfe der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen wurden die drei Terme der inneren und äußeren Entwicklung hergeleitet. Es wird gezeigt, daß der Beitrag der Eigenfunktionen zu den drei inneren Entwicklungen identisch Null ist.

     

Die räumliche Staupunktströmung für ein viskoelastisches Fluid

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die räumliche Staupunktströmung für ein Rivlin-Ericksen-Fluid berechnet. Mit Hilfe einer Ähnlichkeitstransformation erhält man für die dimensionslose Stromfunktion eine Differentialgleichung vierter Ordnung. Es wird gezeigt, daß man dennoch mit den bekannten drei Randbedingungen auskommt. In Beispielen werden für bestimmte Parameterkombinationen Geschwindigkeitsprofile dargestellt und diskutiert. Ebenso werden Aussagen über die Wandschubspannung gemacht.

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In this paper the flow of a Rivlin-Ericksen fluid near an axisymmetric stagnation point is investigated. Using a similarity transformation one gets a fourth-order differential equation for the dimensionless stream function. It is shown that nevertheless the usual three boundary conditions are sufficient. Velocity profiles are calculated for various combinations of the interesting parameters. Finally the wall shear stress is calculated.

Vortrag auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft 1985 in Berlin     

Eine einfache Konstruktion von Koordinatenfunktionen für die numerische Lösung zweidimensionaler Randwertprobleme nach Rayleigh-Ritz

Übersicht Um mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz brauchbarc Näherungslösungen zweidimensionaler linearer Randwertaufgaben zu erhalten, benötigt man oft eine große Zahl linear unabhängiger Koordinatenfunktionen. Diese müssen den wesentlichen Randbedingungen des Variationsproblems genügen und sollten, im Hinblick auf den numerischen Rechenaufwand, zu einem gut konditionierten und rasch aufzubauenden Gleichungssystem für die Parameter des Ritzschen Näherungsansatzes führen. Die hier mitgeteilte Konstruktion von Koordinatenfunktionen, die solche Forderungen optimal erfüllen, beruht auf der Lösung eines zweidimensionalen Interpolationsproblems. In den Knotenpunkten eines rechteckigen Netzes sind die Werte der zu interpolierenden Funktion und ihrer partiellen Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung als Stützwerte der Interpolation vorgeschrieben. Über jeder rechteckigen Masche des Netzes können dann ganze rationale Funktionen gleichhoher Ordnung angegeben werden, welche die in den Eckpunkten vorgegebenen Stützwerte annehmen und sich von Masche zu Masche stetig und mit stetigen Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung aneinander anschließen. Verwendet man die Stützwerte der Interpolation als Parameter des Ritzschen Näherungsansatzes, so wird die Lösung der Randwertaufgabe über ihrem Bereich mosaikartig approximiert.

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Summary In order to obtain suitable approximate solutions of two-dimensional boundary problems by the Rayleigh-Ritz method frequently a great number of linear independent and admissible coordinate functions is required. They have to satisfy the essential boundary conditions of the variational problem and are expected to yield a well conditioned and rapidly built up set of linear equations for the undetermined constants in the Ritz minimising sequence. Our method to realize such demands is based on the solution of a two-dimensional interpolation problem. In the knots of a rectangular net the values of the function and of its partial derivatives up to a definite order are prescribed as the pivots of the interpolation. Above every singular mesh of the net polynomials of equal degree can be set up which take the pivots in the four corners and represent from one mesh to another above the whole net a smooth surface with continous partial derivatives up to a required order n. The (n + 1)² pivots in every net-point are used as the undetermined constants in the Rayleigh-Ritz method and thus the solution of the boundary problem is approximated by tesselated polynomials of restricted degree.

     

Zur Frage der Druckverteilung unter elastisch gelagerten Tragwerken

Zusammenfassung Für gegebene Druckverteilung über der Berührfläche von Fundament und Untergrund läßt sich beim ebenen und achsensymmetrischen Problem die senkrechte Verschiebungsgröße des Bettungsrandes durch einfache Integral-ausdrücke darstellen. Für diese werden Umkehrformeln entwickelt, welche die Druckverteilung aus vorgeschriebener Verschiebung zu berechnen gestatten. Damit ist die Aufgabe der Auffindung des Druckverlaufes unter einem starren Fundament mit beliebiger Druckfläche im ebenen und achsensymmetrischen Fall allgemein gelöst. Einige praktisch wichtige Beispiele zeigen die Brauchbarkeit der Betrachtungen. Vor allem lassen sich Schlüsse auf die Druckverteilung unter elastischen Fundamenten ziehen.Dissertation der Technischen Hochschule München (D 91) in gekürzter Fassung (Berichter: Prof. Dr.L. Föppl und Prof. Dr.J. Lense).     

Thermal boundary condition effects on heat transfer in turbulent rough-wall boundary layers

Measurements and predictions are presented which investigate the effects of thermal boundary condition on heat transfer in the turbulent rough-wall boundary layer. Stanton number measurements are reported for the turbulent flow of air over rough plates with a variety of thermal boundary conditions on two separate rough surfaces. The cases considered are constant wall temperature, constant wall heat flux, step wall temperature, and piecewise linear wall temperature distributions. These measurements and data from other sources are compared with predictions using finite difference solutions of the discrete element roughness model and with superposition solutions. The predictions and the measurements are in good to excellent agreement.In dieser Arbeit werden Messungen und Berechnungen gezeigt, die den Einfluß der thermischen Randbedingungen auf die Wärmeübertragung in turbulenten Grenzschichten an rauhen Wänden untersuchen. Es werden Messungen der Stanton Zahl für turbulente Luftströmung über rauhe Platten an zwei separaten Oberflächen unter einer Reihe von thermischen Randbedingungen dargestellt. Die betrachteten Fälle sind konstante Wandtemperatur, konstanter Wärmestrom durch die Wand, abgestufte Wandtemperatur und stückweise konstante Wandtemperatur. Diese Messungen, sowie Daten anderer Untersuchungen, werden mit Berechnungen durch Finite-Differenzen Lösungen des Diskrete-Elemente-Rauhheits-Modells und Superpositionslösungen verglichen. Berechnungen und Messungen liegen in guter bis ausgezeichneter Übereinstimmung.     

On debonding and delamination effects in adhesively bonded cracks —A boundary integral approach

Summary The present paper studies the influence of adhesives on the behaviour of cracks in two-dimensional linear elastic bodies. Especially the delamination and debonding effects are studied. The adhesive material is assumed to introduce non-monotone, possibly multivalued laws which can be described via non-convex superpotentials. The direct boundary integral equation method is extended for this problem. It gives rise to two equivalent multivalued integral equations holding on each crack. Numerical examples concerning the resulting stress intensity factors illustrate the theory.

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Über Entklebe- und Delaminationseffekte in adhäsiv geklebten Rissen — Eine Randintegralmethode

Übersicht In dieser Arbeit wird der Einfluß von adhäsiven Materialien auf das Verhalten der Risse in zweidimensionalen linear-elastischen Körpern untersucht. Insbesondere werden Delaminations- und Entklebeeffekte behandelt. Es wird angenommen, daß das adhäsive Material ein nichtmonotones mehrdeutiges Gesetz einführt, das durch nichtkonvexe Superpotentiale beschreiben werden kann. Die direkte Randwertintegralmethode wird für dieses Problem erweitert. Man erhält zwei äquivalente, mehrdeutige Integralgleichungen für jeden Riß. Die Theorie wird durch numerische Beispiele erläutert, die die Berechnung der auftretenden Spannungskonzentrationsfaktoren betreffen.

     

Non-similar solutions of free convection flow over a vertical frustum of a cone for constant wall temperature

Summary The laminar free convection flow and heat transfer over a vertical frustum of a cone is studied. The governing boundary layer equations are solved using local non-similarity method for constant wall temperature case. Local similarity and the local non-similarity two- and three-equation models are constructed and the resulting equations are solved numerically. Results obtained from two- and three-equation models are in good agreement. The numerical values of the flow and temperature functions required to calculate the surface skin friction and heat transfer rate have been reported for various values of Prandtl numbers.

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Nichtähnlichkeits-Lösnngen für die freie Konvektionsströmung an einem vertikalen Kegelstumpf bei konstanter Wandtemperatur

Übersicht Untersucht wird die laminare freie Konvektionsströmung und der Wärmeübergang an einem vertikalen Kegelstumpf. Zur Lösung der zugehörigen Grenzschichtgleichungen im Fall konstanter Wandtemperatur werden die Modelle der lokalen Ähnlichkeit und der lokalen Nichtähnlichkeit mit zwei bzw. drei Gleichungen eingeführt und die sich ergebenden Gleichungen numerisch gelöst. Die Lösungen nach den Modellen mit zwei und drei Gleichungen passen gut zusammen. Die Zahlenwerte von Strom- und Temperaturfunktionen, die für die Berechnung der Wandschubspannung und der Wärmeübergangsrate benötigt werden, sind für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl angegeben.

     

Nonsimilar incompressible laminar boundary-layer flows in micropolar fluids

Summary The solution of the steady laminar incompressible nonsimilar boundary-layer problem for micropolar fluids over two-dimensional and axisymmetric bodies has been presented. The partial differential equations governing the flow have been transformed into new co-ordinates having finite range. The resulting equations have been solved numerically using implicit finite-difference scheme. The computations have been carried out for a cylinder and a sphere. The results indicate that the separation in micropolar fluids occurs at earlier streamwise locations as compared to Newtonian fluids. The skin friction and velocity profiles depend on the shape of the body and are almost insensitive to microrotation or coupling parameter, provided the coupling parameter is small. On the other hand, the microrotation profiles and microrotation gradient depend on the microrotation parameter and they are insensitive to the coupling parameter.

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Zusammenfassung Es wird die Lösung des stationären Grenzschichtproblems inkompressibler mikropolarer Flüssigkeiten für den Fall der Nichtähnlichkeit bei zweidimensionalen und achsensymmetrischen Körpern vorgelegt. Die dem Problem zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen werden durch Einführung neuer Koordinaten auf ein endliches Gebiet transformiert. Die so erhaltenen Gleichungen werden mit Hilfe eines impliziten Differenzenverfahrens numerisch gelöst. Die Rechnung wird für den Zylinder und die Kugel durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Grenzschichtablösung früher erfolgt als bei vergleichbaren newtonschen Flüssigkeiten. Wandreibung und Geschwindigkeitsprofile hängen von der Gestalt des Körpers ab und sind nahezu unempfindlich gegen Mikrorotation und Kopplungsparameter, vorausgesetzt, daß der letztere klein ist. Dagegen hängen das Profil und der Gradient der Mikrorotation vom Parameter der Mikrorotation ab und sind ebenfalls unempfindlich gegen die Kopplungsparameter.

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With 6 figures     

On consistent first approximations in the general linear theory of thin elastic shells

Summary This paper, as a number of earlier ones, is concerned with the rational establishment of twodimensional differential equations for the approximate analysis of stress and strain in elastic layers with spacecurved middle surface. It has been known for some time that the principal difficulty of this problem is to establish rational two-dimensional constitutive equations which correspond to a given system of constitutive equations for the layer treated as a three-dimensional continuum. — In an earlier publication [18] the point had been made that since two-dimensional shell theory was concerned with stress resultants and stress couples, it ought to be advantageous to derive such a theory from a three-dimensional theory in which force stresses as well as moment stresses were incorporated, even for media which, actually, were incapable of supporting moment stresses. — The earlier work [18] had indicated that, mathematically, the advantages of approaching the derivation of two-dimensional shell theory from three-dimensional moment stress elastically theory had to do with the form of the compatibility equations for strain in such a three-dimensional theory. Briefly, with these three-dimensional compatibility equations it becomes possible to concentrate all three-dimensional aspects of the shell problem in a three-dimensional system of integro-differential constitutive equations, and the task of deriving rational two-dimensional constitutive equations becomes nothing but the task of establishing suitable asymptotic expansions for the solutions of these three-dimensional integro-differential equations. In the work in [18] this task had not actually been carried out. The present paper establishes a significant rearrangement of the system of integro-differential equations, in such a way that the nature of the necessary asymptotic expansions is made evident. — With this, explicit results are obtained which include the system of two-dimensional constitutive equations of Koiter and Sanders for an iotropic homogeneous medium, as well as a system of constitutive equations for a class of shells for which the normals to the middle surface are not directions of elastic symmetry, as well as a system of constitutive equations for shells which are sufficiently soft in transverse shear to make transverse shear deformation a first-order effect.

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Übersicht In dieser Veröffentlichung wird die rationelle Aufstellung der zweidimensionalen Differentialgleichungen für die näherungsweise Bestimmung von Spannungen und Verformungen in elastischen Schichten mit räumlich gekrümmter Mittelfläche behandelt. Es ist bekannt, daß die Hauptschwierigkeit dabei im Aufstellen von zweidimensionalen Stoffgleichungen besteht, die einem gegebenen System von Stoffgleichungen für eine als dreidimensionales Kontinuum behandelten Schicht entsprechen. In einer früheren Veröffentlichung [18] wurde darauf hingewiesen, daß es vorteilhaft sein könnte, eine solche Theorie aus einer dreidimensionalen Theorie abzuleiten, in der sowohl Momentspannungen als auch Kraftspannungen berücksichtigt werden. Das gilt auch für solche Stoffe, die in Wirklichkeit nicht in der Lage sind, Momentenspannungen aufzunehmen. — Es wurde seinerzeit gezeigt, daß die Vorteile einer Ableitung der genäherten zweidimensionalen Schalentheorie aus der dreidimensionalen Elastizitätstheorie mit der Form der Verträglichkeitsbedingungen für die Verformungen in dieser dreidimensionalen Theorie zusammenhängen. Mit Hilfe dieser dreidimensionalen Verträglichkeitsbedingungen wird es möglich, alle dreidimensionalen Aspekte des Schalenproblems in einem dreidimensionalen System von Integro-Differentialgleichungen für das Stoffverhalten zu konzentrieren, so daß die Ableitung zweidimensionaler Stoffgleichungen nichts anderes ist, als das Aufstellen geeigneter asymptotischer Reihenentwicklungen für die Lösungen dieser dreidimensionalen Integro-Differentialgleichungen. Das wurde jedoch in [18] noch nicht ausgeführt. In der vorliegenden Veröffentlichung wird das System der Integro-Diffe-rentialgleichungen so umgeformt, daß die Art der notwendigen asymptotischen Entwicklungen deutlich wird. Auf diese Weise werden explizite Ergebnisse erhalten, die das System der zweidimensionalen Stoffgleichungen von Koiter und Sanders für ein isotropes homogenes Medium einschließen. Desgleichen sind darin enthalten die Stoffgleichungen für eine Klasse von Schalen, für die die Normalen zur Mittelfläche nicht mit den Richtungen der elastischen Symmetrie übereinstimmen, sowie auch die Stoffgleichungen für Schalen, die hinreichend weich gegenüber Querschub sind, so daß Querschubdeformationen als Effekte erster Ordnung auftreten.

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A report on work supported by the Office of Naval Research, Washington, D.C.     

Die Messung der Stautemperatur

Zusammenfassung In vorliegender Arbeit wurde ein Me\körper entwickelt, der es ermöglicht, die Stautemperatur in kompressiblen Medien bei turbulenter Strömung bis auf einen Fehler von 1 bis 2 % der adiabatischen Temperatursteigerung im Staupunkt (Aw ₀ ² g c _p) je nach der Geschwindigkeit zu messen.Dies wurde erreicht durch Anbringen der Lötstelle eines Thermoelementes nahe am Staupunkt eines strömungsgünstigen Körpers, wobei besonders darauf geachtet wurde, da\ an die Lötstelle dauernd neue verdichtete Luft herangeführt wird, und durch Verwendung von Elementenmetallen mit kleiner Wärmeleitzahl, wodurch die Wärmeableitungs- und Wärmeübertragungsverluste so niedrig wie möglich gehalten werden. Die praktische Verwendungsmöglichkeit wird unterstrichen durch den gcringen Einflu\ der Anströmrichtung.In einer Betrachtung über die ähnlichkeitsbedingungen wird die Wärmebilanz aufgestellt und eine Wärmeleitzahl für das Me\gerät eingeführt, die es ermöglicht, über die Anzeigegenauigkeit bei einem ähnlichen Körper ungefähre Voraussagen zu machen.In weiteren Versuchen wurde gezeigt, da\ das Plattenthermometer infolge seiner starken Abhängigkeit in der Anzeige von der Reynoldsschen Zahl und von der Anströmrichtung für praktische Messungen nicht geeignet ist.     

Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der laminaren Reibungsschicht mit Absaugung

Zusammenfassung Es wird ein Näherungsverfahren entwickelt zur Berechnung der laminaren Grenzschicht mit Absaugung bei beliebiger Körperform und beliebiger Verteilung der Absaugegeschwindigkeit längs der Kontur des umströmten Körpers. Das Verfahren hat Verwandtschaft mit dem bekannten Pohlhausen-Verfahren zur Berechnung der laminaren Grenzschicht ohne, Absaugung. Die Berechnung erfordert die Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung nach dem Isoklinen-Verfahren. Das Verfahren wird zunächst an einigen Fällen ohne Absaugung erprobt, für welche exakte Lösungen vorliegen. Danach werden die längsangeströmte ebene Platte mit homogener Absaugung, der Kreiszylinder und ein symmetrisches Joukowsky-Piofil mit homogener Absaugung behandelt.Auszugsweise vorgetragen auf der GAMM-Sitzung in Göttingen am 4. Februar 1945, anläßlich des 70. Geburtstages von Professor Prandtl.     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).