一常见三角公式的另一证法

“在△A刀c中,有t、A十toB十tgC= 即tga=又’:乙CBE=‘分+仇而‘一夕之匕OAE,探一︷劣招Atg山茄”这是一个常见的三角公式,但许多数学参考书都是利用三角证明的。现用另一种方法给予证明。.’.△O月E。△C刀刀,.’o刀C召EA口刀召 证明:如图,设刀D、召E、 CF分别是△A刀C三边上的 高,重心为O, 刀C=a,AC=乙, AB=C,AO=x, 刀O=万,CO=z, 乙BAC=二.乙ABE,乙刀OC=匕EOF,丫在Rt△ABE中,tga=塑二三A丑x c邵十乙之a~、-,·、-,一白‘一万之x整理得:卿:十乙二:+。刀x=a乙。,两边同除以粉之得:,.’乙且CF=(1)(2)(8)‘︸之 .,口一…     

数学奥林匹克问题选登

l,.,年s月号问题解答 (解答由供题人给出)23.在O口外切梯形月刀‘刀中,叨//朋.试证:(l)ADZ+刀叮至<月刀,十刀C,,△月刀C.石净,仪产(头 l。.__了万__).=气犷。职M万犷=--二尸~.刀盯. 乙’乙,_、1 .1_1 .1叹Z)气下十下二吸.丁井十下共. 产U声刃七Z幻口刀L,___,。月,AEEF_了万二,。月。“夕‘‘。‘之几。月‘一几节~石蕊~一气犷~,IIu乙。月L刀笼枯 ZUJL洲奋‘ 证明:设O口切AB、货于M、N,切AD、邵于E、F;显然M、o、万共线,连o月、oD.记乃从=朋=a,刀肘=刀尸一b,角,:.乙刀月口二450.此时乙通刀召=450=匕戒甲, 由四点共圆知识又得乙…     

问题与解答

一、本期问题 1。设。。是1+2+3+…+:的个位数舒毛N,试证0 .a:a:a:二a。…是有理数. ·山东巨野县职工学校尚瑞山提供 2。设a、b、c为非零实数,且a+b+c“O,证明八戈粉又‘,+乙,+c, 7 忍6+丙6+c sa:+乙:+c::二一.一 证明:如图,连BX、CY交于O,则O应是△月BC的内心.过O作OD上石C于D,则OD=丫. 又连灭Y,则述心洲线XY二,:. 多失!△6刀C的面积=△口犬r的正积犷~一。 湖南邵阳市教研究许第珍 3。已知△月刀C三内角五:刀:C=:9,a、b、‘表相应的三条边的长,c。一a“=c“(西一a)+乙2(c一a). 吉林泊镇蚕劳改总队一中张迎春 4.设”<‘<分,求证,…     

1993年高考试题解法集锦 理科第(29)题别证

题 :已知关于:的实系一数方程:,十‘I:十b二0的两实数根a、刀,证明: ①若}司<2,}川<2,则2}a}<4+b且!b,<4, ②若2 la}0,即(」+吞)2>4a2, 4+b)O,.’.2!a}(4+吞,即2!。}’<4+‘且}川<4成立. ②’.’2}u】<刁+6且1乙}(4,则(4+6)2一礴‘:,=(a,一4)(声2一d))0且1 al·}刀{(4, aZ(d,刀Z<刁…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

二次曲线的一种作法

,椭卿对、-雾·,的作图夕一 由曲线关于坐标轴和坐标原点对称可知,只须作出二>。,百>砧勺点(x,妇。作法如下:取OA二a犷O刀二b,ON二x,作AS上OX,BR‘LOXNT上OX,以口为圆心OA为半径画弧交NT于几作尸兀_LOY,交As于Q,连OQ交BR于M,,作M’M上NT,对为垂足,则M为砰十y,_,石‘犷一上D‘上的点(劣,妇。 作法的根据如下:在直角△口尸对中,由勾┌──┐│一卫││琳 ││夕 │└──┘股定理得,pN“=O尸么一ON“=a“一护。由△OM尹B冈△O口过得,口A OA五万了石=J刀,又口月二PN,砂一rM,B二MN研;、;二到兰_,,,仍形刀艺OA旦OB么’即…     

二倍角正切公式的一个几何推导

半径为‘一,切线刀万切于产阮|卜r|l卜.1.八vC,,下||旧、!‘l‘1 以O为圆心作半圆,圆于H点,过B作圆的另一切线刀C,交HO的延长线于C,切点为石(如图)。 设HC二人,刀H=刀刃二P,OH=O尸=场C刀=s,乙HBO二匕C方口二日,则匕HBC二又’:匕刀亡H公用,2夕…△C万O叻八CH几C万万OCH汀月_CO沛三=几 C刀~”hPh(h一了)/l一r百 P由此可得、了、7、1211Q山q合扮了、了‘、产r、s(s p)及sP二(2)一(1)得hr‘z=hZ一21乙于由(2)、(3)两式消去碍叮 尹二jlz一Zh:h=一竺一一 z一(二)2 夕两边同除以川毕 了 2(乡)1一(厂), P(一1) 一一心九一力占由图…     

不易发现的失误

(*)式不能用三角形任两边的和大于第三边,据用连结两点的线中线段最短这一重要性质。上述论证中,把“设PE交DD于F’’删去,(*)式改为邢 咫十ED>BD就完全正确了。 有这样一道几何题:△月刀c中,乙A=120。,p是△月zr内任一点,求证:PA PB 代,)月刀十AC。 一同学是这样证明的: 延长6A到D,使月刀=AC,乙BAC=1 200,…匕刀月口=600,:.△月C刀为等边三角形,…月C二摺。 以脚为一边向_,打尸五淤一、;图l上作正△尸C召,连DE,设PE交DD于F(如图l)。则彬二cE,AC~CD,匕尸口月=乙名‘刀,.,.△代悦望△召口刀,…PA二刀召, 丫产公十产孕,>那,护…     

e的各种连分数表达式

引理1如果}a。{乒z(n=1,2,…),则有一1-+工十…+卫一十a 22a Zff一x…二二一一a 12_…(1) .口l证设一利用一l 口l千口么 1 Gf+l 1 口. 1a,+b, :、1Q二(i=注,2扒”al+aZ)安则外二叮一二,:认而请a么+aa as+a,+1了a。一x+a:1一内王a么ax一’价.么一a未a盆+a之夕乃al+处怨J2 ,︸如以aQ土a。*一,一=一1+一共一卜 a‘宁O,!尹’ 0.毛一一二幸勺.-a,扩节花,十q:曰声卫‘_ 口备 a 12a:+42暇+05含.尸声一般地,+一里一十.,.+01a,a.=二__一华生一 。,d:扩取二:.二吐红 卜,一磷十a.。丫{“·‘)l,上边产碑 在(z)中取a=知!,、当叭军吐吟举则有居卜 1 仁…     

一类递归数列的通项的求法——辅助等比数列法

力二一口占+一十 本刊1984年第五期介绍了形如“a:+:二扣·+:十尹的递归数列的通项的求法,在它乙。十:口。+,二丫工上二_口.+仪a。+口的启发下,‘我对形如“a。,:=丫·an+aa。+户其a。+1+q了’瓦不下中了寺。、a:+口“奔O”的求法进行了一番探讨,现将结果叙述如下 已知数列{a。}满足条件口:二a,a.,:=了·丫+P了十q .丫a+P夕“n-I-一 丫十,口n+a,+a云丁万,其中下寺0,a“+卢忍今0,求a:。丫a+叮口了+g 解设辅助数列{b.}的通项占。其中P,q为待定数,且夕寺q,则口,+乡a。+q.’.鱼」旦= 口n丫+夕了十qan+口.+=Z土兰. 了+q(·:十琴十罗)‘一‘”(…     

|z|~2=z·的妙用

:·三=}:}’是复数绝对值运算的主要工具,而当1:}~l时,灵活运用!:}’一:·三一1可以达到化难为易,化繁为简的目的,使解题过程简捷巧妙. 例1设复数a、刀、y有.al二l刀,二l,,I~解设。~ }a!一1 1且:井一生.a二工畔a十之1十“名一—-一a, 口:并一茂(刀 下)(y a)(a十刀) a声夕要使。     

一类连比几何题的解

DO一OE筋一货 本文应用几何一定理对一类连化题进行求解。 一、定理如图!,在△A配中,E和F分别是淞和AB(或其延长线)上的点,刀百交俘 力F打FL’(了=丽一万’丽~一碑,C召CA于0,求证:(l)若 刀尸 F’A 注百=’”,丽一“,了仿十从,“十l月C一飞牙一~-「~二丽‘。二刀O则下1;=,拄(I ,已); U口(2)若 C召 召乃 月了,二1n,而~”,故豁-同理可证二、应用,,‘:书一,“(l ,:). 矛之十IC(少丁下二二In(!十r己).t沪户则器一。(1 。).图l 证明过E作那//A刀交cF于G,则易证△召口口叻△肠欣,,△亡召口叻△口通尸. 例1已知在△A淤中,E、F为衅三等…     

数学问题解答

1”0年8月号问题解答 (解答由间题提供人给出)已、 =叮。.夕了一。。织· D\奋l ‘inGsin(0+C)‘666.、证明o<甲<要时, ‘中相似文献   

对一道习题几种不同解法的探讨

用多种解法解一道玫学题,并对不同的解法进行比较、分析是学好数学的一个重要方法。我们举例来说明之。 例题已知a急+乙忿=1,c,+d,二1,ae+石d=0,求证a之+e念=i,石“+d:==i,a西+ed=0。 证明(1)代数证法‘ 由已知条件得. 石注d生=(1一a忍)(1一cZ)==1一a:一e’+a月‘:, a:+e,二1+a忍e:一b 2d2 =1十(ac一乙刁)(‘_一bd)二1, 同理b忍+‘名二lobZdZ‘:‘c‘ =1斗(ac十bd)(bd一ae)=1 .’. ab+ed二(a么十西“)cd:、(e’+d’)ab =(ad+bc)(ac一:二d)=0. (2)三角i正法令a二sioa,c二:in夕,则丢·。。sa万·cos夕,其中51,asin刀+cosac口s夕二oee。石d=5…     

关联三边成等差数列的三角形的一个等价命题链

在△月邵中,a油,e分别为角月、刀,c所对边,设 (l)a,乙,e成等差数列则2b=。十。,应用正弦定理即知(l)等价于 (2)ssn月,sin厅,sine成等差数列对式Zsin刀=sin月 sinC进行和差化积,约去t2sin等判,就有(3)eos月一C 2=ZCos月 C 2展开移项整理,两边除以sin河.万钟号,”,得l一3ACtg万tg百= BZctg;犷 ‘ C .A~ctg二干十ctg下‘ “‘、户、.了J,尸O了‘气护‘、 由结论(3)出发,还可导出:卜(6)。S,一普一, 。OSe由于;·*一普一2(l一,B),于是有cosA ZcosB十cosC二2·、一’普 S、一 ·,CSln一~二犷 Z _,B二二二二COS~气丁 Z 十刀一2、.产、…     

平均值法的应用

如采用平均位决,就不存在这个问题了!如何取千均仙、?从条件a十Zb+加二招素成。十乙+b一{一。十。十““丁2,12/6=20显燕丹 实际上可均泣应取‘解、狡口二x+2,乙二夕十e,c=:+2,则(x十幻十以犷十助+以之十幻=12, :.x十2刀十3万=O。故砂十2乙艺」一乳之=(x+幻“一卜2(y魂一幻2十十3(:+幻“二相似文献   

1.|a b|>|a| |b|

有众所周知}a bl(la! !b{,在这里我们却}a bl》ial }b}.诸肴如下证明:*为一且二_八亘万_压二画三二一’一’I口 bl可(a 吞)1心(a b)(a b) ︼一人U. 一t,一,一.办 一.︸︺叭一办一 一‘U一之一al一一叭U李,一b 叼a︸ 一a_旦口十石 。 b不),雌 !b}}a b}篇-_I,口。、乓乏‘石不十石落j, (l) (2)得{a} }b}}a b} a-下-r十a十O:}a bl》}a! b。 b}bl...‘l,‘ ‘1.|a b|>|a| |b|@曹存富$宁波市北仓区教研室~~…     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

两个条件不等式及其应用

命题一不相等的正数a、b、c、‘,。为最大数,若。各式相乘可得+‘一b+一则‘,,“‘,‘2,告+令>士十于 证明(1)由题设可得a一。二b一d>O二b>d. 设a一b二c一建=‘,则‘>0,且a二‘+吞,e=汉+‘ .’.耐=(‘+b)注=从+记,倪=b(d十心)=沉+倪 比较两式,,.’b>‘,‘>O,:.“>血,:.加>毗 (2),.’a、b、c汉均为正数,a+滚=石+e,酥>吐刊二令>宁,:告+专>朴告推论不相等的正数。、b、。,若2b二。十。,则(l)‘子应用举例:例l,日N,证明:!(证明略) (·l)2<(粤户,.…!<(岑,·,综上所述…,匀竺宁)’, 例:已知·。N一列,求证士+南十:+六+汾’· 证…     

喜迎2006新年

在公元2006年到来之际，谨拟有关“2006” 五题，喜庆新年，以飨读者. 题1 .口2006. a，!2二，。。+1一兰(，任N+)，试求二1 口” 解由题意有内 l2 一一，a3一一一乙x， X a2 l 2一内 反4= l 一一，“.‘，a2006- j X 倪z .aZoo6一Zx· X 题2 +a3+a;+ {a。}是公差为l …+a:。。 =3962 的等差数列，al+自 ，试证:a:十a、+吼 +…十a 100 证明 =2006. 由题意有a。一a，+l，a、~a3+i …，al。。=aog+1， :’(al十1)+aZ十(a3+1)十a、十 …+(a99十1)+a，。。 =3962+50=4012. a:+a、+a6+…+al。。一2006. 题3已知a，b，。是不为。的实数，且a+ b…